Netzwerk- und Systemtheorie I

Netzwerk- und Systemtheorie I 

Teil A: Netzwerktheorie 

Sommersemester 2006 

Dr. Steffen Paul 

Infineon Technologies AG 

Neubiberg 

2006-04-11 1

Organisatorisches 

� Lehrveranstaltung: 

Vorlesung oder Übung: Freitag 13 – 17 Uhr H2 

Übung : Mittwoch 13 – 15 Uhr H3 

Vorlesung 

Steffen Paul 

Tel. (089) 234 27462 

Email: Steffen.Paul@infineon.com 

Sprechstunde: Freitag ab 9 Uhr 

ITEM 

Übung 

Karin Zielinski 

Tel. (0421) 218-2092 

Email: zielinski@item.uni-bremen.de 

Raum: W2050 

Prüfung: Schriftlich, zusammen mit Systemtheorie I/II 

erlaubte Hilfsmittel: selbst angefertige Formelsammlung 

2006-04-11 2

Termine 

Termin 

28.4. 

3.5. 

12.5. 

24.5. 

26.5. 

31.5. 

9.6. 

14.6. 

23.6. 

28.6. 

7.7. 

12.7. 

Veranstaltung (h) 

Vorlesung 4 

Übung 2 

Vorlesung 4 

Übung 2 

Vorlesung 4 

Übung 2 

Vorlesung 4 

Übung 2 

Vorlesung 4 

Übung 2 

Vorlesung 4 

Übung 2 

Bemerkung 

Terminverschiebung 

beachten 

2006-04-11 3

Vorlesungsunterlagen / Literatur 

� Folien 

www.item.uni-bremen.de/home/zilli/nw06/nw.htm 

Passwort: NUS_06h 

� Literatur 

– Ch. Desoer, E. Kuh. 

Basic Circuit Theory, McGraw Hill 

– Ch. Desoer, E. Kuh, L. Chua. 

Linear and Nonlinear Circuits, McGraw Hill 

– H.-W. Schüssler. 

Netzwerke, Signale und Systeme 

(2 Bde), Springer Verlag 

– R. Unbehauen. Systemtheorie 1, 

Oldenbourg Verlag 

– B. Girod, R. Rabenstein, A. Stenger. 

Einführung in die Systemtheorie, Teubner 

– R. Paul, S. Paul. Repetitorium 

Elektrotechnik, Springer 

– R. Paul, S. Paul. Arbeitsbuch 

Elektrotechnik Bd. 1, 2, Springer 

2006-04-11 4

Inhaltsübersicht 

1 Einführung: Netzwerktheorie 

2 Netzwerke und ihre Bestandteile 

3 Netzwerkanalysemethoden 

4 Zweitore, Mehrtore 

5 Netzwerke im Zeitbereich 

6 Netzwerke im Frequenzbereich 

7 Netzwerksynthese 

8 Netzwerktheoreme 

2006-04-11 5

Hilfsmittel der Netzwerk- und Systemanalyse 

� Kreatives Herangehen an Aufgabenstellung, Arbeit mit dem 

Lehrbuch, Übungsmaterial 

� Verfügbarkeit eines guten Taschenrechners oder PCs 

� Programme zur Schaltungssimulation 

– PSPICE (www.orcad.com) 

– Multisim/Electronic Workbench (www.multisim.de) 

– AIMSPICE (www.aimspice.com) 

� Programme zur mathematischen Unterstürzung 

– MATLAB/SIMULINK (numerische Analyse) (www.mathworks.de) 

– Octave (www.octave.org) (Matlab kompatibel und frei verfügbar) 

– Mathcad (symbolische/numerische Analyse) (www.mathcad.de) 

– Mathematica (symbolische/numerische Analyse) (www.wolfram.com) 

2006-04-11 6

1. Einführung Netzwerktheorie 

� Netzwerkbegriff 

� Einteilung von Netzwerken 

� Elektrische und nichtelektrische Netzwerke 

� Aufgabe der Netzwerktheorie 

2006-04-11 7

Netzwerkbegriff 

� Ist ein mathematisches Modell zur 

näherungsweisen Beschreibung 

der physikalischen Wirklichkeit 

� Besteht aus der Zusammenschaltung 

von elektrischen Grundelementen 

– ideale, nicht weiter teilbare, 

konzentrierte Bauelemente mit 

mindestens zwei Klemmen 

– keine Nettoladung 

– keine magnetische Kopplung 

� Angabe eines Zusammenhanges 

zwischen Klemmenspannung und 

Klemmenstrom 

� „Bauanleitung“ 

Klemmen 

� Bauelemente klein im Vergleich 

zur Wellenlänge d Strom an beiden Klemmen gleich) 

2006-04-11 8

Unterschied Netzwerktheorie vs. Systemtheorie 

� Systeme 

– Betrachtung des Verhaltens 

� Netzwerke 

� Beziehungen zwischen anliegenden Signalen 

(z.B. Eingangs-Ausgangsverhaltens) 

� Realisierung des Verhaltens ist nicht von Interesse 

– Eine konkrete Realisierung eines Verhaltens 

� Anleitung zur Realisierung des 

Verhaltens 

� Analyse des inneren Verhaltens 

(Stabilität, …) 

V i (z) 

2006-04-11 9

Beispiele von Filtern 

2006-04-11 10

Netzwerkmodell einer physikalischen Schaltung 

Verdrahtung einer 

integrierten Schaltung 

RC-Modell 

Ausbreitung eines Spannungssprunges 

in Zeit und Ort 

voltage (V) 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

x= L/10 

x = L/4 

x = L/2 

x= L 

0 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 

time (nsec) 

3 3.5 4 4.5 5 

2006-04-11 11

Modellierung des MOS-Transistors 

� in Digitalschaltungen als Schalter 

V GS ≥ V T 

R on 

S D 

� in Analogschaltungen als lineare gesteuerte Quellen 

Art des Modells hängt von dessen Verwendungszweck ab 

2006-04-11 12






2006-04-11 13

Einteilung von Netzwerken 

� Netzwerke können nach verschiedenen Kriterien unterteilt werden 

– Eigenschaften der Netzwerkelemente 

� Resistive Netzwerke: keine Energiespeicherung (gedächtnislos) 

� Dynamische Netzwerke: enthalten Energiespeicher (Zustand, Gedächtnis) 

� Lineare Netzwerke: lineares Klemmenverhalten der Netzwerkelemente 

� Nichtlineare Netzwerke: nichtlineares Klemmenverhalten der 

Netzwerkelemente (z.B. Diode) 

� Zeitinvariante Netzwerke 

� Zeitvariante Netzwerke 

– Arten von Signalen im Netzwerk 

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Einteilung von Netzwerken nach Signalen 

Signal 

kontinuierlich 

wertdiskret 

Zeit 

kontinuierlich wertdiskret 

2006-04-11 15






2006-04-11 16

Elektrische und nichtelektrische Netzwerke 

Sehr allgemeines Netzwerkmodell 

besteht aus Verschaltung von 

Elementen mit 

� Flußgröße i 

� Differenzgröße u 

Verschaltung 

i 

u 

Grundelemente 

Netzwerk elektrisches mechanisches thermisches 

Flußgröße i Strom Kraft Wärmestrom 

([A]) ([N]) ([Nm/s]) 

Differenzgröße u Spannung Geschwindigkeit Temperatur 

([V]) ([m/s]) ([grd]) 

2006-04-11 17

2006-04-11 18 

Quelle: Reinschke/Schwarz. Verfahren zur rechnergestützten Analyse linearer Netzwerke






2006-04-11 19

Technische Aufgabenstellungen 

Gegeben 

Gesucht 

Netzwerk 

Gesucht 

Analyse Synthese 

Übertragungsverhalten 

Gegeben 

2006-04-11 20

Systeme – Netzwerke: Beispiele der Netzwerksynthese 

Gegeben: Spannungsübertragungsfunktion 

p + 0.83 

Hp ( ) = 

p + 13 

Gesucht: 

Netzwerkrealisierungen 

Eigenschaften von a), b), c): 

� Identische 

Spannungsübertragungsfunktionen 

� Unterschiedlicher Zahl Elemente 

(insbesondere Kondensatoren) 

� Bei a) und b) ist Übertragungsfunktion 

unabhängig von Beschaltung des 

Ausganges 

2006-04-11 21

Dimensionierungen 

a) 

b) 

c) 

R = 120kΩ 

1 

R = 7,792kΩ 

2 

C = 1μF 

1 

C = 1μF 

2 

R = 100kΩ 

1 

R = 100kΩ 

2 

C = 12μF 

1 

C = 0,769μF 

2 

R = 10,4kΩ 

1 

R = 16,22kΩ 

2 

R = 1,11kΩ 

3 

C = 74,4μF 

2 

2006-04-11 22

2. Netzwerke und ihre Bestandteile 

� Kirchhoffsche Gleichungen 

� Netzwerktopologie 

� Netzwerkelemente 

� Netzwerkerregung 

Aufgaben: Arbeitsbuch Bd. 1, Kap. 3.1 

2006-04-11 23

Kirchhoffsche Gesetze 

� Beschreiben das Verbindungsmehrtor, 

also die Verschaltung der Elemente 

� im quasistationären Fall gelten: 

– Knotensatz 

∑i k = 0 

– Maschensatz 

(geschlossener Weg im Netzwerk) 

k 

∑uk = 0 

k 

Verschaltung 

i 

u 

Grundelemente 

2006-04-11 24

K1 

K2 

Kirchhoffsche Gleichungen - Beispiel 

M1 

M2 M3 

K3 

Maschengleichungen 

Knotengleichungen 

2006-04-11 25







2006-04-11 26

Netzwerktoplogie 

� Ziel: 

Betrachtung der Topologie eines Netzwerkes, um eine vollständige 

mathematische Beschreibung des Netzwerkes zu erhalten 

� Begriffe 

– Graph 

– Knoten 

– Zweig 

– Masche 

– Baum 

� Vorgehensweise: 

Ersetzen aller Netzwerkelemente durch Kanten 

2006-04-11 27

Graph (1) 

� Der Graph G besteht aus einer Menge von Knoten V und einer 

Menge von Zweigen E, wobei ein Zweig zwei Knoten verbindet. 

(Ein Zweig, der nur mit einem Knoten verbunden 

ist, ist bei Netzwerken ohne Bedeutung) 

� Zusammenhängender Graph: 

Zwischen beliebigen zwei Knoten 

gibt es stets eine Verbindung aus 

Zweigen des Graphen 

� Knoten: 

Verbindungspunkt von mindestens 

zwei Netzwerkelementen 

� Zweig: 

Verbindungszug zwischen zwei Knoten 

� Numerierung der 

Knoten und Zweige 

2006-04-11 28

Graph (2) 

� Masche: Zusammenhängender 

Teilgraph, in dessen Knoten je zwei 

Zweige verknüpft sind 

� Baum: Zusammenhängender 

Teilgraph, der keine Masche enthält 

� Vollständiger Baum : 

Baum, der alle Knoten enthält 

� Enthält z = k −1 Zweige 

B 

� Es verbleiben zV = z− zB = z− k 

+1 

Verbindungszweige, 

die nicht zum Baum gehören 

2006-04-11 29

Graph (3) 

� Fundamentalsystem von Maschen: 

Alle Maschen, die jeweils nur 

einen Verbindungszweig enthalten 

� Schnittmenge 

(eines zusammenhängenden Graphen): 

Minimale Teilmenge von Zweigen, 

die den Graphen in zwei Teile 

zerfallen läßt 

� Fundamentalsystem von 

Schnittmengen: 

Alle Schnittmengen, die jeweils nur 

einen Baumzweig enthalten 

2006-04-11 30

Graph (4) 

� Gerichteter Graph: 

Strom und Spannung sind 

gerichtete Größen, daher ist es 

notwendig, in den Zweigen 

Richtungen einzuführen, deren 

Wahl ist beliebig 

� Stromrichtung und Richtung des 

Spannungsabfalls gleich 

� Planarer Graph: Graph, der durch 

kreuzungsfrei in der Ebene 

zeichnen läßt 

2006-04-11 31

Graph (5), Inzidenzmatrizen 

� Erfassung der Graphenstruktur durch Inzidenzmatrizen 

1.) Nummerierung aller Knoten und Zweige 

2.) Einführen einer Orientierung in den Zweigen 

Folgende Inzidenzmatrizen können eingeführt werden: 

