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1.2 Ellipse
Bildet man nun
dann ergibt sich
x (ε + cos φ)
= und
a (1 + ε cos φ)
y
b = (1 − ε ) sin φ
(1 + ε cos φ)
x y
+
a b = ε + 2ε cos φ + cos φ + sin φ − ε sin φ
= ε cos φ + 2ε cos φ + 1
= 1
(1 + ε cos φ) (1 + ε cos φ)
Damit haben wir die Mittelpunktsform der Ellipse
1.2.4. Krümmungskreis
x
a
+
y
= 1 (6)
b Gesucht ist der Radius desjenigen Kreises, der im Punkt P die Ellipse am besten approximiert.
Dieser Kreis wird Krümmungskreis genannt.
Aus Symmetriegründen muss der Mittelpunkt dieses Krümmungskreises auf der
x-Achse liegen. Er habe den Mittelpunkt K(u | 0) und den Radius ρ.
Um den Krümmungskreis zu bestimmen, verwenden wir die Mittelpunktsform. Dazu
schneiden wir den Kreis mit der Ellipse:
Kreis:
Dies in die Ellipsengleichung eingesetzt ergibt:
(x − u) + y = ρ ⇒ y = ρ − (x − u)
1 = x
a + ρ − (x − u)
b
= x
a
b
ρ x
+ −
2ux
+
b b
⇒ a b = (b − a )x + 2a ux + a (ρ − u )
− u
b
Nun beachte man noch, dass der Krümmungskreis im Punkt P berühren muss, also
muss nun u = a − ρ sein, damit hat man:
Die Lösung dieser Gleichung ist:
(b − a )x + 2a (a − ρ)x + a (2aρ − a ) − a b = 0
x = −a (a − ρ) ± a a (a − ρ) − ((2aρ − a ) − b )(b − a )
b − a
Soll Berührung auftreten, dann darf diese Gleichung nur eine Lösung haben, die beiden
möglichen Schnittpunkte müssen also zusammenfallen. Dazu muss die Diskriminante
Null werden:
0 = a − 2a ρ + a ρ − (2aρ − a )(b − a ) + b (b − a ) = (b − aρ) ⇒ ρ = b
a
Damit haben wir den Radius des Krümmungskreises ermittelt:
ρ = b
a
= p (7)
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