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6.1 Numerische Integration
6.1.2. Fortgesetzte Halbierung
Wir wollen nun annehmen, dass wir jeden beliebigen Funktionswert der Funktion f(x)
bestimmen können. Dann kann man die Stützstellen so legen, wie es einem passt. Das
Integrationsintervall hat nun die Länge l = b − a. Zur Vereinfachung soll hier a = 0 und
l = 1 gesetzt werden. Wir wollen also das Integral
f(x) dx
näherungsweise bestimmen. Die gröbste Näherung ist mit der Trapezformel über das
ganze Intervall:
T = f(0) + f(1)
Um die Näherung zu verbessern, halbiert man das Intervall und wendet die Trapezformel
auf jedes Teilintervall an. Den Wert des linken Trapezes nennen wir T( ), weil x = die
Mitte des linken Trapezes ist und den rechten T( ). Die Summe dieser beiden Werte ist
dann:
T = T( ) + T( ) = f(0) + 2f( ) + f(1) = T + f (78)
Für eine weitere Halbierung braucht man nun die Trapeze
T = f(0) + f( )
T = f( ) + f( )
T = f( ) + f( )
T
= f( ) + f(1)
Die Summe ist dann:
T = 1 8 f(0) + 2f( ) + 2f( ) + 2f( ) + f(1)
anders geschrieben:
T = 1 2 T + f( ) + f( ) (79)
Jetzt erkennt man das System: Es muss immer das Mittel der hinzukommenden Funktionswerte
zum vorhergehenden Trapezwert addiert werden. Damit wäre die nächste Verbesserung:
T = 1 2 T + f( ) + f( ) + f( ) + f( ) (80)
Ist f eine stetige Funktion, dann erhält man auf diese Weise eine Folge T , T , T , … von
Näherungen, die gegen das Integral streben.
Wie bei der Trapezregel soll wieder eine Verbesserung gesucht werden, die auch
quadratische Funktionen exakt berechnet. Es war ja
x dx = 1
3
und T = 1 2
und T = 3 8
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