� Knoten-Zweig-Inzidenzmatrix 

� Maschen-Zweig-Inzidenzmatrix 

� Fundamentalmaschen-Zweig-Inzidenzmatrix 

� Fundamentalschnittmengen-Zweig-Inzidenzmatrix 

2006-04-11 32

Knoten-Zweig-Inzidenzmatrizen 

K 

v 

⎛k11 K k1z 

⎞ 

⎜ ⎟ 

= 

⎜ 

M O M 

⎟ 

⎜ ⎟ 

⎝kk1 L kkz 

⎠ 

Zweige 

� Kirchhoffsche Gleichungen für alle Knoten 

� Jeder Zweig verbindet zwei Knoten (in jeder Spalte +1, -1 paarweise - 

> Spaltensumme aller Spalten ist immer 0 

-> 1 Knoten entfernen -> Matrix K 

Rang(K)= k-1 

Knoten 

⎧ + 1 

⎪ 

= ⎨ − 1 

⎪ 

⎩ 0 

� Reduzierte Knoten-Zweig-Inzidenzmatrix K besitzt k-1 Zeilen der 

vollständigen Knoten-Zweig-Inzidenzmatrix K v 

k 

ij 

KI 

v z 

= 0 

j-ter Zweig zeigt von 

Knoten i weg 

j-ter Zweig zeigt auf 

Knoten i hin 

j-ter Zweig ist nicht mit 

Knoten i verbunden 

2006-04-11 33

Knoten-Zweig-Inzidenzmatrizen - Beispiel 

� Wahl eines beliebigen Baumes 

� (k-1)-zeiligen Unterdeterminanten von K (k-1 Spalten von K) 

können nur die Werte +1, -1 und 0 annehmen (mindestens eine 

muss nichtsingulär sein) -> K B 

� zu jedem Baum läßt sich eine nichtsinguläre Matrix K B angeben 

T 

� Insgesamt gibt es det( KK 

) verschiedene Bäume 

2006-04-11 34

Maschen-Zweig-Inzidenzmatrizen 

M 

⎛m11 K m1z 

⎞ 

⎜ ⎟ 

= 

⎜ 

M O M 

⎟ 

⎜ ⎟ 

⎝mm1 L mmz 

⎠ 

Zweige 

� Kirchhoffsche Gleichungen für Maschen 

� Bestimmung eines vollständigen Systems unabhängiger Maschen: 

– Wähle willkürlich eine erste Masche und entferne einen der zu dieser 

Masche gehörenden Zweige. 

– Wiederhole den letzten Schritte solange, bis keine Masche mehr existiert 

� Bestimmung von M auch über Fundamentalsystem von Maschen 

(Fundamentalmaschen-Zweig-Inzidenzmatrix) 

� Rang(M) = z-k+1 

Maschen 

m 

ij 

⎧ + 1 

⎪ 

= ⎨ − 1 

⎪ 

⎩ 0 

MU 

z 

j-ter Zweig gleichsinnig 

zur i-ten Masche 

j-ter Zweig gegensinnig 

zur i-ten Masche 

j-ter Zweig nicht in i-ter 

Masche 

= 0 

2006-04-11 35

Maschen-Zweig-Inzidenzmatrizen - Beispiel 

� Wahl der Maschen 

� Bestimmung der Maschen durch schrittweises Aufstellen (s.o.) 

� z = 12, k = 9 , somit 4 unabhängige Maschengleichungen 

2006-04-11 36

1 

Zusammenhang K, M 

� Es gilt: 

Masche 3, Knoten 5 

K(3,:)*M(5,:)^T 

KM 

T 

= 0 

1 2 3 4 

5 

6 7 8 

MK 

T 

= 0 

⎡ 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0⎤ 

⎢ 

−1 −1 0 0 −1 

0 0 0 0 0 0 0 

⎥ 

⎢ ⎥ 

⎢ 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0⎥ 

⎢ ⎥ 

0 0 −1 

0 0 0 1 0 0 0 0 0 

K = ⎢ ⎥ 

⎢ 0 0 0 −1 

1 0 0 1 1 0 0 0⎥ 

⎢ ⎥ 

⎢ 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 −1 

0 0 ⎥ 

⎢ 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 

1 1 0⎥ 

⎢ ⎥ 

⎣ 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 −1 

1 ⎦ 

2006-04-11 37

Satz von Tellegen 

Aus 

KM = 0 MK = 0 

ergeben sich allein aus den Kirchhoffschen Gleichungen folgende 

Aussagen: 

1) die Leistung an Toren verschwindet 

T 

n 

0 u () ti () t 

= ∑ 

k = 1 

k k 

2) Für zwei Netzwerke mit verschiedenen Elementen aber identischen 

Kirchhoffschen Gleichungen gilt (Lösungen ( u (), t i ()),( t uˆ (), t iˆ()) t 

) 

n n 

0 = u () tiˆ() t = uˆ () ti () t 

∑ ∑ 

k k k k 

k= 1 k= 

1 

T 

k k k k 

2006-04-11 38

Schnittmengen-Zweig-Inzidenzmatrizen 

S 

⎛s11 K s1z 

⎞ 

⎜ ⎟ 

= 

⎜ 

M O M 

⎟ 

⎜ ⎟ 

⎝sm1 L smz 

⎠ 

� Kirchhoffsche Gleichungen für Schnittmengen 

� Rang(S) = k-1 

Zweige 

Schnittmengen 

⎧ + 1 

⎪ 

= ⎨ − 1 

⎪ 

⎩ 0 

� Schnittmengen-Zweig-Inzidenzmatrix liefert eine veränderte Form der 

Knotengleichungen KI , die durch Linksmultiplikation mit einer 

v z= 

0 

nichtsingulären Matrix ineinander übergehen: 

S = AKv 

s 

ij 

A nichtsingulär 

SIz 

j-ter Zweig gleichsinnig in 

i-ter Schnittmenge 

j-ter Zweig gegensinning in 

i-ter Schnittmenge 

j-ter Zweig nicht in i-ter 

Schnittmenge 

= 0 

2006-04-11 39

Schnittmengen-Zweig-Inzidenzmatrizen - Beispiel 

� Wahl der Schnittmengen 

� k -1 Schnittmengen 

� Entspricht Knotengleichungen von komplexeren Hüllen 

� Beachte: Stellt man Fundamentalschnittmengen direkt aus dem 

Netzwerk auf, so muß die Orientierung des Schnittes mit dem Strom 

in geschnittenen Baumzweig übereinstimmen, damit man die Form 

I 

K 1 V ⎜ ⎟ 0 

⎝IB⎠ ( ) ⎛ ⎞ V 

= 

direkt erhält 

2006-04-11 40

Zusammenfassung Inzidenzmatrizen 

� Knoten- und Maschengleichungen 

für Zweiggrößen 

⎛K 0⎞⎛ 

Iz 

⎞ 

⎜ ⎟⎜ 

⎟ = 0 

⎝0 M⎠⎝Uz⎠ 

� Rang(K)+Rang(M)= k-1 + z-k+1 = z , also für 2z Unbekannte z 

linear unabhängige Gleichungen 

� Übergang zwischen den verschiedenen Inzidenzmatrizen durch 

nichtsinguläre Transformationen 

⎛T10 ⎞⎛K 0⎞⎛ 

Iz⎞ 

⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ 

⎟ 

⎝0 T2⎠⎝ ⎠⎝Uz⎠ 

= 

0 

0 M ⎛ IV 

⎞ 

T 

⎜ ⎟ 

⎛−M ⎞ 

B 1 0 0 

= ⎜ ⎟ 

⎜ 

IB 

⎟ 

⎝ 0 0 1 M ⎠ 

⎜U⎟ B V 

⎜ ⎟ 

⎝UB⎠ 2006-04-11 41






Aufgaben: Arbeitsbuch Bd. 2, Kap. 8.2, 8.5 

2006-04-11 42

Netzwerkelemente - Einteilung 

� Anzahl der Pole (Klemmen): 

– Zweipole oder Eintore, 

– Vierpole oder Zweitore, 

– Mehrtore 

Passive Netzwerkelemente 

� Widerstand R 

� Kondensator C 

� Induktivität L 

� Übertrager (ideal) 

� Gyrator 

� Nullator, Norator 

� linear/nichtlinear 

� zeitinvariant, zeitvariant 

� ohne/mit Gedächtnis 

Aktive Netzwerkelemente 

� Ideale Spannungsquelle 

– unabhängig 

– gesteuert 

� Ideale Stromquelle 

– unabhängig 

– gesteuert 

2006-04-11 43

Beispiele Netzwerkelemente 

� nichtlineare Widerstände 

– Kalt-/Heißleiter , Dioden, Glühlampe 

� nichtlineare Kapazitäten 

– Sperrschicht, Diffusionskapazität, Raumladekapazität, Varaktordiode 

� zeitvariante Kapazitäten 

– kapazitive Sensoren, Kondensatormikrophon 

� nichtlineare Induktivitäten 

– Spulen mit mag. Kreis, 

2006-04-11 44

Netzwerkgrundelemente R, C, L 

Strömungsfeld Elektrostatisches Feld Magnetisches Feld 

u = f(i) Q = f(u) 

φ= f(i) 

lineares NWE nichtlineares NWE 

zeitunabhängig zeitabhängig 

zeitunabhängig zeitabhängig 

2006-04-11 45

Resistiver Zweipol 

� Zweipol mit u,i-Verhalten durch den Nullpunkt und frei von 

elektrischen und magnetischen Speichervorgängen 

� stets irreversible Energiewandlung elektrische Energie -> Wärme 

� wirkt stets als Verbraucher 

� Netzwerkmodell für Stromleitungsvorgänge des Strömungsfeldes 

� gedächtnislos 

(Verhalten hängt nur von Momentanwerten und momentanem Zeitpunkt ab) 

2006-04-11 46

Resistiver Zweipol 

� Netzwerkmodell für Stromleitungsvorgänge des 

Strömungsfeldes 

� Zweipol mit u,i-Verhalten durch den Nullpunkt und frei von 

elektrischen und magnetischen Speichervorgängen 

� stets irreversible Energiewandlung elektrische Energie -> Wärme 

� wirkt stets als Verbraucher 

� gedächtnislos 

(Verhalten hängt nur von Momentanwerten und momentanem Zeitpunkt ab) 

2006-04-11 47

Resistiver Zweipol (2) 

Allgemeiner zeitinvarianter Fall 

0 = fut ( (), it ()) 

Ohmscher Widerstand: R konstant 

ut () = R⋅it () 

it () = G⋅ut () 

2006-04-11 48

Kapazitiver Zweipol 

Definitionsgleichung: 

QAB = CABuAB → Q= C⋅u � Netzwerkmodell für Verbindung von Stromkreis und el. Feld im 

Nichtleiter 

� Ladungs-Spannungsverhalten (Q,u- Verhalten) kennzeichnet 

Speicherung elektrischer Feldenergie im Dielektrikum 

� verlustloses Element 

� Q-u- Relation geht durch Ursprung oder nicht (Anfangsladung), 

gedächtnisbehaftet 

2006-04-11 49

Kapazitiver Zweipol, i-u- Beziehung 

Gleichspannung u C 

zeitveränderliche 

Spannung u C 

Konvektions- (i K ) und 

Verschiebungsstrom (i V ) 

Konvektionsstrom in Zuleitungen 

i 

{ K 

dQ dCu ( ⋅ C ) 

= = 

1442443 

dt dt 

transportierte Ladung in 

Zuleitung pro Zeitspannung Änderung der Plattenladung 

pro Zeitspanne 

oder 

dCu ( C) duC dC 

i ≡ iK = = C ⋅ + u ⋅ 

C= const C uC= const 

dt dt dt 

für zeitinvariante Kapazität C 

duC 

i ≡ i = C K 

dt 

Stromfluß nur bei zeitveränderlicher Spannung! 

2006-04-11 50

Ladungsspeicherung, Gedächtniswirkung 

zeitinvariante Kapazität: 

gleichwertig 

t 

1 1 

ut () = ut ( ) + = + − 

{ o ∫ idt ut ( o) ( Qt () Qt ( o)) 

C C 

Vorgeschichte to 

123 

Gegenwart 

t 

Qt () = Qt ( ) + 

{ o ∫ idt Ladungs-Strombeziehung 

Anfangsladung t am Kondensator 

o { 

Gegenwart 

� Kondensatorspannung/-Ladung abhängig von Anfangsspannung/ladung 

� Ladungsänderung gleich Zeitintegral des Stromes 

� Spannung/Ladung ist stetig (-> Zustandsgröße) 

2006-04-11 51

Kapazitiver Zweipol 

Zeitabhängige (lineare) 

Kapazität 

Qt () = Ctut ()() oder 

dQ dCu ( ) du dC 

it () = = = Ct () + ut () 

dt dt dt dt 

Stromfluß auch bei 

anliegender 

Gleichspannung ! 

