Mathematische Grundlagen - SFZ-WEB-Seite Mathematik-Server

5.4 Lineare Differentialgleichungen
Die Integrationskonstanten A und A sind hier komplex, stellen also vier reelle Konstanten
dar. Die allgemeine Lösung braucht aber nur zwei reelle Konstanten, so dass A = 0
gesetzt werden kann. Damit hat man für den physikalisch allein sinnvollen Realteil dann
mit A = Ae φ das Ergebnis:
Ru(t) = R Ae −γt/ e (Ωt+φ) = Ae γt/ cos(Ωt + φ)
Dies ist die allgemeinste Lösung der Gleichung (64), wobei hier Ω komplex sein kann,
nämlich dann, wenn die Lösungen λ , = − γ ± iΩ der charakteristischen Gleichung reell
sind.
u(t) beschreibt also eine Bewegung in der komplexen Ebene, ihr Realteil die Projektion
dieser Bewegung auf die x-Achse.
Für das charakteristische Polynom haben wir hier F(D) = D + γD + ω . Nach der
Regel 1 von oben hat man dann als Ansatz für eine partikuläre Lösung zu nehmen (mit
α = iω):
v(t) = aeiωt
F(iω) = ae ωt
ae
=
ωt
−ω + iγω + ω ω − ω + iγω
falls F(iω) ≠ 0 ist. Der Fall, dass F(iω) = 0 ist, tritt auf, wenn ω = γ ± Ω ist. Dieser
Fall kann bei echten Schwingungen, wo Ω reell ist, nicht vorkommen, da sonst die
Erregerfrequenz selbst komplex sein müsste.
Im allgemeinen Fall bekommt man so zunächst als komplexe Lösung der erzwungenen
Schwingung:
ae ωt
x(t) = u(t) + v(t) = Ae −γt/+(Ωt+φ) +
ω − ω + iγω
Wir wollen hier nur den einzig interessanten Fall der »echten« Schwingung betrachten,
wo also Ω reell ist. Dann klingt wegen der Dämpfung die homogene Lösung nach
Beendigung des Einschwingvorgangs auf Null ab, so dass nur die partikuläre Lösung v
verbleibt. Für diese gilt dann
v(t) ≡ Ce (ωt+δ) = ae ωt ((ω − ω ) − iγω)
(ω − ω ) + ω γ ⇒ C =
a
(ω − ω ) + ω γ (74)
Die Phasenverschiebung zwischen der Erregerschwingung und e ωt und v(t) ist dann
gegeben durch
e δ =
(ω − ω ) − iγω
(ω − ω ) + ω γ ⇒ tan δ =
δ
Ie
Re = − γω
δ ω − (75)
ω
Wir können feststellen, dass die maximale Amplitude auftritt, wenn ω ≈ ω ist (Resonanzfall),
ohne Dämpfung (also mit γ = 0) bekäme man dann unendliche Auslenkung,
die Dämpfung drückt die Amplitude auf einen endlichen Wert herunter.
49