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3 Integralrechnung
Hätten wir hier die Stammfunktion nicht benötigt, sondern nur den Wert eines bestimmten
Integrals, dann hätte man sich die Rücksetzung sparen können, indem man
die Grenzen auf die neue Variable umschreibt:
x(1 − x ) dx = − 1
x=
2 u du = − 1
u= 20 u = − 1 1
(0 − 1) =
20 20
In diesem Beispiel haben wir einen Teilausdruck des Integrals gleich u gesetzt. Im
folgenden Beispiel machen wir es anders herum und setzen x gleich einer Funktion von
u. Es soll die Fläche einer Ellipse berechnet werden. Für den oberen Ellipsenbogen gilt
die Gleichung (Auflösen der Mittelpunktsform (6) nach y):
y = b a √a − x
Die Fläche unter dem oberen Ellipsenbogen ist die halbe Ellipsenfläche und berechnet
sich so:
A =
a
x=−a
b
a √a − x dx =
π
u=− π
b
a √a − a sin u a cos u du =
π
− π
ab cos u du
Dabei hat man x = a sin u gesetzt, dann wird dx = a cos udu. Nun muss man nur noch
die Stammfunktion von cos u ermitteln. Dazu kann man etwa die Beziehung cos 2u =
2 cos u − 1 heranziehen, also cos u = (1 + cos 2u). Diese hat die Stammfunktion (u +
sin u cos u). Damit bekommt man für die Fläche:
A = ab 2 [u + sin u cos u]+ π
− π
= ab 2 [(π 2 + 0) − (−π 2 + 0)] = 1 2 πab
Die gesamte Fläche der Ellipse ist doppelt so groß, also πab.
3.4.3. Partialbruchzerlegung
Die Partialbruchzerlegung ist ein allgemeines Verfahren zur Integration gebrochen rationaler
Funktionen. Es sei gegeben:
f(x) = P(x)
Q(x) = a + a x + ⋯ + a n x n
b + b x + ⋯ + b m x m (36)
Im Falle m ⩽ n führt man zuerst eine Polynomdivision aus, dann bekommt man eine
ganzrationale Funktion und eine gebrochen rationale mit m > n, so dass wir uns für das
Weitere auf den Fall m > n beschränken können.
Das Nennerpolynom kann im Komplexen vollständig in Linearfaktoren zerlegt werden,
im Reellen bleiben ggf. quadratische Faktoren übrig, die keine reellen Nullstellen mehr
haben. Seien nun x k die Nullstellen von Q(x) mit der Vielfachheit ν k dann kann man Q(x)
stets auf die folgende Form bringen:
Q(x) = b m (x − x ) ν (x − x ) ν … (x − x k ) ν k(x + α x + β ) μ … (x + α r x + β r ) μ r (37)
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