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5 Differentialgleichungen
Daraus folgt nun
φ(y) = − ln(y + 1) ⇒ u(x, y) = x ln(y + 1) − ln(y + 1) = (x − 1) ln(y + 1)
Die allgemeine Lösung ist also:
5.3. Integrierender Faktor
Zu der Differentialgleichung
(x − 1) ln(y + 1) = C
P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0
existiert immer ein integrierender Faktor μ(x, y) derart, dass die Gleichung
μP dx + μQ dy = 0
total ist. Wenn man dies nun als gültig anerkennt, dann muss μ(x, y) die Integrabilitätsbedingung
erfüllen:
∂μP
∂y
= ∂μQ
∂x
⇔
P ∂μ
∂y − Q∂μ ∂x + μ ∂P
∂y − ∂Q
∂x = 0 (53)
Diese Gleichung allgemein zu lösen, ist meistens viel schwieriger als die Lösung der
Ausgangsgleichung, allerdings genügt ja die Kenntnis einer partikulären Lösung für
μ(x, y), die man oft durch Raten finden kann. Direkt lösen kann man sie, wenn μ nur von
einer Variablen abhängt. Im Falle, dass z. B. μ = μ(x) gilt, wird Gl. (53)
Qμ ′ (x) = μ ∂P
∂y − ∂Q
∂x ⇒ μ′ (x)
μ(x) = 1 Q ∂P ∂y − ∂Q
∂x (54)
und diese Gleichung kann man sofort integrieren.
Für einen nur von y abhängigen Faktor μ(y) bekommt man entsprechend:
μ ′ (y)
μ(y) = − 1 P ∂P ∂y − ∂Q
∂x (55)
Ein solcher, nur von einer Variablen abhängiger, integrierender Faktor existiert also
genau dann, wenn die rechte Seite von Gl. (54) nur von x bzw. die rechte Seite von Gl. (55)
nur von y abhängig ist.
Beispiel:
Das ist keine totale dgl, denn ∂P
∂y
also nicht erfüllt. Nun ist aber:
(1 − xy) dx + (xy − x ) dy = 0
= −x, aber
∂Q
∂x
1
Q ∂P ∂y − ∂Q
∂x −x − (y − 2x)
= = − 1 xy − x x
= y − 2x, die Integrabilitätsbedingung ist
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