Vorlesung Finanz- und Versicherungsmathematik - tiera.ru

KAPITEL 6. GRUNDLAGEN 162
ergibt.
Heute verwendet man solche analytischen Ansätze höchstens zum ”Glätten
von Rohdaten” bei der Erstellung von Sterbetafeln. Der Erstellung dieser
Sterbetafeln liegt eine wahrscheinlichkeitstheoretische Modellbildung zugrunde,
die wir im folgenden erörtern wollen.
6.2.2 Modellbildung zur Sterbewahrscheinlichkeit
Zunächst einmal zerlegen wir die Zufallsvariable T , damit diese praktisch
leichter zu handhaben ist. Indem wir T := [T ] + (T − [T ]) =: K + S bilden,
wird T zunächst über die diskrete Zufallsvariable K ”ganzzahlig gestutzt” in
dem Sinne, daß bei der Lebensdauer eines x-Jährigen nur ganze Jahre gezählt
werden. Die stetige Zufallsvariable S nimmt dann Werte zwischen 0 und 1
an. Es gilt für t = k + u, k = [t]
Dabei gilt
für k = 0, 1, ....
Modellannahmen
P (T < t) = P (T < k) + P (k ≤ T < k + u)
= P (T < k) + P (K = k ∧ S < u) (6.32)
P (K = k) = P (k ≤ T < k + 1) = kpx · qx,k = k|qx
(6.33)
Um das Modell einfach zu halten, nehmen wir an, daß S von K unabhängig
verteilt ist. Wegen der Unabhängigkeit gilt dann
P (S < u) = P (S < u |K = k ) =
= P (k ≤ T < k + u)
P (K = k ∧ S < u)
P (K = k)
P (k ≤ T < k + 1) = kpx · uqx,k
kpx · qx,k
= uqx,k
qx,k
(6.34)
Ferner nehmen wir an, daß die Zufallsvariable S gleichverteilt ist zwischen 0
und 1.