Mathematische Grundlagen - SFZ-WEB-Seite Mathematik-Server

6.2 Numerische Lösung von Differentialgleichungen
Die Schwierigkeit bei der numerischen Integration von dgl ist die Wahl einer günstigen
Schrittweite h und deren Regulierung während des Prozesses. Ein kleines h hält
zwar den Diskretisierungs-Fehler klein, begünstigt aber infolge der vielen Schritte die
Akkumulation der numerischen Fehler.
Allgemeines Vorgehen
Vorgelegt ist nun die dgl
y ′ = f(x, y) mit Anfangsbedingung y(x ) = y (86)
Wie im Beispiel oben wählt man nun einen Schritt h, der zur Stelle x = x + h führt und
integriert die Gleichung über das Intervall:
y(x ) = y(x ) + x
f(x, y) dx
Mit der Trapezregel bekommt man die Näherung:
x
y = y + h[f(x , y ) + f(x , y )] (87)
wobei hier leider die gesuchte Größe y auch noch auf der rechten Seite auftaucht. Oben
konnte man die Gleichung leicht nach y auflösen, aber das kann Schwierigkeiten bereiten.
In diesem Falle muss man die Gleichung numerisch lösen. Dazu braucht man einen
»vernünftigen« Näherungswert für y . Diesen kann man bekommen, wenn man die
Funktion f linearisiert, also statt der Funktion selbst die Tangente verwendet. Damit
bekommt man als Näherungswert für y :
y ∗ = y + hy′ = y + hf(x , y ) (88)
Diese Gleichung nennt man den Prädikator, weil sie einen ersten Wert für y vorhersagt.
Setzt man nun diesen in die rechte Seite von Gleichung (87) ein, dann erhält man:
y = y + h[f(x , y ) + f(x , y ∗ )] (89)
Diese Formel nennt man den Korrektor. Eigentlich müsste man nun den so gewonnenen
Wert von y wieder rechts in (87) einsetzen usw. Das wird üblicherweise nicht gemacht,
den irgendwann muss man ja abbrechen.
Begnügt man sich bei der Näherung für y mit dem Prädikator, so spricht man vom
Verfahren von Euler, verwendet man auch noch den Korrektor, dann hat man das
verbesserte Euler-Verfahren, das auch Methode von Heun genannt wird. Diese Methode
besteht also aus zwei Schritten:
Prädikator: y ∗ = y + hf Korrektor: y = y + h(f + f ∗ ) (90)
wobei gesetzt wurde:
f = f(x , y ) und f ∗ = f(x , y ∗ )
57