Funktionentheorie

auf |z − c| = ρ gleichmäßig. Gliedweise Integration ist daher erlaubt und liefert
�
(ζ − c) −n−1 �
f(ζ)dζ = an
dζ
= 2πian
ζ − c
|ζ−c|=ρ
|ζ−c|=ρ
(alle übrigen Integrale verschwinden nach Beispiel 1 in 2.1).
Die explizite Bestimmung einer Laurentreihe mittels (4.2) ist i.a. schwierig. Um
die Laurentreihe einer Funktion f zu ermitteln, sollte man eher versuchen, diese
aus bekannten Potenzreihen (geometrische Reihe) zu ermitteln.
Beispiel Die Funktion f(z) =
1
(z−1)(z−2)
ist auf C mit Ausnahme der Punkte
1 und 2 holomorph. Sie läßt sich also auf D1 := {z ∈ C : |z| < 1} in eine
„gewöhnliche“ Potenzreihe (Taylorreihe) entwickeln und auf D2 = {z ∈ C : 1 <
|z| < 2} sowie D3 := {z ∈ C : |z| > 2} in Laurentreihen.
Die Partialbruchzerlegung von f ist f(z) = − 1
1
z−1
und 1
z−2
1
z − 1
1
z − 2
1
z − 1
1
z − 2
z−1
+ 1
z−2
finden wir mit der geometrischen Reihe:
= − 1
1 − z
= −1
2 ·
1
1 − (z/2)
1
=
z ·
1
1 − 1/z
1
=
z ·
1
1 − (2/z)
Hieraus erhalten wir
= −
∞�
f(z) = z
n=0
n − 1
∞� �
z
�n 2 2
n=0
∞�
∞� 1 1
�
z
f(z) = − −
zn 2 2
n=1 n=0
∞� ∞� 1
f(z) = − + 2
zn z
=
∞�
z n
n=0
∞� �
z
�n = −1
2 2
n=0
= 1
∞� ∞� 1 1
=
z zn z
n=0 n=1
n
= 1
z ·
∞�
� �n ∞� 2
=
z
� n
n=0
=
n−1 1
= n
n=1 n=1
−∞�
(2 −n−1 − 1)z n
n=−2
∞�
n=0
= −
40
∞�
n=1
n=1
�
1 − 1
∞�
n=0
2 n+1
1
2 n+1zn −
, und für die Summanden
n−1 1
2
zn �
z n
(2 n−1 − 1)z −n
−∞�
n=−1
z n
für |z| < 1,
für |z| < 2,
für |z| > 1,
für |z| > 2.
auf D1,
auf D2,
auf D3.