2006-04-11 52

Induktiver Zweipol 

� Netzwerkmodell für die Verbindung von Stromkreis und 

magnetischem Feld 

� Speicherung magnetischer Feldenergie 

� verlustloses Element 

� Ψ-i- Relation geht durch Ursprung oder nicht (-> Anfangsfluß, 

Anfangszustand) 

2006-04-11 53

Induktiver Zweipol (2) 

zeitinvariante Induktivität: 

t 

1 1 

it () = it ( ) + utdt () = it ( ) + () t − ( t ) 

L L 

Anfangswert to 14243 

{ o ∫ 

o ( Ψ Ψ o ) 

Gegenwart 

� Spulenstrom abhängig vom Anfangsstrom 

� Flußänderung gleich Zeitintegral der Spannung 

� Strom/Fluß ist stetig (-> Zustandsgröße) 

2006-04-11 54

Induktiver Zweipol (2) 

Lineare zeitunabhängige 

Induktivität L 

di Ψ 

u = L mit L= = const 

dt i 

t 

1 1 

it () = it ( ) + utdt () = it ( ) + () t − ( t ) 

L L 

Anfangswert to 14243 

{ o ∫ 

o ( Ψ Ψ o ) 

Gegenwart 

2006-04-11 55

Nullator, Norator, Nullor 

� Zweipole, die bei der Modellierung von Operationsverstärkern 

(OPV) verwendet werden 

OPV 

Eingangstor 

OPV 

Ausgangstor 

� Nullator und Norator treten immer nur paarweise auf! 

2006-04-11 56

Operationsverstärker 

invertierender 

Eingang 

Schaltsymbol 

N 

P 

positive 

Versorgungsspannung 

+U B 

-UB nichtinvertierender 

Eingang 

negative 


A 

u - 

u d 

N 

P 

u + 

Grundschaltung 

+U CC 

-U EE 

� Bezeichnung herrührend vom Einsatz in Analogrechnern 

i a 

i B+ 

i B- 

U CC 

ua UEE � große Verbreitung als eigenständiges Bauelement in Elektronik, 

Grundelement der analogen Signalverarbeitung 

2006-04-11 57

Typisches Modell 

Übertragungsverhalten Ersatzschaltung 

linearer Bereich 

(sehr schmal) 

-U CC /A u 

Sättigung 

+U CC 

-U CC 

Virtueller Kurzschluß: 

u + = u - (u d = 0), A u -> 

Ausgangsstrom: 

i a = i B+ - i B- 

Sättigung 

Steigung A u 

U CC /A u 

u d 

ideal: A u -> 

∞ 

∞ 

u d 

- 

+ 

r d 

A uu d 

r a 

Eingangswiderstand r i 

Ausgangswiderstand r a 

Leerlaufspannungs- 

verstärkung A u 

u a 

typisch ideal 

10 6 -10 12 Ω 

10..100 Ω 

10 5 ..10 7 

Idealer OPV: 

� Übertragungsverhalten nur durch Rückkopplungsnetzwerk bestimmt 

� Verstärkereinflüsse eliminiert 

∞ 

0 

∞ 

2006-04-11 58

u + 

u - 

Operationsverstärker: Schaltungsaufbau 

2006-04-11 59

Idealer Übertrager 

� Idealisierte Modellierung des realen Übertragers (Transformators) 

� Lineares, resistives Zweitor (kein dynamisches Element!) 

� Unendliche Eigeniduktivität 

� Verlustlos 

u = üu 

1 2 

1 

i =− i 

ü 

1 2 

2006-04-11 60

Unabhängige ideale Quellen 

� Unendlich große Leistungsergiebigkeit (Gegensatz reale Quelle) 

� Netzwerkelemente parallel zur idealen Spannungsquelle (in Reihe 

zur idealen Stromquelle) können durch Leerlauf (Kurzschluß) 

ersetzt werden 

� Quellen (Umsatzort nichtelektrischer in elektrische Energie): 

Ursache der Ströme und Spannungen in Netzwerken 

Ideale Spannungsquelle: 

Klemmenspannung unabhängig 

vom durchfließenden Strom 

DIN 

Ideale Stromquelle: 

Klemmenstrom unabhängig 

von der anliegenden Spannung 

ut () = uq() t = uAB() t it () = i () 

−∞

� Zweitore, bei denen die Stärke einer Quelle vom Strom- oder 

Spannungswert des anderen Tores abhängt 

� Steuerung ist leistungslos 

� Nicht umkehrbar 

Spannungsverstärker 

Transimpedanzverstärker 

Transkonduktanzverstärker 

Stromverstärker 

2006-04-11 62






2006-04-11 63

Netzwerkerregungen 

� Netzwerkerregungen 

– sind die an Netzwerke angeschlossene Quellen 

– Informationsquellen wie Sprache, Musik, Bild- oder Datensignale sind 

i.R. statistisch 

– Verhalten eines Netzwerkes bei diesen Signalen ist schwer zu ermitteln 

� Für Analyse und Synthese werden daher einfache 

zeitkontinuierliche Funktionen verwendet, 

– aus denen die technisch relevanten Erregungen zusammengesetzt 

werden 

– Ziel ist die Erfassung des Netzwerkverhaltens mit möglichst einfachen 

Erregungen (Testsignale) 

– Wahl des Testsignals hängt davon ab, welche Netzwerkeigenschaft 

untersucht werden soll 

2006-04-11 64

Zeitlich konstante Quellen 

� Spannungsquellen u(t) = const, Stromquellen i(t) = const 

� Wenn eine Lösung der Netzwerkgleichungen existiert, dann gibt es keine 

zeitveränderlichen Prozesse im Netzwerk 

– Stationärer Zustand, Gleichgewichtspunkt, Arbeitspunkt 

– Ausgangspunkt der Kleinsignalanalyse 

� Konsequenz 

d d 

u = 0, i = 0 

i i 

dt dt 

– Kondensatorstrom verschwindet 

-> Ersetzen durch Leerlauf 

(entfernen aller in Reihe liegender Elemente) 

– Spulenspannung verschwindet 

-> Ersetzen durch Kurzschluß 

(kurzschließen aller parallelen Elemente) 

2006-04-11 65

Rechteckimpuls, Diracstoß 

Rechteckimpuls 

1 ⎛t⎞ ⎧1 

t < τ /2 

x(t)= rect ⎜ ⎟ = ⎨ 

τ ⎝τ ⎠ ⎩0 

sonst 

Diracstoß, Deltafunktion 

⎧0 

t ≠ 0 

δ(t)= 

⎨ 

⎩∞ 

sonst 

∞ 

∫ δ(t)dt=1 

−∞ 

Ausblendeigenschaft 

∞ 

∫ 

−∞ 

0 0 

ft () δ(t-t 

)dt= f(t 

) 

Impulsantwort eines NW 

∞ 

ht () = ht ()* δ() t = h( τδ ) ( t −τ) 

dt 

∫ 

−∞ 

2006-04-11 66

Sprungfunktion 

� Einschaltvorgänge 

� Beziehung zur Diracfunktion 

dσ 

δ(t)= 

dt 

⎧1 

t > 0 

σ (t)= = ⎨ 

⎩0 

sonst 

t 

(t)= ( ) 

σ δτ dτ 

∫ 

-∞ 

2006-04-11 67

Harmonische Anregung 

� Periodizitätsbedingung: u(t) = u(t+T) 

� T = Periodendauer = Dauer einer Schwingung 

� Schwingungen/sek (Hz) 

ut () = uˆsin( ωt + ϕ ) 

Amplitude 

� Lineare Systeme reagieren auf ein sinusförmiges Eingangssignal 

mit einem sinusförmigen Ausgangssignal (->Eigenfunktionen) 

� Zerlegung eines Eingangssignals in sinusförmige Anteile 

unterschiedlicher Frequenz 

u 

Phase 

Kreisfrequenz 

ut () = uˆexp( σt)sin( ωt + ϕ ) 

1 

f = = 

T 

ω 

2π 

u 

2006-04-11 68

Zusammenfassung Kapitel 2 

2006-04-11 69

Zusammenfassung Inzidenzmatrizen 

� Knoten- und Maschengleichungen 

für Zweiggrößen 

⎛K 0 ⎞⎛ 

Iz 

⎞ 

⎜ ⎟⎜ 

⎟= 

⎝ 0 M⎠⎝Uz⎠ 

� Rang(K)+Rang(M)= k-1 + z-k+1 = z , also für 2z Unbekannte z 

linear unabhängige Gleichungen 

� Übergang zwischen den verschiedenen Inzidenzmatrizen durch 

nichtsinguläre Transformationen, z.B. 

⎛T10 ⎞⎛K 0 ⎞⎛ 

Iz⎞ 

⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ 

⎟= 

0 

0 T ⎝ 0 M⎠ 

U 

⎝ 2 ⎠ ⎝ z ⎠ 

⎛ IV 

⎞ 

T 

⎜ ⎟ 

⎛−M ⎞ 

= ⎜ 

I 

B 1 0 0 B ⎟ 

⎜ ⎟ 

⎝ 0 0 1 M ⎠ 

⎜U⎟ B V 

⎜ ⎟ 

⎝UB⎠ 0 

2006-04-11 70

Lösung der Kirchhoffschen Gleichungen 

� Für die Zweigspannungen und Zweigströme gilt 

UI 

T 

= 0 

Z Z 

KM 

T 

= 0 

Lösungsvektoren der Kirchhoffschen Gleichung sind zueinander 

orthogonal, bzw. die Verbindungsstruktur der Netzwerkelemente ist 

verlustlos 

� Einführung eines Baumes (Baumzweige und Verbindungszweige) 

� Parametrisierung der Lösungsmenge der Zweigströme bzw. 

Zweigspannungen 

⎛I ⎞ ⎛ 1 

V ⎞ 

I = ⎜ ⎟ = ⎜ 

− 

⎟I 

⎝IB⎠ ⎝ KV 

⎠ 

Z V 

⎛U⎞ ⎛−M V B ⎞ 

U = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟U 

⎝UB ⎠ ⎝ 1 

⎠ 

Z B 

2006-04-11 71

Netzwerkelemente, Netzwerkerregungen 

Netzwerkelemente 

� Widerstände, Kondensatoren, Spulen, Übertrager 

� Quellen: Strom, Spannung, unabhängige Quellen, gesteuerte 

Quellen 

Netzwerkerregungen 

� Konstante Quellen -> Arbeitspunkt einer Schaltung 

� Diracimpuls -> Impulsantwort eines Systems 

� Sprungfunktion -> Einschaltverhalten 

� Sinusförmige Erregung: harmonische Analyse, Laplace 

Transformation 

2006-04-11 72

Anhang zu 2.: Lineare Algebra 

Literatur 

� G. Strang. Lineare Algebra, Springer 

(sehr empfehlenswert!) 

� G. Golub, Ch. Van Loan. Matrix computations. 

