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5.4 Lineare Differentialgleichungen
Beispiel:
Es sei die dgl gegeben:
y ″ + y = 1
cos x
Ansatz für die Lösung des homogenen Systems: y = e λx . Daraus λ + 1 = 0. Dies
liefert die beiden komplexen Werte λ , = ±i, also die Lösungen e x und e −x . Da jede
Linearkombination ebenfalls eine Lösung ist, kann man wählen (e x + e −x ) = cos x
und (e x − e −x ) = sin x, womit man wieder rein reelle Lösungen erzeugt hat. Damit ist
u = cos x und u = sin x
Für W bekommt man dann W = cos x + sin x = 1 und damit aus Gleichung (62) die
allgemeine Lösung:
y = − cos x tan x dx + sin x dx = cos x ⋅ (A + ln | cos x|) + sin x ⋅ (B + x)
Beispiel: Schwingungsgleichung Als Beispiel lösen wir die Schwingungsgleichung mit
Dämpfung. Diese hat die Form:
ma = −kv − Dx ⇒ m d x
= −kdx
dt dt − Dx
Um sie in eine »schönere« Form zu bringen, verwendet man die folgenden Größen:
ω =
D
m
γ = k m
Damit bekommt die Schwingungsgleichung die folgende Form:
d x
+ γdx
dt dt + ω x = 0 (64)
Das ist eine homogene lineare dgl mit konstanten Koeffizienten.
Mit dem Lösungsansatz
x = e λt
dx
dt = λeλt
d x
dt = λ e λt
folgt nach Einsetzen und Division der Gleichung durch e λt
diese Gleichung hat die beiden Lösungen:
λ + γλ + ω = 0
λ , = − γ 2 ± γ 2 − ω
Nun muss man diverse Fälle unterscheiden:
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