R-Workshop II - Inferenzstatistik

R-WORKSHOP II
Inferenzstatistik
Johannes Pfeffer
Dresden, 25.1.2011

01 Outline
Lösung der Übungsaufgabe
Selbstdefinierte Funktionen
Inferenzstatistik
t-Test
Kruskal-Wallis Test
Übungsaufgabe
TU Dresden, 25.1.2011 R-Workshop: Inferenzstatistik Folie 2 von 26

02 Bartwuchs
Lösung der Übungsaufgabe aus Workshop I
Gerd Glatzel, der ein existenzielles Problem mit seinem Haarwuchs hat (den
üppigsten Teil seiner Kopfbedeckung stellen die Augenbrauen dar), stößt bei der
Lektüre seiner Lieblingszeitschrift „Mann vorm Spiegel“ auf das folgende Inserat
der Rapunzel AG:
„Doppel-Haar, das erfolgreichste Haarwuchsmittel, das es je gab! 50% der
Anwender hatten einen monatlichen Haarwuchs von 0,8 cm oder mehr - innerhalb
eines Monats durchschnittlich 1,4 cm längeres Haar.“
Die Lösung seines Problems erhoffend, greift Glatzel sofort zu. Einen Monat später
hat er auch noch die spärlichen Reste seiner „Kopfbedeckung“ verloren. Erbost
sucht er die Rapunzel AG auf (die Blöße mit einem Hut bedeckend), um seinem
Ärger Luft zu machen. Dort erhält er eine Tabelle mit Haarwuchsergebnissen von
Testpersonen des Mittels Doppel-Haar (Haarwuchs innerhalb eines Monats in cm;
negative Werte stehen für Haarausfall).
2. Überprüfe die Herstellerangaben indem du den durchschnittlichen Haarwuchs
sowie den Median, die Varianz und die Standardabweichung des
Haarwuchses berechnest.
3. Zeichne ein Boxplot des Haarwuchses.
4. Zeichne ein Histogramm des Haarwuchses.
5. Schätze mittels eines QQ-Plots ein, ob eine Normalverteilung vorliegt.

02 Bartwuchs
Lösung der Übungsaufgabe aus Workshop I
2. Überprüfe die Herstellerangaben indem du den durchschnittlichen Haarwuchs
sowie den Median, die Varianz und die Standardabweichung des
Haarwuchses berechnest.
> haar install . packages (" pastecs ")
> library ( pastecs )
> stat . desc ( haar )
Haarwuchs
(...)
min -4.2000000
max 10.8000000
range 15.0000000
sum 56.0000000
median 0.8000000 //

02 Bartwuchs
Lösung der Übungsaufgabe aus Workshop I
3. Zeichne ein Boxplot des Haarwuchses.
> boxplot ( haar )
0 5 10
●
Es wird sichtbar, dass ein extremer Ausreißer die Werbeaussage verzerrt.

02 Bartwuchs
Lösung der Übungsaufgabe aus Workshop I
4. Zeichne ein Histogramm des Haarwuchses.
> hist ( haar Histogram $ Haarwuchs of haar$Haarwuchs )
Frequency
0 2 4 6 8
−5 0 5 10
haar$Haarwuchs
Die Werte um den Nullpunkt weisen die höchste Häufigkeit auf. Der Ausreißer ist
deutlich sichtbar. Negative Werte (Haarausfall) haben eine nicht zu
vernachlässigende Häufigkeit.

02 Bartwuchs
Lösung der Übungsaufgabe aus Workshop I
4. Schätze mittels eines QQ-Plots ein, ob eine Normalverteilung vorliegt.
> qqnorm ( haar $ Haarwuchs )
> qqline ( haar $ Haarwuchs )
Sample Quantiles
0 5 10
●
● ●
● ● ●
●
●●●●●
●
● ●
Normal Q−Q Plot
●
● ●
●●
●
●●
● ●
●
●
●
●
●
●●
●●
●
●
●
●
−2 −1 0 1 2
Theoretical Quantiles
●
Eine Normalverteilung der Daten ist wahrscheinlich. Aufgrund der Abweichungen
von der Diagonalen im Anfangs- und Endbereich sollten zusätzlich weitere
(inferenzstatistische) Tests auf Normalverteilung durchgeführt werden.
●

03 Selbstdefinierte Funktionen
Weiterführende R-Syntax – Übung
Syntax
Funktionsname

03 Selbstdefinierte Funktionen
kleiner Hinweis
> sumnm

03 Selbstdefinierte Funktionen
Lösung
> sumnm

04 Inferenzstatistik
Abgrenzung der schließenden Statistik
TU Dresden, 25.1.2011 R-Workshop: Inferenzstatistik Folie 11 von 26

