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6 Näherungsverfahren für Differentialgleichungen
Die linke Tangente trifft die mittlere Vertikale auf der Höhe y + hy′ , somit ist die Fläche
des linken Tangententrapezes
h
4 y + y + hy′ = hy + h y ′
Entsprechend hat das rechte Tangententrapez die Fläche
hy − h y ′
Die Summe T ∗ dieser beiden Trapeze ist eine andere Näherung für das Integral:
T ∗ = h(y + y ) + h (y ′ − y′ ) = T − h (y ′ − y′ )
Ist nun – wie in Abb. 7 – die Kurve im Intervall [x ; x ] eine Linkskurve, also f ″ (x) > 0,
dann liegt der echte Integralwert zwischen den Werten von T und T ∗ . Damit gilt für den
Fehler der Trapezregel:
x
x
f(x) dx − T ⩽ h (y ′ − y′ )
Dasselbe ist richtig, wenn die Kurve eine Rechtskurve ist, also immer dann, wenn sie
keinen Wendepunkt hat. Die Trapezregel wird also umso ungenauer, je stärker die Kurve
gekrümmt ist. Bei der Trapezregel werden alle Werte addiert, es kann also auch bei
kleinen Schrittweiten h nicht zu Auslöschung durch Subtraktion kommen.
Sowohl T als auch T ∗ liefern ein exaktes Ergebnis, wenn f eine lineare Funktion (eine
Gerade) ist. Nun versuchen wir, durch Kombination von T und T ∗ eine Näherung zu
erhalten, die für Parabeln exakt ist. Wir bilden dazu den Ausdruck pT + qT ∗ mit den
Gewichten p und q, deren Summe p + q = 1 ist. Auch diese Summe integriert Geraden
dann noch richtig. Falls sie auch f(x) = x richtig integriert, kann sie es für alle Parabeln.
Wir nehmen x = 0 und h = 1 an. Dann ist ja
x dx = 1
3
und T = 1 2
Daher sind p und q so zu bestimmen, dass gilt
und T ∗ = 1 4
p + q = 1
Daraus folgt p = und q = . Damit ist
und
p + q =
pT + qT ∗ = T −
h (y ′ − y′ )
Damit bekommt man die verbesserte Trapezregel
x
x
f(x) dx ≈ h(y + y ) − h (y ′ − y′ ) (77)
Diese Formel hat die schöne Eigenschaft, sogar Polynome dritten Grades exakt integrieren
zu können. Zur Übung sollte man nachrechnen, dass x richtig integriert wird.
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