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3.4 Integrationsregeln
Die gebrochen rationale Funktion f(x) lässt sich nun als Summe von Partialbrüchen
schreiben. Dabei gilt:
1. Jeder Linearfaktor (x − x k ) der Vielfachheit ν k trägt zur Zerlegung die folgenden
Summanden bei:
A
(x − x k ) + A
(x − x k ) + ⋯ +
A νk
(x − x k ) ν k
2. Jeder quadratische Faktor mit der Vielfachheit μ k trägt die folgenden Summanden
bei:
C x + D
(x + αx + β) + C x + D
(x + αx + β) + ⋯ +
C μ k
x + D μk
(x + αx + β) μ k
Die Linearfaktoren lassen sich sofort integrieren, bei den quadratischen geht man so vor:
(x + αx + β) = x + α + δ = (δy) + δ = δ (y + 1)
Hier hat man quadratisch ergänzt und δ ⋅ y = x + α
ist
Nun wird das Integral zu:
x = δy − α 2
y = x + α
δ
substituiert. Mit dieser Substitution
dx = δ dy
Cx + D 1 Cδy + D −
dx = Cα
(x + αx + β)
μ
δ μ−
(y + 1) μ dy
= C
δμ− y dy
(y + 1) μ + D − Cα
δ μ− dy
(y + 1) μ
Für das erste der beiden verbleibenden Integrale bekommt man dann
u −μ
⎧
y dy
⎪⎪⎨⎪⎪⎩
(y + 1) μ = 1 du
2 u μ = = für μ = 2, 3, …
2(1 − μ) (38)
ln |u| für μ = 1
Hier hat man u = y + 1 gesetzt. Nun muss noch das zweite bestimmt werden.
J μ =
dy
(y + 1) μ
Für μ = 1 ist es bekannt, J = arctan y.
Wir werden eine Rekursionsformel für die J μ herleiten. Wir beginnen mit der Beziehung
J μ+ = (y + 1) − y
(y + 1) μ+ dy = J μ − y
dy
(y + 1)
μ+
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