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5.4 Lineare Differentialgleichungen
5.4.5. Einige direkte Ansätze für partikuläre Lösungen
In vielen Fällen findet man bei linearen dgl mit konstanten Koeffizienten eine partikuläre
Lösung ohne die Variation der Konstanten anwenden zu müssen. Einige Fälle seien hier
ohne Beweis mitgeteilt.
Bezeichnet man mit D den Operator D = , dann kann eine solche Gleichung in der
x
Form
F(D)y = f(x)
geschrieben werden, z. B. ist y ″ + y ′ − 6y = 8e x dasselbe wie (D + D − 6)y = 8e x und
das charakteristische Polynom ist dann F(λ) = λ + λ − 6.
Nun gilt:
1. Ist f(x) = Ae αx , so ist eine partikuläre Lösung y = Aαx
, sofern F(α) ≠ 0 ist.
F(α)
Sollte α eine r-fache Nullstelle von F(α) sein, also F(D) = G(D)(D − α) r gelten, dann
ist die partikuläre Lösung durch y = Aαx x r
gegeben.
r!G(α)
2. Mit obiger Regel kann man auch den Fall f(x) = A sin ωx mittels komplexer Rechnung
erledigen, indem man f(x) als Imaginärteil von Ae ωx betrachtet.
3. Ist f(x) ein Polynom vom Grad k, so kann man für die partikuläre Lösung ebenfalls
ein Polynom k-ten Grades ansetzen.
4. Ist f(x) = P k (x)e αx , wo P k ein Polynom k-ten Grades ist, dann ist Q k (x)e αx , wo Q k
ein Polynom höchstens k-ten Grades ist, eine partikuläre Lösung.
5. Der Fall f(x) = P k (x)e αx cos ωx lässt sich auf den vorigen zurückführen indem man
f(x) als Realteil von P k (x)e (α+ω)x betrachtet.
Beispiel: (D + 1) y = e −x + x . Linke Seite ausgeschrieben lautet: y ‴ + 3y ″ + 3y ′ + y.
Die charakteristische Gleichung hat nur die dreifache Nullstelle λ = −1. Die allgemeine
Lösung der homogenen Gleichung ist demnach: u = (C + C x + C x )e −x . Wir müssen
nun partikuläre Lösungen für die rechten Seiten x und e −x suchen. Nach dem
Superpositionsprinzip ergibt sich ja die Gesamtlösung als Summe der Lösungen für die
Summanden.
Für x setzt man y = A + Bx + Cx an. Dann erhält man durch Einsetzen:
0 + 3 ⋅ 2C + 3 ⋅ (B + 2Cx) + (A + Bx + Cx ) = x ⇒
(C − 1)x + (B + 6C)x + (A + 3B + 6C) = 0
woraus durch Koeffizientenvergleich C = 1, B = −6 und A = 12 folgt. Damit ist die
partikuläre Lösung y = x − 6x + 12
Für den Summanden ist Regel 1 anzuwenden. Hier ist α = −1 eine r = 3 fache Nullstelle
von F(λ), damit ist G(D) = 1 und die Partikulärlösung lautet: y = x e −x
Somit ist die allgemeine Lösung der dgl:
y = (C + C x + C x + x )e −x + x − 6x + 12
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