Johns Hopkins University Press 

2006-04-11 73

Matrizen, Vektoren 

� Eine Matrix ist ein Zahlenschema 

(große Buchstaben, fett oder Tilde unten) 

⎛a11 a12 L a1m⎞ 

⎜ 

a a 

⎟ 

A = ⎜ ⎟∈ 

⎜ M M ⎟ 

⎜ ⎟ 

⎝an1L L anm 

⎠ 

bzw. als Spaltenvektoren 

� Diagonalmatrix 

21 2mnm 

× 

( L ) 

A = a a a ∈ 

1 2 

m 

n× m 

s 

⎛d1 0 L 0 ⎞ 

⎜ 

0 d 

⎟ 

= ⎜ 2 0 

D 

⎟∈ 

⎜ M O M ⎟ 

⎜ ⎟ 

⎝ 0 L L dn 

⎠ 

� Spaltenvektor 

(kleine Buchstaben, fett oder Tilde 

unten) 

⎛a11 ⎞ 

⎜ 

a 

⎟ 

= ⎜ 21 ⎟ n 

a ∈ 

⎜ M ⎟ 

⎜ ⎟ 

⎝an1 ⎠ 

� Zeilenvektor 

n× n 

a 

( a a L a ) 

= ∈ 

11 12 1m 

Einheitsmatrix d i = 1 

m 

2006-04-11 74

Matrixoperationen 

� Transposition von 

ergibt 

� Addition C = A + B mit c = a + b 

� Multiplikation 

⎛a11 a12 L a1m⎞ 

⎜ 

a a 

⎟ 

A = ⎜ ⎟∈ 

⎜ M M ⎟ 

⎜ ⎟ 

⎝an1L L anm 

⎠ 

21 2mnm 

× 

⎛a11 a21 L an1 

⎞ 

⎜ 

a a 

⎟ 

B = A = ⎜ ⎟∈ 

⎜ M M ⎟ 

⎜ ⎟ 

⎝a1m L L anm 

⎠ 

T 12 m2 

mn × 

C = AB ⋅ 

× 

∈ nm 

A 

ij ij ij 

m 

ij = ∑ 

k = 1 

ik + kj 

c a b 

B ∈ 

m× p 

C ∈ 

n× p 

bij = aji 

B 

A C 

2006-04-11 75

Lineare Gleichungssysteme 

� A, b gegeben x gesucht 

A ⋅ x = b 

× 

∈ nm 

A 

∈ m 

gleichwertig ausgedrückt als Linearkombination der 

Spaltenvektoren von A 

( L ) ⋅ = x + x + L+ 

x = 

1 2 m 1 1 2 2 

m m 

� Vektoren a1 a2 L amsind 

linear abhängig, wenn es 

x1, x2, L, 

xmungleich 

Null gibt, so dass 

xa + x a + L + x a = 0 

x 

b 

∈ n 

a a a x a a a b 

( ) 

1 1 2 2 m m 

2006-04-11 76

Beispiel 

� Gegeben: 

� Gesucht: x 

⎛1 A= ⎜ 

⎝2 3⎞ 

⎟ = 

1⎠ 

a a 

� Lösung: b wird dargestellt als 

Linearkombination der Spalten 

von A 

� Entartete Fälle 

⎛1 −0.5⎞ 

A = ⎜ 

− 

⎟ 

⎝2 1 ⎠ 

⎛0.5⎞ b = ⎜ ⎟ 

⎝ 1 ⎠ 

Unendlich 

viele Lösungen 

b 

x 2 

( ) 

a 2 

1 2 

a 1 

x 1 

⎛−1⎞ b = ⎜ ⎟ 

⎝ 3 ⎠ 

⎛ 2 ⎞ 

x = ⎜ 

− 

⎟ 

⎝ 1⎠ 

⎛1 −0.5⎞ 

A = ⎜ 

− 

⎟ 

⎝2 1 ⎠ 

⎛−1⎞ b = ⎜ ⎟ 

⎝ 3 ⎠ 

x 2 

b 

keine Lösung 

b 

a 1 a2 

x 2 

a 2 

a 1 

x 1 

x 1 

2006-04-11 77

Lineare Abhängigkeit 

� Vektoren a1 a2 L amsind 

linear abhängig, wenn es 

x1, x2, L, 

xmungleich 

Null gibt, so dass 

z.B. erfüllt für 

aber auch für 

( ) 

xa + x a + L + x a = 0 

1 1 2 2 m m 

� Beispiel Löse 

⎛1 A⋅ x = ⎜ 

⎝2 3 

1 

−1 3 

−2⎞ 

⎟⋅ 

x = 0 

0 ⎠ 

Gln. xa + x a + x a + x a = 0 

1 1 2 2 3 3 4 4 

⎛x1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ 

⎜ 

x 

⎟ ⎜ 

− 

⎟ 

⎜ 2 ⎟ 

1 

= ⎜ ⎟ 

⎜x3⎟ ⎜−1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

⎝x4⎠ ⎝ 0 ⎠ 

⎛x1 ⎞ ⎛−2⎞ ⎜ 

x 

⎟ ⎜ ⎟ 

⎜ 2 ⎟ 

4 

= ⎜ ⎟ 

⎜x3⎟ ⎜ 0 ⎟ 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

⎝x4⎠ ⎝ 5 ⎠ 

x 2 

a3 a4 a 1 a2 

x 1 

2006-04-11 78

Lineare Abhängigkeit 

� Die ersten beiden Spalten von A sind linear unabhängig 

� Umformen der Gleichung: 

⎛x1 ⎞ 

−1 −1 

⎜ ⎟ 

⎛1 3⎞ ⎛1 3⎞ ⎛1 3 −1 −2⎞ 

⎛1 0 2 0.4 ⎞ x 

⋅ = ⋅ = ⋅ ⎜ 2 ⎟ 

⎜ ⎟ A x ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ x ⎜ ⎟ = 0 

⎝2 1⎠ ⎝2 1⎠ ⎝2 1 3 0 ⎠ ⎝0 1 −1 −0.8 

⎠ ⎜x3 ⎟ 

⎜ ⎟ 

⎝x4⎠ x1 =−2x3 −0.4x4 

� Auflösen nach x1 , x2 x = 1x + 0.8x 

2 3 4 

� Vollständige Lösung der Gleichung Ax = b kann besitzt zwei frei 

wählbare Parameter x3 , x4 ⎛x1 ⎞ ⎛−2 ⎜ 

x 

⎟ ⎜ 

⎜ 2⎟ 1 

= ⎜ 

⎜x3⎟ ⎜ 1 

⎜ ⎟ ⎜ 

⎝x4⎠ ⎝ 0 

−0.4 

⎞ 

0.8 

⎟ 

⎟ 

⎛x3⎞ ⋅ 

0 ⎟ 

⎜ ⎟ 

⎝x4⎠ ⎟ 

1 ⎠ 

2006-04-11 79

3. Netzwerkanalysemethoden 

� Übersicht 

� Zweigstromanalyse 

� Maschenstromanalyse 

� Knotenspannungsanalyse 

� Modifizierte Knotenspannungsanalyse 

� Vergleich der Verfahren 

2006-04-11 1

Netzwerkgleichungen 

� Für ein Netzwerk sind für die Analyse gegeben: 


⎛ ⎞⎛ 

⎞ 

⎜ ⎟⎜ 

⎟ = 

⎝ ⎠⎝ ⎠ 0 

K 0 Iz 

0 M Uz 

somit insgesamt 2 z unabhängige Gleichungen 

� u-i Beziehungen für alle 

Elemente in den Zweigen, z.B. 

f ( I , U ) = 0 

k k k 

– Widerstand: u = R i, 

– ideale Quellen 

– Kondensator i = c du/dt bzw. 

im Frequenzbereich I = p C U 

� Ziel: Berechnung aller Zweigspannungen und Zweigströme 

� Anmerkung: Hier zunächst nur lineare Netzwerke ohne dynamische 

Elemente 

2006-04-11 2

Analyseverfahren - Übersicht 

2006-04-11 3







2006-04-11 4

Zweigstromanalyse - Tableaugleichungen 

� Lineare Netzwerkelemente werden durch z lineare Gleichungen 

beschrieben 

I z 

R 

U z 

Beschreibende Gleichungen 

(i Elementeindex) 

I 

A B ⎜ ⎟ E 

⎝Uz⎠ ( ) ⎛ ⎞ z 

= 

I z 

Vektor E enthält die 

Erregungen (Quellen) 

E enthält alle 

bekannten Größen! 

RIzi − U zi 

= 0 I + U = U I + 0U 

= I 

U z 

U q 

0 zi zi qi 

I z 

U z 

I q 

zi zi qi 

2006-04-11 5

Zweigstromanalyse - Tableaugleichungen 

� Ziel: Bestimmung aller Zweigspannungen und Zweigströme 

� Methode: 

– Einführen von Richtungen für Strom und Spannung 

– Kirchhoffsche Gleichungen aufstellen 

– Beschreibung der Netzwerkzweige aufstellen 

(hier für den Fall linearer NWE) 

⎛K 0⎞ ⎛0⎞ ⎜ ⎟⎛ Iz ⎞ ⎛ Iz 

⎞ 

0 M = = 

⎜ ⎟ 

⎜ ⎟⎜ ⎟ T⎜ ⎟ 0 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

⎜ ⎟ 

⎜ ⎟ Uz Uz 

⎜ ⎟ 

⎝A B⎠ ⎝E⎠ Lösung bei linearen Netzwerkelementen: 

⎛0⎞ ⎛ Iz 

⎞ −1 

= 

⎜ ⎟ 

⎜ ⎟ T 0 

⎝U⎠ ⎜ ⎟ 

z ⎜ ⎟ 

⎝E⎠ 2006-04-11 6

Beispiel 

� 8 Zweige, 5 Knoten -> 4 

Maschengleichungen, 4 

Knotengleichungen, 16 

Zweiggrößen, mit 2 Quellen 

⎛K0⎞ ⎛0⎞ ⎜ ⎟⎛ I ⎞ ⎛ I 

z z ⎞ 

0 M = = 

⎜ ⎟ 

⎜ ⎟⎜ ⎟ T ⎜ ⎟ 0 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

⎜ ⎟ 

⎜ ⎟ U U 

z z ⎜ ⎟ 

⎝AB⎠ ⎝E⎠ U 7 

5 

I 7 

i −1 

0 

0 

−1 

1 

−1 

1 

0 

0 

1 

0 

0 

0 

0 

0 

1 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0y 

0 

0 0 0 −1 −1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 

1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 −1 0 

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 1 0 0 0 

R@1D 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 

0 R@2D 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 

0 0 R@3D0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 

0 0 0 R@4D0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 

0 0 0 0 R@5D0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 

0 0 0 0 0 R@6D0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 

k 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0{ 

I 

⎛ z ⎞ 

⎜ ⎟= 

⎝Uz⎠ i 0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

Uq1 

y 

k Iq2 { 

I 8 

2006-04-11 7 

U 8

i 

k 

Beispiel (Fortsetzung) 

� Lösung der Zweiggrößen durch symbolische Analyse (zur 

Demonstration von Mathematica) 

Uq1HR@3D R@5D+R@4D R@5D+R@2DHR@3D+R@4D+R@5DL+R@3D R@6D+R@4D R@6D+R@5D R@6DL−Iq2 R@2DHHR@3D+R@5DL R@6D+R@4DHR@5D+R@6DLL 

R@3DHR@4D R@5D+R@4D R@6D+R@5D R@6DL+R@2DHR@3D R@4D+R@4D R@5D+R@3D R@6D+R@4D R@6D+R@5D R@6DL+R@1DHR@3D R@5D+R@4D R@5D+R@2DHR@3D+R@4D+R@5DL+R@3D R@6D+R@4D R@6D+R@5D R@6DL 

Uq1 HHR@3D+R@5DL R@6D+R@4DHR@5D+R@6DLL+Iq2 HR@3DHR@4D R@5D+R@4D R@6D+R@5D R@6DL+R@1DHR@3D R@5D+R@4D R@5D+R@3D R@6D+R@4D R@6D+R@5D R@6DLL 

− 


Uq1 HR@2D R@4D+R@4D R@5D+R@4D R@6D+R@5D R@6DL−Iq2 R@2DHR@1D R@5D+R@4D R@5D+R@4D R@6D+R@5D R@6DL 


Iq2 R@2DHR@1D R@5D−R@3D R@6DL+Uq1 HR@2DHR@3D+R@5DL+R@3DHR@5D+R@6DLL 


Uq1HR@2D R@4D−R@3D R@6DL+Iq2 R@2DHR@1DHR@3D+R@4DL+R@3DHR@4D+R@6DLL 


Iq2 R@2DHR@3D R@4D+R@1DHR@3D+R@4D+R@5DLL+Uq1 HR@3D R@5D+R@2DHR@3D+R@4D+R@5DLL 


−Uq1HR@3D R@5D+R@4D R@5D+R@2DHR@3D+R@4D+R@5DL+R@3D R@6D+R@4D R@6D+R@5D R@6DL+Iq2 R@2DHHR@3D+R@5DL R@6D+R@4DHR@5D+R@6DLL 


−Iq2 

R@1DHUq1 HR@3D R@5D+R@4D R@5D+R@2DHR@3D+R@4D+R@5DL+R@3D R@6D+R@4D R@6D+R@5D R@6DL−Iq2 R@2DHHR@3D+R@5DL R@6D+R@4DHR@5D+R@6DLLL 


R@2DHUq1 HHR@3D+R@5DL R@6D+R@4DHR@5D+R@6DLL+Iq2 HR@3DHR@4D R@5D+R@4D R@6D+R@5D R@6DL+R@1DHR@3D R@5D+R@4D R@5D+R@3D R@6D+R@4D R@6D+R@5D R@6DLLL 

− 


R@3DHUq1 HR@2D R@4D+R@4D R@5D+R@4D R@6D+R@5D R@6DL−Iq2 R@2DHR@1D R@5D+R@4D R@5D+R@4D R@6D+R@5D R@6DLL 


R@4DHIq2 R@2DHR@1D R@5D−R@3D R@6DL+Uq1 HR@2DHR@3D+R@5DL+R@3DHR@5D+R@6DLLL 


R@5DHUq1 HR@2D R@4D−R@3D R@6DL+Iq2 R@2DHR@1DHR@3D+R@4DL+R@3DHR@4D+R@6DLLL 


HIq2 R@2DHR@3D R@4D+R@1DHR@3D+R@4D+R@5DLL+Uq1 HR@3D R@5D+R@2DHR@3D+R@4D+R@5DLLL R@6D 


Uq1 

R@2DHUq1 HHR@3D+R@5DL R@6D+R@4DHR@5D+R@6DLL+Iq2 HR@3DHR@4D R@5D+R@4D R@6D+R@5D R@6DL+R@1DHR@3D R@5D+R@4D R@5D+R@3D R@6D+R@4D R@6D+R@5D R@6DLLL 


2006-04-11 8 

y 

{

Tableaugleichungen, Eigenschaften 

Vorteile 

� Einfache Methode, ein vollständiges Gleichungssystem für ein 

Netzwerk zu erhalten 

� Einbau aller vorkommenden Elementmodelle möglich 

� Auch bei nichtlinearen Netzwerkelementen anwendbar 

� Bei linearen Netzwerken ist die Lösung des Gleichungssystems durch 

Matrixinversion möglich, aber 

Nachteile 

� Matrix T ist dünn besetzt (sparse matrix) und enthält viele Einträge +- 1 

– Beispiel siehe vorn: Matrix T der Dimension 16 x 16 (256 Elemente) enthält 

nur 38 von Null verschiedene Elemente 

� Tableau-Analyse ist sehr rechenintensiv (spezielle Methoden für dünn 

besetzte Matrizen notwendig) 

2006-04-11 9

Nutzung der Struktur der Kirchhoffschen Gln. 

