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4 Approximierung – Taylorreihen
4.2. Die Taylorsche Reihe
Man kann nun auf die Idee kommen, die Zahl der Summanden im Taylorpolynom immer
mehr zu erhöhen um die Näherung zu verbessern. Lässt man in diesem Sinne n gegen
unendlich gehen, dann bekommt man die Taylorsche Reihe
∞
f (k) (0)
f(x) =
k!
k=
x k
(Taylorreihe)
Dies ist eine unendliche Potenzreihe. Deshalb sind zwei Dinge zu prüfen:
1. Für welche x-Werte konvergiert die Reihe überhaupt?
2. Ist der Grenzwert der Reihe für diese x gleich dem Funktionswert?
Die Antwort ist: Die Reihen konvergieren in einem Konvergenzintervall oder Konvergenzkreis
−ρ < x < ρ, wobei man ρ als Konvergenzradius der Potenzreihe bezeichnet.
Für manche Reihen ist ρ = ∞, d. h. sie konvergieren in ganz R, für andere Reihen ist
ρ = 0, d. h. Konvergenz liegt nur für x = 0 vor, die Reihe ist also unbrauchbar für die
Darstellung der Funktion.
Im Bereich der komplexen Zahlen gilt, dass jede Taylorreihe als Grenzwert den Funktionswert
hat, dies ist leider im Reellen manchmal nicht richtig. Das »klassische« Beispiel
ist die Funktion
f(x) = exp (− ) ; x ≠ 0
x 0 ; x = 0
Für diese Funktion ist f(0) = f ′ (0) = f ″ (0) = ⋯ = 0, somit hat die Taylorreihe für alle
x den Wert Null, konvergiert also in ganz R, stellt aber nicht die Funktion f dar, denn
diese hat ja nur an der Stelle 0 den Wert 0.
Trotzdem ist es nicht so schlimm. Die meisten Funktionen sind so geartet, dass ihre
Taylorreihen innerhalb des Konvergenzkreises auch die Funktion darstellen.
4.3. Taylorentwicklung wichtiger Funktionen
Die Konvergenzbereiche der Reihen aus Tab. 2 sind:
Gl. (41): |x| < 1 für beliebige r ∈ R. Für ganze positive r ist die Reihe ein Polynom und
deshalb in ganz R definiert.
Gl. (42) – (44): x ∈ R
Gl. (45) – (46): −1 < x ⩽ 1
Je nach der erforderlichen Güte der Näherung nimmt man mehr oder weniger Glieder
der Reihe. Oft genügt es, nur die beiden ersten Summanden zu nehmen, falls x nahe
genug bei Null liegt. Insbesondere die Näherung
aus Gleichung (41) von Tab. 2 wird sehr häufig benützt.
(1 + x) r ≈ 1 + rx (47)
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