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6 Näherungsverfahren für Differentialgleichungen
2
1
-2 -1 1 2
-1
-2
Abb. 8 Richtungsfeld der dgl von Gleichung (83)
Der Näherungswert wird umso genauer ausfallen, je kleiner die Schrittweite h ist. Nun
lassen wir einen weiteren Iterationsschritt folgen, der nun y als Startwert nimmt und
den Wert y an der Stelle x = x + h annähern soll. Dann ist
y = 2 − hx
2 + hx
⋅ y
Da y schon ungenau war, wird y den gesuchten Wert y(x ) mit höherer Ungenauigkeit
liefern; es ist also mit einer Erhöhung des Fehlers im Verlauf des Verfahrens zu
rechnen. Deshalb wird man in der Praxis den Schritt h nicht konstant lassen, sondern
verkleinern, wenn man in Gegenden kommt, wo y(x) stärker variiert. Damit hat man die
Rekursionsformel:
y n+ =
2 − hx n
⋅ y
2 + hx n (85)
n+
Ein Zahlenbeispiel für x = 0, y = 1 und h = 0, 1 liefert die Tabelle
x = 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
y = 0.995 0.980 0.956 0.923 0.882
Diese Näherungen sind auf drei Dezimalen genau.
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