04 t-Test
Voraussetzungen
• Merkmal mindestens intervallskaliert - Ausprägungen lassen sich
quantitativ mittels Zahlen darstellen. Rangunterschiede und Abstand
zwischen Werten können gemessen werden. Beispiele für intervallskalierte
Merkmale sind Temperatur auf der Celsius-Skala, Jahreszahlen, Zeitpunkte.
• Stichproben müssen unabhängig sein - Ist z.B. nicht gegeben, wenn die
gleichen Versuchspersonen direkt nacheinander zwei unterschiedliche GUIs
bewerten.
• Annähernde Gaußverteilung der Daten lässt sich aus den Boxplots der
Daten ablesen: Der Median sollte mittig in der Box liegen und die beiden
Whisker etwa gleich lang sein. Aus der Gauß-Verteilung ergibt sich die
Stetigkeit der Daten, z.B. Temperaturen in Kelvin oder Längen in Metern.
• Varianzhomogenität ist graphisch aus den Boxplots ersichtlich: Die
verschiedenen Boxen nebst Whiskern sollten gleich lang sein. Ein
statistischer Test kann diese Evaluation ergänzen (F-Test, Levene-Test).
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04 t-Test
Überprüfung der Voraussetzungen 1/2
> data2 .1 data2 .1
> summary ( data2 .2)
> boxplot ( Aufgabenerf ~GUI , data2 .1 , xlab =" GUI ",ylab ="
Aufgabenerfuellung ",col =" purple ")
> qqnorm ( data2 .1$ Aufgabenerf ); qqline ( data2 .1$ Aufgabenerf )
• Intervallskalliert - OK
• Unabhängig - OK
• Annähernde Gaußverteilung
– Der Median sollte mittig in der Box liegen und die beiden Whisker etwa
gleich lang sein. Die Punkte im QQ-Plot sollten ca. auf einer Linie
liegen. - OK
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04 t-Test
Überprüfung der Voraussetzungen 2/2
• Varianzhomogenität
– Levene-Test
> library ( car )
> levene . test ( data2 .1$ Aufgabenerf , data2 .1$GUI )
Wenn der p-Wert über a = 0.05 liegt, muss die Hypothese gleicher Varianzen
beibehalten werden.
D.h.: alle Voraussetzungen sind erfüllt.
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04 t-Test
Anwendung
Die Nullhypothese für den t-Test lautet: „Die mittlere Aufgabenerfüllung ist für
beide GUIs gleich.“ – H0: µ1 = µ2. Die Alternativhypothese lautet: „Die mittlere
Aufgabenerfüllung ist für beide GUIs ungleich.“ Das Risiko 1. Art wird mit a =0.05
festgelegt.
> t. test ( data2 .1$ Aufgabenerf ~ data2 .1$GUI , alternative = "
two . sided ", paired = FALSE , var . equal = TRUE , conf .
level =0.95)
Hier ist es wichtig, die richtige Alternativhypothese und das gewünschte Risiko 1.
Art zu wählen. Da es sich um zwei unabhängige Stichproben handelt, ist bei ’paired’
der Wert ’FALSE’ zu wählen. Je nachdem, ob die Varianzen homogen sind oder
nicht, wird ’var.equal’ auf ’TRUE’ oder auf ’FALSE’ gesetzt. Die Tilde ’∼’ bedeutet,
dass die Werte für „Aufgabenerfüllung“ nach dem Faktor „GUI“ gruppiert werden.
Dies ist notwendig, weil jede Zeile des DataFrames einem eigenen Fall, hier also
jeweils einer anderen Versuchsperson entspricht.
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04 t-Test
Interpretation
Two Sample t-test
data: data2.1$Aufgabenerf by data2.1$GUI
t = 2.1612, df = 27, p-value = 0.03971
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
0.004327426 0.166720193
sample estimates:
mean in group A mean in group B
0.7626667 0.6771429
Der p-Wert (0.03971) liegt unter dem gewählten Risiko 1. Art a = 0.05, daher muss
die Hypothese gleicher mittlerer Aufgabenerfüllung bei beiden GUIs verworfen
werden.
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04 t-Test
Interpretation
t = 2.1612, df = 27, p-value = 0.03971
Die Teststatistik t beträgt 2.1612. Dies ist die Testgröße, die normalerweise mit dem Tabellenwert verglichen
wird. Ist sie extremer, als der Tabellenwert des Quantils zum entsprechenden Freiheitsgrad (df), gilt der
Mittelwertvergleich als signifikant.
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
Die abstrakte Alternativhypothese.
95 percent confidence interval: 0.004327426 0.166720193
Angenommen, man würde den Versuch unendlich oft indentisch wiederholen, dann läge die wahre Differenz in
95% der Fälle im jeweiligen Konfidenzintervall. Praktische Anwendung: Wenn in einem Konfidenzintervall die
Null eingeschlossen ist, gilt das Testergebnis als nicht signifikant. Im Falle einer Signifikanz stellt der Abstand
von Null ein Maß für den Grad der Ablehnung der H0 dar.
sample estimates: mean in group A mean in group B 0.7626667 0.6771429
Die beiden Mittelwerte werden ausgegeben.

