Vorlesung Finanz- und Versicherungsmathematik - tiera.ru

KAPITEL 5. RENTABILITÄT 125
und die Tilgungs-, Zins-, und Gebührenzahlungen (oder sonstige Sonderzahlungen
wie Aufgeld) als Auszahlungen aus den Kreditkonto, so
stellt sich die Frage nach dem effektiven Jahreszinssatz. Wir haben ihn
in einfachen Fällen in den letzten Kapiteln schon berechnet.
• Ein weiteres Beispiel der Praxis ist die Verrentung von Kapital. Hierbei
wird zuerst in einer Ansparphase über einen gewissen Zeitraum
Kapital angespart. Dieses soll in der Auszahlungsphase als Rente wieder
ausbezahlt werden. Auch hier gibt der effektiver Jahreszinsfuß die
wirkliche Verzinsung des gesamten Zahlungsstroms auf einem fiktiven
Anlagekonto an.
5.2.2 Berechnung des internen Zinssatzes
Im folgende betrachten wir zunächst eine geschlossene quasinormale Investition.
Nach der Vorzeichenregel von Descartes besitzt das Polynom f aus
(5.5) dann genau eine positive Nullstelle x ∗ . Ist das
Deckungskriterium für Investitionen
g (1) =
n�
Ck > 0 (5.6)
k=0
erfüllt, ist also die Summe aller Einzahlungen größer als die Summe der
Auszahlungen, so muß sogar x ∗ > 1 gelten. Denn nach Konstruktion gilt
immer
lim g (x) = −∞ (5.7)
x→∞
da die erste nichttriviale Zahlung als negativ vorausgesetzt wurde.
Beachte: Bei Finanzierungen ist genau umgekehrt zu argumentieren.
Nach diesen Voraussetzungen kann der interne Zinssatz nun leicht mit einer
Kombination aus Bisektionsverfahren und Newton-Verfahren (für Polynome)
berechnet werden.
Beispiel 5.2 Ein Mann zahlt ab seinem 36. Lebensjahr bis zu seinem 65.
Geburtstag vorschüssig jährlich 1200 EUR in eine Rentenversicherung ein.
Diese verspricht, ab dem 66. Lebensjahr vorschüssig eine jährliche Rente von
6000 EUR zu zahlen. Man berechne den internen Zinsfuß