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5.4 Lineare Differentialgleichungen
Setzt man diese λ in die Lösung Gl. (65) ein, dann bekommt man:
x(t) = e −γt/ (A e ωt + A e −ωt )
= e −γt/ [A (cos ωt + i sin ωt) + A (cos ωt − i sin ωt)]
Hier haben wir die Eulersche Formel verwendet. Wir sortieren die Gleichung noch
etwas um:
x(t) = e −γt/ [(A + A ) cos ωt + i(A − A ) sin ωt]
Da die Lösung aus physikalischen Gründen reell sein muss, müssen die A k selbst komplex
sein, und zwar so
A + A = A und A − A = −iB
mit reellen A und B. Mit dieser Setzung wird 2A = A − Bi und 2A = A + Bi. Nun
bekommt man wieder eine reellwertige Funktion:
x(t) = e −γt/ [A cos ωt + B sin ωt] (67)
Dies ist die allgemeine Lösung im dritten Fall. Sie stellt nun tatsächlich eine harmonische
Schwingung dar, die durch den Faktor exp(−γt/2) gedämpft wird.
Beispiel Keplerbewegung:
Energiesatz:
Für die Keplerbewegung gilt der Drehimpulssatz und der
m(r × dr
dt ) = L 1
m dr
2 dt − GMm = E
r
Da die Bewegung in einer Ebene verläuft, führt man in dieser Ebene Polarkoordinaten
ein, dann gilt dr = dr + r dφ . Für den Betrag des Drehimpulses L gilt dann
L = mr ⋅ r dφ
dt
= mr
dφ
dt
da nur die zu r senkrechte Komponente von dr/dt zum Drehimpulsbetrag beiträgt. Die
Energiegleichung wird dann zu:
E = m 2 ⋅ dr + r dφ
dt
− GMm
r
= m ⎛ dr dφ dφ ⎞
2 ⎜ +
⎝dφ r
dt dt ⎟
⎠
− GMm
r
Gesucht ist ja die Funktion r(φ), deshalb wird die Energiegleichung so umgeformt,
dass nur noch r und φ vorkommen. Nun ist aber wegen des Drehimpulses
dφ
dt
L h
= ≡
m r r
und dies eingesetzt in die Energiegleichung liefert
E = m 2
dr h
dφ r
+
h
r − GMm
r
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