� Ergebnis von oben 

0 

⎛ IV 

⎞ 

T 

⎛ ⎞ 

⎜ ⎟ 

−MB1 

0 0 I 

= ⎜ ⎟ 

⎜ B ⎟ 

⎝ 0 0 1 M ⎠⎜UV⎟ B 

⎜ ⎟ 

⎝UB⎠ � Frage: 

Hilft diese Aufteilung in Teilmatrizen und damit einer 

Parametrisierung der Lösungen der KGL für Zweigströme und 

Zweigspannungen weiter, um die Netzwerkgleichungen 

umzuformen und damit ein einfaches Gleichungssystem 

aufzustellen? 

2006-04-11 10

(1) 

(2) 

(3) 

Zusammenfassung der beiden Beispiele 

� Abhängig davon, in welcher Reihenfolge die KGL benutzt werden, 

ergeben sich zwei unterschiedliche Lösungsmethoden! 

MUz = 0 KIz = 0 

Uz = RIz −E 

( ) 

Iz = GUz −E 

⎛ ⎞ IV 

KV1 ⎜ ⎟ = 0 

⎝I B ⎠ 

( ) ⎛ ⎞ E enthält 

Spannungsquellen 

⎛ 1 ⎞ 

IZ = ⎜ ⎟IV 

⎝−KV⎠ UV 

1 MB⎜ ⎟ = 0 

⎝UB⎠ ⎛−MB⎞ U = ⎜ ⎟U 

⎝ 1 ⎠ 

⎛ 1 ⎞ 

MRIZ = MR ⎜ ⎟IV 

= ME 

⎝−KV 14243 ⎠ 

⎛−MB⎞ KGUZ = KG⎜ ⎟UB 

= KE 

14243 ⎝ 1 ⎠ 

Mögliche Parametrisierung 

der Lösung von (3) 

(3) in (2) in (1) 

(4) 

(5) 

R 

M 

R I = ME GU = KE 

MV 

K B 

G 

K 

E enthält 

Stromquellen 

Z B 

2006-04-11 11

Fazit der Analyse 

� Durch Ausnutzung der Struktur der Kirchhoffschen Gleichungen 

gelingt es, ein Gleichungssystem aufzustellen, das weniger 

Unbekannte als Zweiggrößen besitzt! 

� Die noch fehlenden Zweiggrößen werden wie folgt bestimmt: 

I K I U =−M 

U 

=− 

B V V 

⎛IV⎞ Uz= R⎜ ⎟−E 

⎝IB⎠ � Aus den aufgestellten Gleichung wird ersichtlich, dass scheinbar 

jeweils nur eine Art von Quellen verwendet werden kann 

� Frage: Können die reduzierten Gleichungen 

direkt aus dem Netzwerk abgelesen werden? 

V B B 

⎛UV⎞ Iz= G⎜ ⎟−E 

⎝UB⎠ R I = ME GU = KE 

MV 

K B 

2006-04-11 12








Arbeitsbuch Bd. 2, Kap. 8.3 

2006-04-11 13

Maschenstromanalyse 

� Zweigströme können durch die Ströme in den Verbindungszweigen 

ausgedrückt (parametrisiert) werden 

� Vgl. Kapitel 2, Netzwerktopologie (Folie Graph (3)) 

� Fundamentalsystem von Maschen: 

Alle Maschen, die jeweils nur 

einen Verbindungszweig enthalten 

� Wie kann man das Beispiel so umformen, dass 

Fundamentalmaschen benutzt werden? 

2006-04-11 14

Maschenstromanalyse - Prinzip 

� Ziel: 

Durch Einführung von Maschenströmen werden die KHG auf die z-k+1 

Maschengleichungen reduziert, da die Maschenströme die Knotengleichungen 

identisch (durch Definition des Maschenstromes) erfüllen 

Maschenstrom: 

- Strom der nur in einer unabhängigen Maschen fließt 

- Rechengröße die i.a. nicht (nur bei spezieller Wahl der Verbindungszweige) 

gemessen werden kann 

Zweigstrom: Ströme in den Zweigen des vollständigen Baumes (ergeben sich 

durch die algebraische Summe der Maschenströme, meßbar) 

Maschenstromanalyse gültig für 

- lineare und nichtlineare Netzwerke (mit Nichtlinearitäten in der Form u(i)) 

Voraussetzung: Netzwerk enthält keine unabhängigen Stromquellen 

(später erweitert) 

2006-04-11 15

Maschenstromanalyse - Beispiel 

Zweigströme i 1 , i 2 , i 3 

Schaltung (k = 2, z = 3, m = 3-(2-1)=2) 

umgeordnet 

Maschenströme i m1 , i m2 

M1: i m1 R 1 + R 3 i m1 -R 3 i m2 -u q1 = 0 

M2: R 2 i m2 + R 3 (i m2 -i m1 ) + u q2 = 0 

Masche Maschenstrom 

i m1 

i m2 

1 (R 1 +R 12 )i m1 + a 12 R 12 i m2 = b 1 u q1 

2 a 21 R 12 i m1 + (R 2 +R 12 )i m2 = b 2 u q2 

2006-04-11 16

Maschenstromanalyse – Wahl der Stromkoordinaten 

� Knotengleichungen 

KI = 0 

z 

⎛ 1 ⎞ 

I = ⎜ 

− 

⎟I 

⎝ KV 

⎠ 

Z V 

Dimension der Matrix: (k-1) X z 

� Lösungsmenge der Gleichung kann ausgedrückt durch Strom in 

Verbindungszweigen (nach Wahl eines Baumes) 

(1) 

� Aber es geht auch allgemeiner als 

(2) 

= T 

IZ M Im 

aus 

I m bezeichnen den Vektor der Maschenströme 

� Fundamentalmaschenanalyse: bestimmt Ströme in 

Verbindungszweigen Gl (1) 

I 

KV1 ⎜ ⎟ 0 

⎝IB⎠ ( ) ⎛ ⎞ V 

= 

� Maschenstromanalyse: bestimmt Maschenströme Gl. (2) 

2006-04-11 17

Maschenstromanalyse - Herleitung 

� Aufstellen der Maschengleichungen 

MU = 0 

z 

� Aufstellen der Elementebeziehungen 

Uz = RIz −E 

� Zweigströme durch Maschenströme ausdrücken 

= T 

IZ M Im 

MRIZ = MRM { Im = ME 

R 

M 

T 

Matrix R M durch Konstruktion symmetrisch (sofern R symmetrisch) 

R I = ME 

M m 

2006-04-11 18


Matrixschreibweise 

Kurzform 

⎡ R11 a12R12 L a1mR1m ⎤ ⎡i ⎤ ⎡u m1 

q1 

⎤ 

⎢ 

a 

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 

⎢ 21R21 R22 L a2mR2m i u 

⎥⋅ ⎢ m2⎥ 

= ⎢ q2 

⎥ 

⎢ M M O M ⎥ ⎢ M ⎥ ⎢ M ⎥ 

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 

⎣am1Rm1 am2Rm2 L Rmm ⎦ ⎣imm ⎦ ⎣uqm ⎦ 

123 ⋅ = = 

{ { 

T 

MRM im ME uq 

Maschen− impedanz− matrix 

Vektor der 

Maschenströme 

Vektor der 


Maschengleichungen für Maschenströme in M ! 

Größen: Vorzeichenkoeffizienten a xy 

R ii Umlauf-, Maschen- oder Ringwiderstände 

R ik = R ki Koppelwiderstände 

2006-04-11 19

Regeln zum Aufstellen der Matrix R 

� Voraussetzungen für die Maschenstromanalyse 

– Bestimmung der unabhängigen Maschen 

– im NW wirken nur unabhängige Spannungsquellen 

(Bedingung wird später entschärft) 

– NWE liegen in der Form u(i) eindeutig vor 

� Für die Maschenwiderstandsmatrix R gilt 

1. Jede Matrixzeile beschreibt Schaltungsstruktur einer Masche 

2. den Spalten sind Maschenströme zugeordnet, den Zeilen umlaufende Maschen 

3. Hauptdiagonalelement: Summe der Widerstände einer Masche (Ringwiderstand) der 

betreffenden Masche Rii (stets positiv) 

4. Nebendiagonalelemente: Koppelwiderstände zwischen benachbarten Maschen 

(+: beide Maschenströme gleiche Richtung, sonst -). Summe der Widerstände der Masche, 

die vom zugehörigen Maschenstrom (der zugeordneten Spalte) durchflossen wird. Beispiel: 

R12 : Widerstand in Masche 1 durchflossen von im2 5. Matrix symmetrisch (nur in NW ohne gesteuerte Quellen), 

6. uqi rechts: Summe der jeweiligen Quellenspannungen der Masche. Richtungssinn uqm : 

mit Maschenstrom übereinstimmend, dann -1, sonst +1 

2006-04-11 20


2006-04-11 21

Lösungsmethodik Maschenstromanalyse 

1. Netzwerkvorbereitung durch 

� Bestimmung der unabhängigen Maschen (z.B. vollständiger Baum -> 

Schleifenanalyse, Ströme in Verbindungszweigen sind Maschenströme) 

� Einführung der m=z-k+1 Maschenströme (Umlaufrichtung beliebig) 

2. Aufstellung der m Maschengleichungen 

� m Maschengleichungen (Zeilen), m Maschenströme (Spalten) 

� Hauptdiagonalelemente: Ringwiderstände der betreffenden Maschen 

� Nebendiagonalelement: Koppelwiderstand R xy (positiv (negativ) wenn 

Maschenströme i mx , i my den Widerstand in gleicher (entgegengesetzter) 

Richtung durchfließen (Symmetrie beachten!) 

� Eintrag aller unabhängigen Quellenspannungen rechts 

3. Lösung des Gleichungssystems nach den gesuchten Maschenströmen 

4. Darstellung der gesuchten Zweigströme durch die Maschenströme 

2006-04-11 22

Einbau weiterer NWEs in Maschenanalyse 

� Unabhängige Stromquellen: 

– durch Umwandlung in Spannungsquellen 

(ideale Quellen durch eingeführten Hilfsleitwert oder 

Quellenversetzung in einen Widerstandszweig und Wandlung) 

– Durch eine Stromquelle an der Schaltungsperipherie wird ein 

Maschenstrom gelegt, der so bekannt ist (Quelle nur in einer Masche 

enthalten) -> Wegfall einer Unbekannten 

– Eine Stromquelle, die zwei Maschen gemeinsam ist wird über eine 

Hilfsspannung berücksichtigt, die nach Aufstellung zweier 

Maschensätze wieder eliminiert wird (Supermaschenkonzept) 

� Gesteuerte Quellen 

– Gesteuerte Spannungsquellen werden wie unabhängige behandelt, die 

Steuergröße ist durch Maschenströme auszudrücken (-> unsymmetrische 

Widerstandsmatrix) 

– Gesteuerte Stromquellen werden wie unabhängige behandelt (s.o.) 

