Mathematische Grundlagen - SFZ-WEB-Seite Mathematik-Server

5 Differentialgleichungen
Lässt man ω von 0 an ins Unendliche wachsen, so erkennt man, dass die Phase für
kleine ω Null ist, also Schwinger und Erreger gleichphasig sind, mit wachsenden Werten
wird dann die Phase negativer, bis sie bei ω = ω den Wert − π = −90∘ erreicht. Steigt
nun die Erregerfrequenz weiter, so wird die Phase zu −π = −180 ∘ , also schwingen dann
Erreger und Schwinger gegenphasig. Der Schwinger hinkt also immer dem Erreger nach.
Noch eine Anmerkung zur genauen Lage des Maximums der Amplitude C: Ableiten
und Null setzen von C(ω) führt auf die Gleichung
mit den Lösungen
2ω(ω − ω ) = ωγ
ω = 0;
C(0) = a ω
und ω res =
ω − γ ; C(ω res ) =
a
γ
ω − γ
Damit liegt die Resonanzfrequenz unterhalb von ω . Ohne äußere Erregung würde das
System mit der Eigenfrequenz Ω =
ω − γ schwingen.
Bei ω = 0 liegt ein lokales Minimum vor, denn für ω → ∞ wird C = 0.
Das Verhältnis der Amplituden bei ω res und ω = 0 bezeichnet man als Resonanzüberhöhung,
sie hat den Wert:
ω
≈ ω
γ ω
− γ ≈ ω res
γ
γ
Die Näherungen gelten, wenn γ ≪ ω ist.
Mehrere Anregungsfrequenzen: Nun kann man noch den Fall untersuchen, dass der
Schwinger von den Frequenzen ω , … , ω n angeregt wird. Dann hat die rechte Seite von
Gleichung (73) in komplexer Schreibweise die Form:
n
F(t) = a k e ω k t
k=
Nach dem Superpositonsprinzip addieren sich dann die Lösungen nach dem Schema
der Gleichungen (74) und (75) auf zur Lösung
n
v(t) = C k e (ω k t+δ k ) = (C k e δ k)e ω k t
k=
Stellen wir uns nun noch F(t) als »beliebige« Funktion vor, so kann man diese in eine
Fourierreihe entwickeln (n geht dabei gegen Unendlich). Die Losung der Bewegungsgleichung
ist dann ebenfalls eine Fourierreihe mit den Koeffizienten
C k e δ k =
n
k=
a k
ω − ω k + iω kγ
50