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2 Differentialrechnung
2.3.4. Bogenlänge einer Kurve
In Abb. 4 fällt die Länge des Kurvenbogens PQ für kleine dx mit der Länge der Strecke
PQ zusammen. Somit kann man die Länge des Bogenelements mit dem Pythagoras
ausrechnen:
(Δs) = (Δx) + (Δy) ⇒ ds = dx + dy = dx 1 + dy
dx
Daraus folgt für das »Bogenlängenelement«:
ds =
1 + (f ′ (x)) dx (23)
Die Länge eines endlichen Kurvenstücks bekommt man dann durch Integration der
ds. Das ist Gegenstand des Abschnitts über Integration.
2.3.5. Krümmungskreis
M
R dα
dα
R Q
P
α
Abb. 5 Krümmungskreis
In nebenstehender Abbildung soll der Radius R des
Krümmungskreises im Punkt P bestimmt werden. Dazu
betrachten wir den eng benachbarten Punkt Q. Diese
Punkte liegen das Stück ds auseinander und es muss
gelten:
ds = Rdα ⇒ R = ds
dα
Nun ist aber α die Steigung der Tangente, also tan α =
f ′ (x). Daraus folgt α = arctan f ′ (x). Daraus erhält man
mit der Kettenregel und unter Beachtung der Ableitung
arctan ′ (x) = 1/(1 + x )
dα = α ′ (x)dx =
f″ (x)dx
1 + (f ′ (x))
Mit ds aus Gl. (23) bekommt man
R = ds
dα = ( 1 + (f′ (x)) )(1 + (f ′ (x)) ))
f ″ = [1 + (f′ (x)) ] /
(x)
f ″ (x)
(24)
Eine entsprechende Formel lässt sich in Polarkoordinaten herleiten, sie lautet:
R =
(r + r ′ ) /
r + 2r ′ − r r ″ (25)
Eine Gerade hat den Krümmungsradius Unendlich, bei einem Kreis ist der Krümmungsradius
konstant gleich dem Kreisradius, bei allen anderen Kurven hängt der
Krümmungsradius vom Kurvenpunkt ab.
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