Steuergröße anschließend durch Maschenströme ausdrücken 

2006-04-11 23

Quellenumwandlung - Netzwerkvorbereitung 

� Zusammenfassung einer 

Stromquelle mit einem parallel 

liegenden Leitwert zu einer realen 

Quelle (Spannungsquelle mit 

Innenwiderstand in Reihe) 

� Evtl. ist vorher eine Quellenteilung 

notwendig (reihengeschaltete 

Stromquellen gleicher Stärke) 

2006-04-11 24

Quellenumwandlung 

� Umwandlung in Spannungsquelle mit Innenwiderstand 

realer aktiver Zweipol: beide Darstellungen besitzen gleiches Klemmenverhalten 

Spannungsquellenersatzschaltung: 

Quellenspannung u q mit reihengeschaltetem 

Innenwiderstand R i 

Stromquellenersatzschaltung: 

Quellenstrom i q mit parallelgeschaltetem 

Innenleitwert G i 

u = uq −iRi 

i = iq −iGi 

i = ( u −u)/ 

R u = ( i −i)/ 

G 

q i 

q i 

2006-04-11 25

Maschenstromanalyse – unabhängige Stromquelle 

� Stromquelle an der Schaltungsperipherie 

i q1 

R 1 R2 

R 3 

i m1 im2 

u q1 

u q2 

+ - 

R 4 

Erste Maschengleichung 

i q1 = i m1 

Zweite Maschengleichung 

(i m2 -i m1 )R 2 + i m2 (R 3 +R 4 )+ u q2 -u q1 = 0 

gegeben, Maschenstrom durch 

� im2 die Stromquelle ! Nur noch eine Maschengleichung zu lösen! 

Zahl der zu lösenden Gleichungen = Zahl unbekannter Maschenströme! 

2006-04-11 26

Maschenstromanalyse - Supermasche 

uq1 

R 1 R2 

R 3 

im1 im2 

iq1 Supermasche 

u H 

+ - 

u q2 

R 4 

Auffinden der Supermasche: 

• Einführen eines Spannungsabfalls über 

der Stromquelle 

• Aufstellen der Maschengleichung für 

i m1, i m2, 

• Linearkombination der Gleichungen zur 

Elimination des Spannungsabfalls an 


Supermasche: Schleife, die beide Maschen 

mit gemeinsamer Stromquelle einschließt 

Schreibe Maschengleichung mit zugehörigen 

Maschenströmen: 

Supermaschengleichung: 

i m1 R 1 + i m2 (R 3 +R 4 )+ u q2 -u q1 = 0 

Zusätzlich: Zwangsbedingung durch den 

Stromquellenzweig (Knotengleichung): 

i q1 = i m2 –i m1 

2006-04-11 27

Maschenstromanalyse mit Stromquellen – allgemeiner Fall 

� Einführung von Hilfsspannungen an den Stromquellen (o.B.d.A. U z1 

enthält alle Hilfsspannungen) 

U 

M1 M2 ⎢ ⎥ 0 

⎣Uz2 ⎦ 

[ ] ⎡ ⎤ z1 

= 

� Aufstellen der Elementebeziehungen 

⎡Uz1⎤ ⎢ ⎥ 

⎡0 0 1 0 ⎤ U 

⎢ z2 ⎥ 

⎡IQ1⎤ ⎢ ⎥ = 

− ⎢ ⎥ 

⎢ ⎥ 

⎣0 1 0 R⎦ Iz1 

⎣E⎦ ⎢ ⎥ 

⎣ Iz2 

⎦ 

� Zweigströme durch Maschenströme ausdrücken 

T 

⎡IZ1⎤ ⎡M ⎤ 1 

⎢ ⎥ = ⎢ ⎥I 

T 

⎣IZ2⎦ ⎣M2 ⎦ 

m 

2006-04-11 28


� Elimination von U z2 

⎡U ⎤ ⎡1 0⎤⎡U ⎤ 

⎡0⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ 

⎢ ⎥ 

⎣Uz2⎦ ⎣0 R⎦⎣Iz2 ⎦ 

⎣E⎦ z1 z1 

[ M M ] = [ M M ] + [ M M ] 

1 2 1 2 1 2 

� Ausdrücken der Zweigströme durch Maschenströme 

⎡1 0⎤⎡1 0 ⎤⎡Uz1⎤ ⎡0⎤ 0 = [ M1 M2] ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥+ 

[ M1 M 

T 

2] 

⎢ ⎥ 

⎣0 R⎦⎣0 M2⎦⎣Im⎦ ⎣E⎦ � Berücksichtigung der Stromquellen 

T 

I = M I 

Q1 1 m 

2006-04-11 29


� Gesamtsystem (mit s Stromquellen) 

0 

= 

s 

0 

T 

MRM 2 

⎡Uz1⎤ ⎢ ⎥+ 

⎣I⎦ T 

m 

M1 

−IQ1 ME 

M1 2 2 

� Umformung des Gleichungssystems durch partielle Transformation 

so dass Maschenströme berechnet werden können, ohne die 

Zweigspannung an den Stromquellen zu bestimmen 

2006-04-11 30


� Umformung des Gleichungssystems durch Transformation von M1 auf obere 

Dreiecksform (durch Linearkombination von Zeilen), (Matrizen, die sich durch 

diese Transformation ändern sind mit einer Tilde versehen) 

0 

= 

s 

s 

M % % % % T 

1 MRM 2 2 

0 ⎡Uz1⎤ ⎢ ⎥+ 

⎣Im⎦ 0 

T 

M1 

ME % % 

2 

−IQ1 ⎡* * * ⎤ ⎡1 * * ⎤ 

⎢ 

* * * 

⎥ ⎢ 

0 1 * 

⎥ 

= ⎢ ⎥ ⇒ ⎢ ⎥ 

⎢* * * ⎥ ⎢0 0 1⎥ 

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 

⎣* * * ⎦ ⎣0 0 0⎦ 

� Das gelb markierte Gleichungssystem bestimmt die Maschenströme 

eindeutig und kann unmittelbar gelöst werden 

� Lösung der Zweigspannungen der Stromquellen folgt durch Einsetzen der 

Lösung der Maschenströme und Lösung des rot markierten Gleichungssyst. 

M 

1 

2006-04-11 31

Maschenstromanalyse und planare Netzwerke 

� In der englischsprachigen Literatur wird bei Maschen zwischen 

loop und mesh unterschieden. 

– Loop: Zusammenhängender Teilgraph, in dessen Knoten je zwei 

Zweige verknüpft sind (s. Definition der Masche Kap. 2) 

– Mesh: Zusammenhängender Teilgraph, in dessen Knoten je zwei 

Zweige verknüpft sind und der im Inneren keine Zweige enthält 

(Fenstermaschen), lassen sich nur bei planaren Graphen angeben! 

2006-04-11 32

Maschenstromanalyse und planare Netzwerke 

� Die Fenstermaschen bilden ein vollständiges System von 

Maschengleichungen 

– Wähle eine Fenstermasche mit einem Zweig außen (nur ein 

Maschenstrom in diesem Zweig) und entferne diesen Zweig 

– Wiederholung des letzten Schrittes, bis keine Maschen mehr existieren 

� In jeder Fenstermasche wird ein Maschenstrom definiert 

� Sind alle Fenstermaschen gleichsinnig orientiert, dann sind die 

Nebendiagonalelemente stets negativ 

2006-04-11 33

Zusammenfassung 


2006-04-11 34


Zweigströme i 1 , i 2 , i 3 

Maschenströme i m1 , i m2 

Schaltung (k = 2, z = 3, somit m = 3-(2-1)=2) 

umgeordnet 

M1: i m1 R 1 + R 3 i m1 -R 3 i m2 -u q1 = 0 

M2: R 2 i m2 + R 3 (i m2 -i m1 ) + u q2 = 0 

Masche Maschenstrom 

i m1 

i m2 

Wiederholung ! 

1 (R 1 +R 12 )i m1 + a 12 R 12 i m2 = b 1 u q1 

2 a 21 R 12 i m1 + (R 2 +R 12 )i m2 = b 2 u q2 

2006-04-11 35

Maschenstromanalyse - Supermasche 

uq1 

R 1 R2 

R 3 

im1 im2 

iq1 Supermasche 

u H 

+ - 

u q2 

R 4 

Auffinden der Supermasche: 

• Einführen eines Spannungsabfalls über 


• Aufstellen der Maschengleichung für i m1, 

i m2, 

• Linearkombination der Gln zur 

Elimination des Spannungsabfalls an der 

Stromquelle 

Supermasche: Schleife, die beide Maschen 

mit gemeinsamer Stromquelle einschließt 

Schreibe Maschengleichung mit zugehörigen 

Maschenströmen: 

Supermaschengleichung: 

i m1 R 1 + i m2 (R 3 +R 4 )+ u q2 -u q1 = 0 

Dazu Zwangsbedingung durch den 

Stromquellenzweig (Knotengleichung): 

i q1 = i m2 –i m1 


2006-04-11 36


Matrixschreibweise 

Kurzform 

⎡ R11 a12R12 L a1mR1m ⎤ ⎡i ⎤ ⎡u m1 

q1 

⎤ 

⎢ 

a 

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 

⎢ 21R21 R22 L a2mR2m i u 

⎥⋅ ⎢ m2⎥ 

= ⎢ q2 

⎥ 

⎢ M M O M ⎥ ⎢ M ⎥ ⎢ M ⎥ 

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 

⎣am1Rm1 am2Rm2 L Rmm ⎦ ⎣imm⎦ ⎣uqm ⎦ 

123 ⋅ = = 

{ { 

T 

MRM im ME uq 

Maschen− Vektor der 

impedanz− Vektor der 

Maschenströme 

matrix 


Maschengleichungen für Maschenströme in M ! 

Größen: Vorzeichenkoeffizienten a xy 

R ii Umlauf-, Maschen- oder Ringwiderstände 

R ik = R ki Koppelwiderstände 

2006-04-11 37








Arbeitsbuch Bd. 2, Kap. 8.3 

2006-04-11 38

Vorwissen zur Knotenspannungsanalyse 

� Zweigspannungen können durch die Spannungen der Baumzweige 

ausgedrückt (parametrisiert) werden 

� Vgl. Kapitel 2, Netzwerktopologie (Folie Graph (3)) 

� Schnittmenge 

(eines zusammenhängenden Graphen): 

Minimale Teilmenge von Zweigen, 

die den Graphen in zwei Teile 

zerfallen läßt 

� Fundamentalsystem von 

Schnittmengen: 

Alle Schnittmengen, die jeweils nur 

einen Baumzweig enthalten 

� Also Aufstellung von Knotengleichungen 


2006-04-11 39

Knotenspannungsanalyse - Prinzip 

� Ziel: 

� Durch Einführung von Knotenspannungen werden die KHG auf die k-1 

Knotengleichungen reduziert, da die Knotenspannung (gegenüber einem frei 

wählbaren Bezugsknoten) die m= z-(k-1) Maschengleichungen identisch erfüllen. 

� Durch Verwendung der Knotengleichungen entfällt Suche nach Baum! 

Knotenspannung: 

- Spannung zwischen einem Netzwerkknoten und einem (frei wählbaren) 

Bezugspunkt, stets positiv definiert 

- meßbare Größe 

Zweigspannung: Spannung zwischen zwei Netzwerkknoten (von denen keiner 

Bezugsknoten sein darf) 

Knotenspannungsanalyse gültig für 

- lineare und nichtlineare Netzwerke (mit Nichtlinearitäten in der Form i(u)) 

- planare und nichtplanare Netzwerke (erweitert zur Maschenstromanalyse!) 

Voraussetzung: Netzwerk enthält keine unabhängigen Spannungsquellen (später erw.) 

