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5 Differentialgleichungen
Sind die Lösungen λ und λ beide reell und verschieden, dann kann man die Lösung
sofort angeben:
x(t) = A e λt + A e λt γ
, falls
2 > ω (65)
Man kann die Lösung noch ein bisschen anders schreiben:
x(t) = e −tγ/ (A e Γt + A e −Γt ) mit Γ =
γ 2 − ω < γ 2
Nach längerer Zeit überwiegt der Summand mit A und die Funktion geht über in:
x(t) = A e t(Γ−γ/)
Der nächste Fall ist der zusammenfallender Lösungen, wenn also
λ = λ = λ = − γ 2
ist. Als Lösung kann man nun schreiben:
d. h.
γ
2 = ω
x(t) = A e λt + A e λ = (A + A )e λt = Ce λt
Diese Funktion hat nur noch eine Integrationskonstante, kann also nicht die allgemeine
Lösung sein, sondern nur eine spezielle Lösung. Wo bekommt man jetzt eine zweite
Integrationskonstante her?
Dazu ändert man zunächst γ oder ω ein bisschen ab, so dass wieder zwei Lösungen
entstehen, die sich um einen kleinen Betrag δλ unterscheiden:
λ = λ λ = λ + δλ ⇒ x(t) = e λt (A + A e δλt ) = e λt (A + A (1 + δλ ⋅ t))
wobei man im letzten Schritt die Näherung e x = 1 + x für kleine x verwendet hat. (vgl.
Gl. (44))
Nun führen wir die beiden Integrationskonstanten ein:
A = A + A
B = A δλ
Nun machen wir den Grenzübergang δλ → 0, aber so, dass A und B endlich bleiben.
Dies ist nur möglich, wenn A → −∞ und A → ∞ gilt. Damit erhält man die Lösung:
x(t) = e −γt/ (A + Bt) (66)
Was mit den Ausführungen zu Gl. (63) übereinstimmt.
Diese Lösung wird als aperiodischer Grenzfall bezeichnet. Dies ist auch eine »Begründung«
der Regel über zusammenfallende Lösungen der charakteristischen Gleichung
von oben.
Schließlich der letzte Fall: γ/2 < ω 0 . Dann werden die λ komplex. Wir setzen nun:
ω =
ω − γ
4 ∈ R ⇒ λ , = − γ 2 ± iω
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