Mathematische Grundlagen - SFZ-WEB-Seite Mathematik-Server

5 Differentialgleichungen
funktionen. Mathematica oder Maple können aber sehr viele Differentialgleichungen
lösen.
5.1. Trennung der Variablen
Es soll die folgende dgl gelöst werden:
y ′ = x y
oder
dy
dx = x y
Diese Gleichung kann so umgestellt werden, dass auf jeder Seite nur noch eine Variable
vorkommt. Man sagt, man habe die Variablen getrennt.
dy
y = x dx
Nun kann man beide Seiten der dgl integrieren:
ln y = 1 3 x + C ⇒ y = exp( 1 3 x ) exp(C) = A exp( 1 3 x )
Damit haben wir die möglichen Lösungsfunktionen gefunden. Man beachte das Auftreten
der Integrationskonstanten C. Dadurch wird immer als Lösung einer dgl eine
Funktionenschar herauskommen. In diesem Beispiel sind alle (positiven) Vielfachen der
Exponentialfunktion Lösungen. Lösungen der dgl, die keine allgemeine Integrationskonstante
besitzen, also eine einzelne Funktion und keine Funktionenschar darstellen,
werden partikuläre Lösungen genannt. Lösungen mit allen nötigen Integrationskonstanten
heißen allgemeine Lösungen der dgl.
Die Integrationskonstante braucht nur auf einer Seite der Gleichung angebracht zu
werden, hätte man oben ln y + C = x + C geschrieben, so brauchte man nur C auf
die rechte Seite zu bringen und dann C = C − C zu setzen.
Bei den meisten Problemen sind weitere Bedingungen gegeben, die dann die Integrationskonstante
festlegen. In unserem Beispiel könnte man etwa fordern, dass y = 1 für
x = 3 sei, dann hätte man für die Integrationskonstante A:
1 = Ae ⇒ A = e −
5.2. Totale Differentialgleichung
Ist die Gleichung
u(x, y) = C
mit einer willkürlichen Konstanten C gegeben, dann entsteht durch Bildung des totalen
Differentials:
du = ∂u ∂u
dx + dy = 0 (49)
∂x ∂y
34