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1.4 Parabel
und
Dann erhält man
2px = 2p cos φ
1 + cos φ − p = 2p cos φ − p − p cos φ
= p (cos φ − 1)
1 + cos φ
1 − cos φ
y = −2px
als Scheitelform der Parabel.
Diese Parabel ist, wie auch die mittels Gl. (1) entstehende, nach »links« geöffnet.
Meistens gibt man die Scheitelform für nach rechts geöffnete Parabeln an, dann lautet
sie:
y = 2px (14)
Krümmungskreis
Den Krümmungskreisradius kann man hier recht einfach ausrechnen. Ein Kreis mit
Radius ρ und Mittelpunkt auf der x-Achse, der durch den Scheitel geht, hat die Gleichung:
(x − ρ) + y = ρ
Schneidet man ihn mit der nach rechts geöffneten Parabel, dann bekommt man:
(x − ρ) + 2px = ρ ⇒ x − 2x(ρ − p) = 0
Diese Gleichung darf nur eine Lösung haben, nämlich x = 0. Somit muss ρ = p gelten.
Damit gilt für den Krümmungskreis
ρ = p (15)
Tangenteneigenschaft
Parabeln kennt man ja aus der Schule in der Form y = cx . Dort sind sie nach oben
(oder unten für negative c) geöffnet. Sie entstehen aus der Scheitelform (Gl. (14)) durch
Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden, also durch Vertauschung von x und y.
Der Zusammenhang zwischen c und p ist dann 2p = 1/c.
Die Tangente in einem beliebigen Punkt (x | y) der Parabel y = cx hat die Steigung 2cx.
Ein Steigungsdreieck mit der Höhe y hat also die Grundseite
cx
2cx = 1 2 x
Die Tangente schneidet somit die Scheiteltangente (hier die x-Achse) bei x/2. In Abb. 3
gilt demnach
Die Tangente im Punkt X der Parabel schneidet die Scheiteltangente in H.
Der Punkt H ist der Mittelpunkt von PT.
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