Funktionentheorie

Lemma 2.3 (Integrallemma von Goursat) Sei D �= ∅ offen und f holomorph
auf D. Dann gilt für den Rand ∂∆ jedes abgeschlossenen Dreiecks ∆ ⊂ D:
�
f(z)dz = 0.
Mit anderen Worten: Der Integralsatz gilt für Dreiecksränder.
∂∆
Beweis Für jedes Dreieck ∆ bezeichnen wir
mit L(∂∆) seinen Umfang, und wir setzen
a(∆) := �
f(z)dz. Durch Seitenhalbierung
∂∆
teilen wir das Ausgangsdreieck ∆ in 4 kongruente
Teildreiecke ∆1,...,∆4 und orientieren
deren Ränder wie in der Skizze.
Wegen Eigenschaften (d) und (e) ist dann
�
a(∆) =
∂∆
f(z)dz =
4�
�
j=1
∂∆j
∆1
f(z)dz =
∆4
∆3
∆2
4�
a(∆j).
Unter den 4 Integralen a(∆j) wählen wir ein betragsgrößtes aus. Das zugehörige
Dreieck bezeichnen wir mit ∆ 1 . Dann gilt offenbar
j=1
|a(∆)| ≤ 4|a(∆ 1 )|, L(∂∆ 1 ) = 1
2 L(∂∆).
Dieses Verfahren wiederholen wir für ∆ 1 und erhalten ein Dreieck ∆ 2 . So fortfahrend
entsteht eine Folge ∆ ⊃ ∆ 1 ⊃ ∆ 2 ⊃ ... abgeschlossener Dreiecke mit
|a(∆)| ≤ 4 n |a(∆ n )|, L(∂∆ n ) = 2 −n L(∂∆). (2.2)
Nach dem Intervallschachtelungssatz besteht � ∞
n=1 ∆n aus genau einem Punkt c.
Da f holomorph in D ist und c ∈ ∆ zu D gehört, gibt es eine auf D stetige
Funktion mit g(c) = 0, so dass
f(z) = f(c) + f ′ (c)(z − c) + (z − c)g(z) für alle z ∈ D (2.3)
(Zerlegungssatz an der Stelle c). Die speziellen Funktionen z ↦→ f(c) und z ↦→
f ′ (c)(z − c) besitzen aber trivialerweise Stammfunktionen. Daher gilt
�
�
f(c)dz = 0, f ′ (c)(z − c)dz = 0, n ≥ 1,
∂∆ n
∂∆ n
und aus (2.3) folgt durch Integration über ∂∆n a(∆ n �
) = (z − c)g(z)dz , n ≥ 1.
∂∆ n
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