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6 Näherungsverfahren für Differentialgleichungen
6.2.2. Gleichungssysteme und DGL höherer Ordnung
Differentialgleichungen höherer Ordnung werden immer auf ein System von Differentialgleichungen
erster Ordnung zurückgeführt. Nimmt man z. B. die Gleichung
y ″ + P(x)y ′ + Q(x)y = F(x)
Dann kann man y ′ = p setzen und erhält das System aus zwei Gleichungen:
y ′ = p
p ′ = F(x) − P(x)p − Q(x)y ≡ f(x, y, p)
Dieses System benötigt wie die ursprüngliche dgl zweiter Ordnung zwei Anfangsbedingungen:
y(0) = y und p(0) = p .
Analog geht man vor, wenn man dgl noch höherer Ordnung hat. Als Beispiel soll ein
physikalisches Problem gelöst werden: Ein Schwingkreis besteht aus einer Spule mit
Induktivität L und einem Kondensator mit Kapazität C. Wir suchen die Stromstärke I
und die Spannung U an der Spule als Funktion der Zeit. Dann bekommt man das System:
dI
dt = 1 L ⋅ U(t) und dU
dt = − 1 ⋅ I(t) (95)
C
Die Anfangsbedingungen seien:
I(0) = I und U(0) = U
Dieses System löst man nun mit genau denselben Waffen numerisch, die im vorigen
Abschnitt benützt wurden, also mittels der Methoden von Euler oder Runge-Kutta.
Man wählt einen kleinen Zeitschritt h und integriert beide Gleichungen:
I(h) = I + 1 L h U(t) dt
U(h) = U − 1 C h I(t) dt
Nähert man die Integrale mittels der Trapezregel, dann bekommt man
I = I + h
2L (U + U )
U = U − h
2C (I + I )
Löst man dieses lineare Gleichungssystem auf, dann erhält man die Rekursionsformeln:
I =
1 − h
CL I + h L U
1 + h
CL
und U =
− h C I + 1 − h
CL U
1 + h
CL
Von diesen Werten ausgehend macht man dann den Schritt zum Zeitpunkt 2h usw.
Natürlich kann man auch die bessere Methode von Runge-Kutta benützen. Dann
bekommt man ein Schema wie in Tabelle 3 für das allgemeine System
y ′ = f(x, y, z) z ′ = g(x, y, z) mit y(x ) = y z(x ) = z
Jeder k- bzw. l-Wert wird berechnet, indem man die Funktion f bzw. g mit den Argumenten
auswertet, die in derselben Zeile davor stehen und das so ermittelte Resultat
noch mit h multipliziert.
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