Mathematische Grundlagen - SFZ-WEB-Seite Mathematik-Server

B
A
B
y 1
y 0
y
A 1 ∗ y 1 y2
∗
y 0
x 0 x 1 x 0 x 1 x 2
h
h h
Abb. 7 Zur numerischen Integration (links) und numerischen Lösung von dgl (rechts).
Diese Situation kann man so interpretieren: Der Oszillator führt eine Fourieranalyse
der Kraftfunktion F(t) durch. Er zeigt maximale Schwingungsamplitude für ω k ≈ ω . So
stellt man bei elektromagnetischen Schwingungen den Radiosender ein. Die einfallenden
Wellen haben Maxima bei den Frequenzen der diversen Sender; der Schwingkreis im
Empfänger wird solange verändert, bis er die Frequenz eines der empfangbaren Sender
erreicht hat.
6. Näherungsverfahren für Differentialgleichungen
Bevor wir in diesem Abschnitt auf die Lösung von Differentialgleichungen eingehen,
betrachten wir die numerische Integration.
6.1. Numerische Integration
6.1.1. Die Trapezregeln
Von der Funktion f(x) seien zwei Stützwerte A(x | y ) und B(x | y ) gegeben. Um das
Integral
x
x
f(x) dx
zu berechnen, kann man in erster Näherung die Fläche durch das Trapez ersetzen, das
die Strecke AB anstelle der Kurve hat. Schreibt man h = x − x , dann ist die Fläche
näherungsweise
x
x
dx ≈ T = h(y + y ) (76)
Das ist die so genannte Trapezregel.
Zur Abschätzung des Fehlers benützen wir die Tangenten in den Punkten A und B
und bezeichnen noch die Ableitungen an den Stützstellen mit
y ′ = f′ (x ) und y ′ = f′ (x )
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