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3.5 Beispiele zur Integration
Um den Körper das Stückchen dr vom Zentralkörper zu entfernen, braucht man die
Arbeit dW = F dr, wobei F die Gravitationskraft ist. Die gesamte notwendige Arbeit ist
dann:
W = ∞
dW = ∞
R
R
G Mm
r
dr = GMm − 1 r ∞ R
= GMm(0 − (− 1 GMm
)) =
R R
Dies war ein Beispiel eines sogenannten uneigentlichen Integrals, bei solchen liegen
entweder die Grenzen im Unendlichen, oder die Funktion selbst wird an einer Stelle
unendlich.
Aufgabe 4 Bestimme ∞
e −x dx
−∞
Diese Aufgabe habe ich eingefügt, weil das ein wichtiges Integral ist. Seine Berechnung
ist aber nicht ganz einfach, man muss einen »Umweg« machen. Zuerst schreiben wir:
∞
e −x dx = ∞
e −x dx ∞
e −y dy = ∞
−∞ −∞
−∞ −∞ ∞ e −(x +y ) dx dy
−∞
Führt man nun Polarkoordinaten ein, also x = r cos φ; y = r sin φ, dann ist das Flächenelement
r dφ dr und x + y = r . Das letzte Integral wird dadurch
π
dφ ∞
re −r dr = 2π −
e−r ∞
Mit Substitution kann man nun noch beweisen:
∞
π
e −ax dx =
−∞ a
= π ⇒ ∞
e −x dx = √π
Dazu setzt man u = ax ⇒ du = √a dx. Dies kann nur gehen, wenn a > 0 ist. Man kann
zeigen, dass die Formel sogar für komplexe a stimmt, sofern Ra > 0 ist.
−∞
Anmerkung: e −x hat keine elementare Stammfunktion, es gibt aber eine Reihe von
höheren Funktionen, die mit diesem Integral verwandt sind. Zunächst ist dabei die aus
der Wahrscheinlichkeitsrechnung bekannte Normalverteilung (Gauß-Verteilung) zu
erwähnen, die durch
Φ(x) = 1
√2π x
−∞
e − t dt mit Φ(∞) = 1
definiert ist. Daneben gibt es die Gaußsche Fehlerfunktion
erf (x) = 2
√π x
e −t dt wobei Φ(x) = 1 2 1 + erf x √2
Aufgabe 5 Bestimme das Integral durch Partialbruchzerlegung. Es sei gegeben:
f(x) =
x + 2
(x − 1)(x + 1) =
A
x − 1 +
B
x + 1
Cx + D Ex + F
+ +
(x + 1) x + 1
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