2006-04-11 40

Knotenspannungsanalyse - Beispiel 

Beispielnetzwerk (k=3, Bezugsknoten K3 -> 2 unabhängige Gleichungen) 

K1: i q1 = i 1 + i 2 -> G 1 u k1 + G 2 u 12 = i q1 

(G 1 +G 2 )u k1 –G 2 u k2 = i q1 

K2: -i q2 = -i 2 +i 3 -> 

GS der Knotenspannungsanalyse 

-G 2 u 12 + G 3 u k2 = -i q2 

-G 2 u k1 + (G 2 +G 3 )u k2 = -i q2 

⎡G1+ G2 −G2 ⎤ ⎡u ⎤ ⎡ i 

k1 

q1 

⎤ 

⎢ ⎥⋅ ⎢ ⎥ = 

− + 

⎢ 

− 

⎥ 

⎣ G2 G2 G3⎦ ⎣uk2⎦ ⎣ iq 

2 ⎦ 

Knotenspannungen 

u k1 , u k2 

2006-04-11 41

Knotenspannungsanalyse – Wahl der Spannungskoordinaten 

� Maschengleichungen 

MU = 0 

Dimension der Matrix: (z-k+1) x z 

� Lösungsmenge der Gleichung kann ausgedrückt durch Spannung 

in Baumzweigen (nach Wahl eines Baumes) 

(1) 

⎛−MB⎞ U = ⎜ ⎟U 

⎝ 1 ⎠ 

Z B 

� Aber es geht auch allgemeiner als 

(2) 

z 

= T 

UZ K Uk 

aus 

U k bezeichnet den Vektor der Knotenspannungen 

U 

1 MB⎜ ⎟ 0 

⎝UB⎠ ( ) ⎛ ⎞ V 

= 

� Schnittmengenanalyse: bestimmt Baumzweigspannungen Gl. (1) 

� Knotenspannungsanalyse: bestimmt Knotenspannungen Gl. (2) 

2006-04-11 42

Knotenspannungen 

� Knotenspannungen können als zusätzlich eingeführte Zweige 

interpretiert werden mit Leitwert 0 (Zweigstrom somit 0) 

� Verbinden den Bezugsknoten mit jedem anderen Netzwerkknoten 

und somit führt man ohne Aufwand einen Baum ein 

(den man nicht erst suchen muss, da man ihn selbst eingeführt hat!) 

� Dadurch kann auch 

⎛−MB⎞ UZ = ⎜ ⎟UB 

⎝ 1 

⎠ 

verwendet werden 

2006-04-11 43

Knotenspannungsanalyse - Herleitung 

� Aufstellen der Knotengleichungen 

KI = 0 

z 

� Aufstellen der Elementebeziehungen (nur Stromquellen angenommen) 

Iz = GUz −E 

� Zweigspannungen durch Knotenspannungen ausdrücken 

= T 

UZ K Uj 

KGUZ = KGK { Uk = KE 

G 

K 

T 

Matrix G K durch Konstruktion symmetrisch (sofern G symmetrisch) 

GU = KE 

K k 

2006-04-11 44

Knotenspannungsanalyse 

� Matrixschreibweise 

nwan3_4 

Kurzform 

⎡ G11 −G12 L −G1m⎤ ⎡u ⎤ ⎡ i 

k1 

q1 

⎤ 

⎢ 

−G − 

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 

⎢ 21 G22 L G2m u i 

⎥⋅ ⎢ k2⎥ 

= ⎢ q2 

⎥ 

⎢ M M O M ⎥ ⎢ M ⎥ ⎢ M ⎥ 

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 

⎣−Gm1 −Gm2 

L Gmm ⎦ ⎣ukk⎦ ⎣iqm ⎦ 

T 

KGK 123 ⋅ u = = 

{ k KE iq 

{ 

Knoten- Vektor der Vektor der 

admittanz- Knotenspannungen Stromquellen 

matrix 

Größen: G ii Knotenleitwert am Knoten i 

G ik = G ki Koppelleitwerte zwischen Knoten i und k 

2006-04-11 45

Regeln zum Aufstellen der Matrix G 

� Voraussetzungen für die Knotenspannungsanalyse 

– im NW wirken nur unabhängige Stromquellen (wird später entschärft) 

– Nichtlinearitäten liegen in der Form i(u) eindeutig vor 

� Für die Knotenleitwertsmatrix G gilt 

– jede Matrixzeile beschreibt die Schaltungsstruktur eines Knotens, den Spalten 

sind die Knotenspannungen zugeordnet 

– Hauptdiagonalelement: Knotenleitwert = Summe aller am Knoten angeschlossenen 

Leitwerte, immer positiv 

– Nebendiagonalelemente = (-1) Koppelleitwert Gxy zwischen dem Knoten 

(Zeilennummer) und dem Nachbarknoten (Spaltennummer) z.B. –G12 Leitwert 

zwischen Knoten 1, 2. Stets negativ. Nicht vorhandene Leitwerte erhalten Eintrag 0 

– Die Summe der Elemente einer Zeile ergibt den Leitwert zwischen dem 

betrachteten Knoten und dem Bezugsknoten. Verschwindet, wenn Knoten keinen 

Leitwert zum Bezugsknoten hat (Rechenkontrolle), ohne gesteuerte Quellen 

Matrixsymmetrie 

– Bei den Quellenströme führt Zufluß zum Knoten auf positives, Abfluß auf negatives 

Vorzeichen 

2006-04-11 46

Knotenspannungsanalyse - Beispiel 

−iq 2 

2006-04-11 47

Lösungsmethodik Knotenspannungsanalyse 

1. Netzwerkvorbereitung durch 

– Wahl des Bezugsknotens, Knotenbenennung der k-1 Knoten. 

(Bezugsknoten sollte mit möglichst vielen Zweigen verbunden sein) 

– Einführung der k-1 Knotenspannungen 

2. Aufstellung der k-1 Knotengleichungen, Zweigströme durch 

Knotenspannungen über NWE Beziehungen ausdrücken 

– für die k-1 Knotengleichungen (Zeilen) und k-1 Knotenspannungen 

(Spalten) aufstellen 

– Hauptdiagonalelemente: Knotenleitwerte (Summe aller am Knoten 

angeschlossenen Leitwerte) 

– Nebendiagonalelement: (-1) Koppelleitwert G xy zwischen betreffenden 

Knoten und Nachbarknoten 

3. Lösung des Gleichungssystems nach den Knotenspannungen 

4. Darstellung der Zweiggrößen durch die Knotenspannungen 

2006-04-11 48

Einbau weiterer NWE in Knotenspannungsanalyse 

� Unabhängige Spannungsquellen lassen sich einbeziehen: 

– durch Umwandlung in Stromquellen (ideale Quellen durch eingeführte 

Hilfswiderstände oder Quellenverschiebung in einen Widerstandszweig und 

Wandlung) 

– als bekannte Spannungsquelle zwischen einem Knoten und Bezugsknoten, 

anschließend Aufstellung der Knotengleichungen für die übrigen Knoten 

– als eine Spannungsquelle zwischen zwei Knoten (von denen keiner 

Referenzknoten ist) 

� wird über einen Hilfsstrom durch die Spannungsquelle berücksichtigt, der nach 

Aufstellung der Knotensätze für die beiden anliegenden Knoten wieder eliminiert wird 

(Superknotenkonzept) -> vgl. Supermasche 

� Gesteuerte Quellen 

– Gesteuerte Stromquellen werden wie unabhängige behandelt, die Steuergröße ist 

durch Knotenspannung auszudrücken (-> unsymmetrische Leitwertmatrix) 

– Gesteuerte Spannungsquellen werde wie unabhängige behandelt (s.o). 

Steuergröße anschließend durch Knotenspannungen ausdrücken 

2006-04-11 49

Quellenumwandlung - Netzwerkvorbereitung 

� Zusammenfassung einer 

Spannungsquelle mit einem in 

Reihe liegenden Widerstand zu 

einer realen Quelle 

� Evtl. ist vorher eine 

Quellenverschiebung notwendig 

2006-04-11 50

Quellenumwandlung (siehe Maschenstromanalyse) 

� Umwandlung in Spannungsquelle mit Innenwiderstand 

realer aktiver Zweipol: beide Darstellungen besitzen gleiches Klemmenverhalten 

Spannungsquellenersatzschaltung: 

Quellenspannung u q mit reihengeschaltetem 

Innenwiderstand R i 

Stromquellenersatzschaltung: 

Quellenstrom i q mit parallelgeschaltetem 

Innenleitwert G i 

u = uq −iR 

i = i − 

i 

q iGi 

i = ( u −u)/ 

R u = ( i −i)/ 

G 

q i 

q i 

2006-04-11 51

Knotenspannungsanalyse - Superknoten 

i q1 

G 1 

ih + - uq Hilfsstrom ih Superknoten 

k1 k2 k3 

u k1 

G 2 

G 3 

1. Verfahren: Zwangsbedingungen zwischen Knotenspannungen 

u k2 

Superknotenbedingung: u q = u k1 -u k2 

Knotengleichung für Superknoten: 

G 1 u k1 + G 3 u k2 + G 4 (u k2 -u k3 )- i q1 = 0 

Knotengleichung für Knoten k3: 

G5uk3 + G4 (uk3-uk2 )+ iq3 = 0 

G 4 

i q3 

1 

2 

3 

u k3 

G 5 

Spannungsquelle 

zwischen Knoten 

k1 und k2 

-> Superknoten 

Gln (1) - (3) bestimmen die 

drei Knotenspannungen 

2006-04-11 52

Knotenspannungsanalyse – Superknoten (2) 

i q1 

R h 

G 1 

ih uq k1 k2 k3 

u k1 

G 2 

2. Verfahren: Hilfsstrom i h 

G 3 


+ 

Hilfsstrom i 

- h 

Superknoten 

u k2 

G 3 u k2 + G 2 (u k2 -u k1 )+G 4 (u k2 -u k3 )+ i h = 0 

G 4 

i q3 

u k3 

G 5 

Spannungsquelle 

zwischen Knoten 

k1 und k2 

-> Superknoten 

Einführung eines Hilfsstromes i h führt auf die beiden Knotengleichungen 


G 1 u k1 + G 2 (u k1 -u k2 )- i h -i q1 = 0 

Addition beider Gln. Eliminiert 

Hilfsstrom und ergibt 

Superknotenbeziehung! 

Zusätzlich Zwangsbedingung 

für Knotenspannungen! 

2006-04-11 53

u y 

Knotenspannungsanalyse – Gesteuerte Quelle 

Bezugsknoten 

u k1 

G 1 

G 3 

u x 

Gln. 

in 

Matrixform 

uq1 u G 

1 

4 

+ -k 1 

u k2 

2 

3 

1 

4 

k 2 

k 4 

i q2 

G mu x 

u k4 

G 2 

uk3 k3 A uu y 

1 

2 

3 

4 

u 1 liegt durch Spannungsquelle fest 

Knotengl. k2 

G1 (uk2-uk1 )+G2 (uk2-uk3 ) = iq2 Knotengl. Superknoten k3, k4 

G ( u −u ) − G u + G u + G ( u − u ) = 0 

2 k3 k2 m x 4 k4 3 k4 k1 

Steuerspannung u x =u k2 -u k1 

Zwangsbedingung im Superknoten: 

u k3 -u k4 = A u u y = A u (u k4 -u k1 ) 

⎡−G1 G1+ 2 −G2 

0 ⎤ ⎡uk1⎤ ⎡ iq 

2 ⎤ 

⎢ 

G 

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 

− − 

⎢ m 3 G2+ m G2 G3+ 4 u 

⎥⋅ ⎢ k 2 0 

⎥ = ⎢ ⎥ 

⎢ 1 0 0 0 ⎥ ⎢uk3⎥ ⎢−uq1⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 

− + 

⎢ ⎥ 

⎣ Au 0 1 (1 Au) ⎦ ⎣uk 4 ⎦ ⎣ 0 ⎦ 

Notation: 

G 2+m :=G 2 +G m 

2006-04-11 54







2006-04-11 55

Vergleich Maschenstrom-, Knotenspannungsanalyse 

� Gegenüber Zweigstromanalyse sind beide Verfahren effizienter, 

da nur k- resp. z-(k-1) Gln. zu lösen sind 

� Knotenspannungsanalyse vorteilhafter, wenn Knotenzahl k

4. Zweitore, Mehrtore 

� Grundeigenschaften 

� Zweitorbeschreibungen, Zweitorgrößen 

� Zusammenschaltung von Zweitoren 

� Rückkopplungen 

� Eigenschaften wichtiger Zweitore 

� Mehrtore 

2006-04-11 1

Übertragungssystem, Vierpolbegriff, Zweitor 

Zweitor: 

Beispiele 

� Übertragungsnetzwerk mit zwei Toren aufgebaut aus beliebigen 

Netzwerkelementen 

� Einteilung nach Merkmalen der enthaltenen NWE: linear nichtlinear, 

zeitabhängig, mit gesteuerten Quellen (aktiver Vierpol)... 

� Die sog. „Vierpoltheorie“ behandelt streng genommen nur Zweitore 

(exakt wäre ein Vierpol nämlich ein Dreitor!) 

2006-04-11 2

Vierpoltheorie – Wozu? 

� Die meisten Schaltungen dienen der Signalübertragung, es gibt also 

Eingang und Ausgang. 

– Verstärker, Transistor, etc. 

� Eingang und Ausgang bestehen immer aus einem Paar (Strom, 

Spannung), also einem Tor. 

� Das einfachste Übertragungssystem besitzt 2 Tore. 

� Rückkopplungsschaltungen lassen sich damit einfach untersuchen. 

