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1.7 Mutation der Kegelschnitte
1.7. Mutation der Kegelschnitte
Die Parabel ist eine Art »Trennkurve« zwischen Ellipsen und Hyperbeln. Hält man
nämlich den Brennpunkt fest und lässt ε von 0 an immer größer werden, dann bekommt
man immer langgestrecktere Ellipsen, wenn ε gegen 1 geht. Der Perizentrumsabstand
nähert sich dem Grenzwert p/2 für Ellipsen und der Apozentrumsabstand geht gegen
Unendlich.
Sobald der Wert ε = 1 erreicht ist, schließt sich die Ellipse nicht mehr und man hat
die Grenzlage der Parabel, die noch keine Asymptoten hat. Eine weitere Erhöhung des
Wertes von ε ergibt nun Hyperbeln. Der Perizentrumsabstand ist jetzt immer kleiner
als p/2. Bei den nun entstehenden Hyperbeln bilden die beiden Asymptoten für ε-Werte
sehr nahe bei 1 zunächst fast eine Gerade (vgl. Gl. (10)). Mit weiter wachsendem ε
schließen die Asymptoten dann immer größere Winkel ein, und im Grenzfall ε → ∞
fallen die Asymptoten und die Brennpunkte zusammen und die Hyperbel entartet zu
einer Geraden.
2. Differentialrechnung
Die Differentialrechnung versucht, eine Funktion in der Umgebung eines Kurvenpunktes
durch ihre Tangente, also eine lineare Funktion zu approximieren. Dadurch kann man
kleine Änderungen der Funktion durch lineare Funktionen ausdrücken.
2.1. Tangentensteigung und Ableitung
P
x 0
dx = ∆x
Q
dy
∆y
Abb. 4 Tangentensteigung
Um die Steigung der Tangente in P zu bestimmen, betrachtet
man zunächst die Sehne PQ. Ihre Steigung entnimmt
man dem Steigungsdreieck zu
m s = Δy
Δx = f(x + Δx) − f(x )
Δx
(18)
Nun rückt man den Punkt Q immer näher an den Punkt
P heran, indem man Δx immer kleiner macht. Dadurch
wird die Sehne immer mehr zur Tangente. Die Tangente
ist also die Grenzlage der Sehne für Δx → 0. Dadurch
erhält man als Steigung der Tangente:
Δy
m t = lim
Δx→ Δx = lim f(x + Δx) − f(x )
Δx→ Δx
(19)
Diese Steigung der Tangente an der Stelle x bezeichnet man als Ableitung der Funktion
an der Stelle x und schreibt für sie f ′ (x ). Den Quotienten von Gl. (18) bezeichnet man als
Differenzenquotient. Eine Funktion wird differenzierbar genannt, wenn der Grenzwert (19)
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