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1.3 Hyperbel
Weiter in der Analogie:
a + r p =
p
ε − 1 +
p
ε + 1 =
Mittelpunktsgleichung
pε
ε − 1 = ε a = e und e = ε a = a + b
Aus der Mittelpunktsgleichung (6) der Ellipse entsteht ebenso die Mittelpunktsgleichung
der Hyperbel:
x y
−
a b = 1 ⇒ y = b
a (x − a ) (9)
Asymptoten
In der Polargleichung (1) geht r gegen Unendlich wenn der Nenner Null wird. Dies ist
der Fall, wenn
1 + ε cos φ = 0 ⇒ cos φ = − 1 ε ⇒ tan φ = 1 − cos φ
cos φ
= √ε − 1
Dies ist gerade b/a. Damit gilt für den von den beiden Asymptoten eingeschlossenen
Winkel θ:
tan θ 2 = b a = √ε − 1 und cos θ 2 = −1 ε
und sin θ 2 = 1 ε √ε − 1 (10)
Dies hätte man auch aus der Mittelpunktsgleichung (9) der Hyperbel ersehen können,
denn für große x geht diese in
y = b
a x ⇒ y = ± b x (11)
a
über, und das sind die Gleichungen der beiden Asymptoten.
Krümmungskreis
Auch der Krümmungskreisradius kann übertragen werden:
Brennpunkteigenschaften
ρ = −b
−a = b
a
= p (12)
Bei der Ellipse war die Summe der Längen der beiden Brennstrahlen 2a. Bei der Übertragung
müsste sie −2a sein. Betrachtet man die Herleitung der Formel auf Seite 7, dann
stellt man fest, dass die Übertragung auf ein negatives F ′ X führen würde, während FX
unverändert bliebe, so dass man für die Brennpunkteigenschaften erhält:
Die Differenz der Brennstrahlen zu einem Hyperbelpunkt ist immer 2a.
Die Hyperbeltangente halbiert den von den Brennstrahlen eingeschlossenen
Winkel.
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