04 Daten aus Workshop I
Eigenschaften der Daten 1/2
> data2 .2 data2 .2
> summary ( data2 .2)
> boxplot (MW~GUI , data2 .2 , xlab =" GUI ",ylab ="
Aufgabenerfuellung ",col =" orange ")
> qqnorm ( data2 .2$MW); qqline ( data2 .2$MW)
• Intervallskalliert - OK
• Unabhängig - OK
• Mehr als 2 Gruppen
• Annähernde Gaußverteilung
– Der Median sollte mittig in der Box liegen und die beiden Whisker etwa
gleich lang sein. Die Punkte im QQ-Plot sollten ca. auf einer Linie
liegen. - NICHT OK für t-Test
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04 Daten aus Workshop I
Eigenschaften der Daten 2/2
• Varianzhomogenität
– Levene-Test
> levene . test ( data2 .2$MW , data2 .2$GUI )
Wenn der p-Wert über a = 0.05 liegt, muss die Hypothese gleicher Varianzen
beibehalten werden. - OK
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04 Kruskal-Wallis Test
Voraussetzungen
Was tun, wenn Voraussetzungen für t-Test o.ä. nicht erfüllt sind?
Es muss auf ein nichtparametrisches Testverfahren ausgewichen werden. Diese
Testverfahren haben großzügigere Voraussetzungen - aber in der Regel eine
geringere Teststärke (d.h. größeren Beta-Fehler). Als Beta-Fehler oder Fehler 2. Art
wird beim statistischen Testen der Fehler bezeichnet, den man begeht, wenn man
die Nullhypothese beibehält, obwohl die Alternativhypothese gilt.
Typische Voraussetzungen für nichtparametrische Tests:
• Varianzhomogenität - OK
• Mindestens ordinale Skalierung - OK
• Unabhängige Daten - OK
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04 Kruskal-Wallis Test
Anwendung
Die Nullhypothese (H0) lautet:
„Die unterschiedlichen Benutzeroberflächen haben keinen Einfluss auf den
Mittelwert der Klassifizierungsgenauigkeit (MW)“. Die Nullhypothese wird mittels
des Kruskal-Wallis Tests überprüft. Dieser nichtparametrische Test eignet sich für
kleine Stichproben in Gruppen unterschiedlicher Größe, bei denen keine
Normalverteilung nachgewiesen werden kann.
> kruskal . test (MW~GUI , data2 .2)
Wenn der p-Wert über a = 0.05 liegt, kann H0 nicht verworfen werden. Die
Benutzeroberfläche hat dann also keine nachweisbare Auswirkung auf den
Mittelwert der Klassifizierungsgenauigkeit.
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05 Übungsaufgabe
Dateneingabe
20 Studenten wurden einem Stresstest unterzogen. Dabei wurden Paare gebildet
die sich in ihren bisherigen Prüfungsergebnissen möglichst ähnlich waren. Eine
Gruppe wurde vor dem Test starkem Stress ausgesetzt die andere diente als
Kontrollgruppe. Ihre Ergebnisse auf einer Skala von 0-15 Punkten (15 = bestes
Ergebnis), sehen Sie in folgender Tabelle (fiktive Daten).
Geben Sie die Daten mittels des folgenden Befehls in R ein.
> stress

05 Übungsaufgabe
Auftrag
Führen Sie einen geeigneten t-Test durch.
Hinweise:
• Formulieren Sie eine sinnvoll gerichtete unspezifische Hypothese
• Achtung - es geht um die Differenzen der Paare
• Überprüfen Sie die Voraussetzungen für den t-Test
– Annähernde Gaußverteilung der Paardifferenzen, es wird Robustheit
des Tests gegenüber dem schief in der Box liegenden Median
angenommen
• Schlagen Sie in der R-Hilfe die notwendigen Parameter für den t-Test nach
– Gepaarte Daten, da Studentenpaare gebildet wurden, die sich
möglichst ähnlich sein sollten.
– Art der Alternativhypothese
– ... ?
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05 Übungsaufgabe
Lösung
=⇒ Gepaarter einseitiger t-Test (die eine Studentengruppe wurde einem
Stressprogramm ausgesetzt, was schlechtere Testergebnisse erwarten lässt).
H0: µ Stress >= µNormal - Die Stressbehandlung verschlechtert das Abschneiden der
Probanden nicht.
H1: µ Stress < µNormal - Das Abschneiden der Probanden ist nach der
Stressbehandlung schlechter.
> unterschiede boxplot ( unterschiede ) # schief liegender Median
> t. test ( stress $ Stress , stress $ Normal , paired = TRUE ,
alternative = " less ")
# Achtung - Reihenfolge ist entscheidend , da einseitiger
Test
Der p-Wert (0.01568) ist kleiner als 0.05, deshalb ist das Ergebnis signifkant. Die
Stressbehandlung bewirkt ein verschlechtertes Abschneiden im Test.
(Achtung: für die Übung wurden fiktive Daten verwendet)

05 Übungsaufgabe
Zusatzaufgabe
• Warum können Sie ihre Hypothese nicht direkt mit einem Kruskal-Wallis-Test
überpüfen?
• Wie müssen Sie sie dazu verändern?
• Führen Sie den Kruskal-Wallis Test durch.
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