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1 Kegelschnitte
1.5. Leitlinieneigenschaft der Kegelschnitte
g
T
F
φ
d
r
In nebenstehender Abbildung ist g die sogenannte Leitlinie,
die vom Punkt F den Abstand c haben möge. Wir
zeigen nun, dass die Kegelschnitte die Kurven aller der
Punkte sind, für die das Verhältnis r ∶ d = ε konstant ist.
(Dies kann für den Kreis mit ε = 0 nicht gelten!)
Legt man zunächst den Ursprung nach F, dann gilt
d = c + r cos φ und damit
r
d =
r
= ε ⇒ r(1 − ε cos φ) = εc
c + r cos φ
Setzt man hier noch εc = p, dann bekommt man bis auf das Minus vor dem ε genau
die Gleichung (1):
p
r =
(16)
1 − ε cos φ
Man kann sich überlegen, dass diese Gleichung denselben Kegelschnitt wie Gl. (1)
darstellt, nur diesmal »nach rechts« geöffnet.
1.6. Scheitelform der Kegelschnitte
Nicht nur für die Parabel, sondern auch für Ellipse und Hyperbel lässt sich eine Scheitelform
angeben. Dazu setzt man diesmal den Ursprung in den Scheitel, der um das Stück
r p = p/(1 + ε) links von F liegt. Für die kartesischen Koordinaten eines Punktes gilt dann
auf Grund der Leitlinieneigenschaft mit den Bezeichnungen von Abschnitt 1.5
(x − r p ) + y = ε (c + x)
Nun war c = p/ε der Abstand von Leitlinie und Brennpunkt. Der Abstand von Scheitel
und Leitlinie ist c − r p und das ist:
Damit bekommt man:
c − r p = p ε −
(x − r p ) + y = ε p
ε(1 + ε) + x
p
1 + ε = p
ε(1 + ε)
= ε r p
ε + x = r p + 2εr p x + ε x
y = −x + 2r p x − r p + r p + 2εr p x + ε x = (ε − 1)x + 2xr p (1 + ε)
= (ε − 1)x + 2xp
Damit haben wir die Scheitelform der Kegelschnitte:
y = 2px − (1 − ε )x (17)
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