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5 Differentialgleichungen
mit konstanten p und q. Mit dem Exponentialansatz ermitteln wir die Lösung der homogenen
Gleichung: y = C u + C u . Fasst man hier die C i als Funktionen von x auf, dann
gilt:
y ′ = C ′ u + C ′ u + C u ′ + C u ′
y ″ = (C ′ u + C ′ u ) ′ + C ′ u′ + C′ u′ + C u ″ + C u ″
(60)
Da wir ja nur irgendeine partikuläre Lösung suchen, kann man an die C i vereinfachenden
Forderungen stellen, etwa
C ′ u + C ′ u = 0 und C ′ u′ + C′ u′ = r(x) (61)
wendet man diese Vereinfachungen auf Gl. (60) an, dann folgt:
y ′ = C u ′ + C u ′
y ″ = C u ″ + C u ″ + r(x)
Dies in die inhomogene dgl eingesetzt liefert:
Daraus folgt
C u ″ + C u ″ + r(x) + p(C u ′ + C u ′ ) + q(C u + C u ) = r(x)
C (u ″ + pu′ + qu ) + C (u ″ + pu′ + qu ) = 0
was erfüllt ist, da die u i Lösungen der homogenen Gleichung sind.
Die Gleichungen (61) sind nun zwei Gleichungen für die unbekannten Funktionen C ′
und C ′ . Löst man dieses Gleichungssystem ganz normal nach den C′ auf, dann folgt:
i
C ′ =
−r(x)u
u u ′ − u′ u
C ′ =
r(x)u
u u ′ − u′ u
Mit
entsteht dadurch das allgemeine Integral
y = −u r(x)u
W
W = u u ′ − u′ u
dx + u r(x)u
W
dx (62)
die beiden notwendigen Integrationskonstanten entstehen dabei aus den Integrationskonstanten
der beiden Integrale.
Anmerkung zu zusammenfallenden Lösungen: Ergeben sich beim Exponentialansatz y =
exp(λx) für λ keine zwei Lösungen, so hat man nur eine unabhängige Lösung u = C e λ x.
Eine vollständige allgemeine Lösung ist dann u = (A + Bx)e λx .
Entsprechendes gilt für lineare dgl höherer Ordnung. Eine r-fache Lösung der charakteristischen
Gleichung trägt den Summanden
zur allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung bei.
(C + C x + ⋯ + C r x r− )e λx (63)
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