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2 Differentialrechnung
existiert. Alle elementaren Funktionen (Polynome, gebrochen rationale Funktionen, Wurzeln,
trigonometrische Funktionen, Exponentialfunktionen, …) sind differenzierbar.
Mit der Punkt-Steigung-Form der Gerade kann man nun die Gleichung der Tangente
anschreiben:
y = m t (x − x ) + f(x ) = f(x ) + f ′ (x )(x − x )
Die Gleichung lässt sich umschreiben auf die Verwendung von Δx und dy:
y − f(x ) = f ′ (x )Δx ⇒ dy = f ′ (x )dx ⇒ df(x)
dx
= dy
dx = f′ (x ) (20)
dy bezeichnet man als Differential. Es ist eine Funktion von zwei Variablen, dem Startpunkt
x und dem Zuwachs dx = Δx in x-Richtung. Es gibt den Zuwachs der Tangente
an, während Δy den tatsächlichen Zuwachs der Funktion angibt. Wichtig ist dabei, dass
die Abhängigkeit von dx linear ist. In der letzten Gleichung ist f ′ (x) als Quotient der
Differentiale dy und dx aufgefasst, deshalb nennt man f ′ (x ) auch den Differentialquotienten.
Das Entscheidende ist nun, dass im Grenzfall kleiner dx aus der Differenz Δy das
Differential dy wird.
In der Physik stellt man sich also unter Differentialen extrem kleine Größen vor, für
die man schreiben kann:
dy = f(x + dx) − f(x) = f ′ (x)dx oder: f(x + dx) = f(x) + f ′ (x)dx (21)
Aus Sicht der Mathematik ist das nicht sauber. Ein Größe, die kleiner ist als jede Zahl
(betragsmäßig), ist Null und damit macht die obige Gleichung keinen Sinn mehr. Mathematisch
sinnvoll ist nur der Differentialquotient, der Grenzwert eines Quotienten aus
zwei gegen Null strebenden Größen ist. Ein solcher Grenzwert kann durchaus existieren.
Was der Physiker hier macht, ist tatsächlich die Approximation der Funktion durch
ihre Tangente. Dann sind dy und dx endliche Größen, für die Gl. (21) richtig ist. Dass
diese Gleichung auch auf die Funktion angewendet werden kann, liegt daran, dass für
sehr kleine dx Funktion und Tangente sich kaum mehr unterscheiden. Es wird also der
Grenzübergang »vorweggenommen«.
Der dadurch entstehende »Calculus« ist sehr mächtig. Man rechnet mit den Differentialen
rum, und weil diese ja extrem klein sind, sind höhere Potenzen um Größenordnungen
kleiner, so dass man alle Terme mit dx und höheren Potenzen bei der Rechnung vernachlässigen
kann.
2.2. Ableitungsregeln
Sind u(x) und v(x) Funktionen, a und k Konstanten, dann gelten die Regeln:
Summenregel: (u + v) ′ = u ′ + v ′ insbesondere (u + a) ′ = u ′
Faktorregel: (k ⋅ u) ′ = k ⋅ u ′
Produktregel: (uv) ′ = u ′ v + uv ′ 16