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5.2 Totale Differentialgleichung
Ist umgekehrt eine Gleichung
P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 (50)
so entstanden, dann muss sie zur Gleichung (49) äquivalent sein. Sie muss dann eine
Lösung der Form u(x, y) = C besitzen. Eine solche dgl wird total genannt.
Damit eine Gleichung der Form (50) total ist, muss also eine Funktion u(x, y) existieren,
so dass
P(x, y) = ∂u Q(x, y) = ∂u
(51)
∂x
∂y
und somit
∂P
∂y = ∂ u
∂x∂y = ∂Q
∂x
Daraus folgt der Satz:
Die dgl (50) ist genau dann total, wenn die Integrabilitätsbedingung
∂P
∂y = ∂Q
∂x
(52)
erfüllt ist.
Die Lösung geht nun in folgenden Schritten:
Man integriert zunächst die Gleichung:
∂u
∂x
= P ⇒ u(x, y) = P(x, y) dx + φ(y) = S(x, y) + φ(y)
mit einer willkürlichen Funktion φ(y), die bei dieser partiellen dgl an Stelle der Integrationskonstanten
gewöhnlicher dgl’s erscheint. Andererseits ist aber:
Q(x, y) = ∂u
∂y = ∂S
∂y + φ′ (y) ⇒ φ ′ ∂S(x, y)
(y) = Q(x, y) −
∂y
Durch Integration des nun bekannten φ ′ (y) erhält man dann die Integrationskonstante.
Man hätte natürlich ebenso mit der Integration von Q beginnen können.
Beispiel:
ln(y + 1) dx +
Die Integrabilitätsbedingung ist erfüllt. Es ist:
Daraus folgt
Q(x, y) = ∂u
∂y =
2y(x − 1)
y + 1 dy = 0
u(x, y) = ln(y + 1) dx + φ(y) = x ln(y + 1) + φ(y)
2xy
y + 1 + φ′ (y) ⇒ φ ′ 2y(x − 1)
(y) =
y + 1 − 2xy
y + 1 = − 2y
y + 1
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