� Vierpoltheorie ist ein Standardwerkzeug in der Schaltungstechnik 

� Benötigt wird ein Hilfsmittel zur Beschreibung solcher Systeme 

– Beschreibungsmöglichkeiten, 

– Zusammenschaltungen, 

– Liste elementarer Zweitore als Schaltungsbausteine 

2006-04-11 3

Strombeziehungen an den Toren 

� Definition der Zählpfeilrichtungen für ein Zweitor 

(symmetrische Pfeilrichtung) 

Annahmen 

i1 

u 1 u 2 

i‘ 1 

� alle externen Verbindungen erfolgen nur über die Vierpolklemmen 

(Einstreuung elektrischer oder magnetischer Felder ausgeschlossen, 

gilt streng genommen auch für nichtelektrische Systemgrößen) 

� Strom tritt über ein Klemmenpaar ein- und aus: i 1 = i‘ 1 , i 2 = i‘ 2 (daher 

kommt die Bezeichnung „Tor“) 

i 2 

i‘ 2 

2006-04-11 4







� Mehrtore 

2006-04-11 5

Zweitorbeschreibung 

� Beschreibung eines Netzwerkelementes durch Zweigspannungen 

und Zweigströme 

hier speziell (vgl. Kaptiel 3, NWE-Beschreibungen): 

⎛ i1 

⎞ 

⎜ ⎟ 

⎛a11 a12 b11b12⎞ i 

⎜ 2 ⎟ 

⎜ ⎟ = 

⎝a21a22 b21 b22⎠⎜u1⎟ ⎜ ⎟ 

⎝u2⎠ � Die 4 Torgrößen stehen durch 2 linear unabhängige Gleichungen 

untereinander in Beziehung -> GS hat zwei Freiheitsgrade 

� E enthält im Zweitor evtl. vorhanden unabhängige Quellen (i.d.R. 0) 

E 

Netzwerkgraphen 

des Zweitores 

1 2 

2006-04-11 6

Bestimmung von Zweitorbeschreibungen 

Allgemeine Beschreibung: 

⎛ i1 

⎞ 

⎜ ⎟ 

⎛a11a12 b11 b12⎞ i 

⎜ 2 ⎟ 

⎜ ⎟ = 0 

⎝a21 a22 b21 b22 ⎠⎜u1⎟ ⎜ ⎟ 

⎝u2⎠ Linksmultiplikation 

weitere 

Formen 

möglich 

T 

= 

⎛b11 b12 

⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝b21 b22 

⎠ 

−1 

⎛ i1 

⎞ 

⎜ ⎟ 

⎛a'11 a'12 1 0⎞ 

i 

⎜ 2 ⎟ 

⎜ ⎟ = 0 

⎝a'21 a'22 0 1⎠⎜u1⎟ 

⎜ ⎟ 

⎝u2⎠ ⎛a11 a12 

⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝a21 a22 

⎠ 

⎛a11 b11 

⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝a21 b21 

⎠ 

⎛u1⎞ ⎛a'11 a'12⎞⎛i1⎞ ⎜ ⎟ =−⎜ 

⎟⎜ ⎟ 

⎝u2⎠ ⎝a'21 a'22⎠⎝i2⎠ −1 

−1 

Impedanzdarstellung 

⎛ i1 

⎞ 

⎜ ⎟ 

⎛1 0 b'11 b'12⎞ i 

⎜ 2 ⎟ 

⎜ ⎟ = 0 

⎝0 1 b'21 b'22 ⎠⎜u1⎟ ⎜ ⎟ 

⎝u2⎠ ⎛i1⎞ ⎛b'11 b'12⎞⎛u1⎞ ⎜ ⎟ =−⎜ 

⎟⎜ ⎟ 

⎝i2⎠ ⎝b'21 b'22⎠⎝u2⎠ Admittanzdarstellung 

⎛ i1 

⎞ 

⎜ ⎟ 

⎛1 a'12 0 b'12⎞ i 

⎜ 2 ⎟ 

⎜ ⎟ = 0 

⎝0 a'22 1 b'22 ⎠⎜u1⎟ ⎜ ⎟ 

⎝u2⎠ ⎛ i1 ⎞ ⎛a'12 b'12⎞⎛ i2 

⎞ 

⎜ ⎟ =−⎜ 

⎟⎜ ⎟ 

⎝u1⎠ ⎝a'22 b'22⎠⎝u2⎠ Kettendarstellung 

2006-04-11 7

Zweitorparameter 

Widerstandsparameter 

(Ω) 

⎛u1⎞ ⎛Z11 Z12⎞ ⎛i1⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟ 

⎝u2⎠ ⎝Z21 Z22⎠ ⎝i2⎠ Leitwertparameter 

(S) 

⎛i1⎞ ⎛Y11 Y12⎞ ⎛u1⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟ 

⎝i2⎠ ⎝Y21 Y22⎠ ⎝u2⎠ Widerstands- u. Leitwertmatrix 

zueinander invers! 

u = Zi, i = Yu,-> Z = Y -1 

Hybridparameter 

⎛u1⎞ ⎛H11 H12⎞ ⎛ i1 

⎞ 

⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟ 

⎝i2 ⎠ ⎝H21 H22⎠ ⎝u2⎠ Impedanz, Spannungsrückw. 

Stromverst., Admittanz. 

Kettenparameter 

⎛u1⎞ ⎛A11 A12⎞ ⎛u2 ⎞ 

⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⋅⎜ − 

⎟ 

⎝ i1 ⎠ ⎝A21 A22⎠ ⎝ i2⎠ 

symmetrische Vorzeichen 

u, i eines Tores 

ausgedrückt durch 

u, i des anderen 

Bevorzugte Anwendungsgebiete: 

Widerstandsparameter allgemeine Netzwerkdarstellung, 

Leitwertparameter allgemeine Netzwerkdarstellung, elektronische 

Schaltungstechnik, Bauelementekennzeichnung 

Hybridparameter Transistortechnik (bipolar, abnehmende Tendenz) 

Kettenparameter Übertragungstechnik, Übertragervierpole 

(sehr system. Darstellung) 

2006-04-11 8

Experimentelle Parameterbestimmung 

u = Z i + Z i 

1 11 1 12 2 

u = Z i + Z i 

2 21 1 22 2 

Eingangsleerlaufwiderstand 

Transferwiderstand 

vorwärts 

Transferwiderstand 

rückwärts 

Ausgangsleerlaufwiderstand 

R 1 = 20Ω, R 2 = 5Ω, 

R 3 = 15Ω 

u1 

Z11 = = R1( R2+ R3) 

= 10Ω 

i 

Z 

Z 

1 i 2= 0 

u 

RR 

20⋅15 2 

1 3 

21 = = = = 

i1 R 2 0 1+ R2 + R3 

40 

i = 

12 

u 1 

i 1 

7.5Ω 

(Hinweis: Spannungsteilerregel u 2 = f(u 1), Strom i 1 =f(u 1) bei i 2 = 0 

u 

RR 

20⋅15 1 

1 3 

= = = = 

i2 R 1 0 1+ R2 + R3 

40 

i = 

22 

2 

i2 

i1= 

0 

3 2 1 

7.5Ω 

u 

15⋅ 25 

Z = = R ( R + R ) = Ω = 

9.38Ω 

40 

R 1 

R 2 

R 3 

i 2 

u 2 

(analog, Vp umkehrbar, 

Z 12= Z 21) 

2006-04-11 9

Experimentelle Y-Parameterbestimmung 

i 

= = + 

1 Y11 Ya Yb 

u 1 u 2= 0 

i 

= =− 

2 Y21 Yb 

u 1 u2= 

0 

i 

= = + 

2 Y22 Yc Yb 

u 2 u1= 

0 

i‘ 

i 2 

i = Y u + Y u 

1 11 1 12 2 

(i‘/u 1 = Y b , i‘= -i 2 ) 

i = Y u + Y u 

2 21 1 22 2 

2006-04-11 10

Praktische Parameterbestimmung 

� Die Schaltungsbedingungen „Leerlauf“ oder „Kurzschluß“ sind nicht 

immer praktisch durchführbar (z.B. Ausgang eines 

Leistungsverstärkers) 

� Dann Einstellung irgendwelcher anderer Beschaltungen u, i 

(z.B. 50 Ω Widerstand) an den Toren und Angabe der allgemeinen 

Beschreibung 

⎛ i1 

⎞ 

a a b b 

⎜ 

i 

⎟ 

⎛ 11 12 11 12 ⎞ 

⎜ 2 ⎟= 

⎜ ⎟ 

⎝a21 a22 b21 b22 ⎠⎜u1⎟ ⎜ ⎟ 

⎝u2⎠ � Umrechnung auf die gewünschte Zweitorbeschreibung durch 

Linksmultiplikation 

� Wahl der Zweitorbeschreibung hängt vom Verwendungszweck ab 

0 

2006-04-11 11

Bezeichnung der Parameter 

� Gebräuchliche 

Bezeichnung von 

Vierpolparametern 

zusammengesetzt aus 

– Torbezeichung 

– Beschaltung am and. Tor 

– Physikal. Bedeutung und 

ggf. Richtung 

� Parameter beschreiben 

einen Verstärkungsfaktor, 

Leitwert oder Widerstand 

� C bezeichnet die inverse 

Hybridform (wird manchmal 

auch mit G bezeichnet) 

2006-04-11 12

Umrechnung von Parametern 

Gesucht 

Gegeben 

Nicht für jedes Zweitor existieren alle Darstellungen! 

2006-04-11 13

Streuparameter 

� Alternativ zu Strom und Spannung an den Toren kann man auch 

Streugrößen einführen (in Anlehnung an hin- und rücklaufende 

Wellen bei Leitungen), Z w ist ein reeller Wellenwiderstand 

� Umrechnung 

� Reflexionsfaktor 

� Leistung 

⎛a⎞ 1 ⎛1Zw⎞⎛U⎞ ⎜ ⎟= ⎜ 

2 1 − 

⎟⎜ 

⎟ 

⎝b⎠ Z ⎝ Zw 

⎠⎝ 

I ⎠ 

w 

⎛U⎞ 1 ⎛Zw Zw ⎞⎛a⎞ ⎜ ⎟= ⎜ 

2 1 −1 

⎟⎜ ⎟ 

⎝ I ⎠ Z ⎝ ⎠⎝b⎠ w 

= b 

r 

a 

1 * 

Pa= a a 

2 

1 

= 

2 

* 

Pbb b 

2006-04-11 14

Streuparameter von Zweitoren 

� Bei Zweitoren jeweils 2 Streugrößen an den Toren 

⎛b ⎞ ⎛S S ⎞⎛a ⎞ 

= 

1 11 12 1 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ 

⎝b2⎠ ⎝S21 S22⎠⎝a2⎠ � Bezeichnung: 

b1 

S11 

= 

a 

– 2 S Reflexionsfaktoren, das jeweils andere Tor ist 

22 = 

mit dem Wellenwiderstand abgeschlossen 

S 

1 

b 

= 

a 

1 

a 

2= 0 

b 

a 

2 

– 12 

21 Übertragungsfaktoren 

2 

a 

1= 0 

S 

b 

= 

a 

2 

1 

a 

a 

1= 0 

2= 0 

� Die Nebenbedingungen erreicht man durch Abschluss des Tores 

mit Z w (technisch einfacher und sinnvoller als Kurzschluss oder 

Leerlauf 

2006-04-11 15

Streuparameter von Zweitoren 

� Beziehungen zur Impedanz- und Admittanzmatrix 

S= Z− Z Z+ Z = Z+ Z Z−Z −1 −1 

( w)( w) ( w) ( w) 

Z 

⎛1 0⎞ 

= ⎜ 

0 1 

⎟ 

⎝ ⎠ 

Z 

w w 

S= 1− Z Y 1+ Z Y = 1+ Z Y 1−Z Y 

−1 −1 

( w )( w ) ( w ) ( w ) 

2006-04-11 16

u 1 

Zweitorersatzschaltungen 

� Ersatz einer komplexen (linearen) Schaltung durch ein kompaktes 

Modell (z.B. Zweitor) 

� Beispiel Operationsverstärker 

i 1 

i‘ 1 

u + 

u - 

i 2 

i‘ 2 

u 2 

i1 

u 1 u 2 

i‘ 1 

i 2 

i‘ 2 

2006-04-11 17

Zweitorersatzschaltungen 

� Interpretation der Matrixeinträge als Bauelemente 

Ersatzschaltungen mit zwei gesteuerten 

Quellen (ineinander überführbar) 

Ersatzschaltungen mit einer 

gesteuerten Quelle 

gesteuerte Quelle 

umkehrbarer Vierpol 

Ersatzschaltungen: 

- als Modellierungshilfe 

- Parametermessung 

- Veranschaulichung 

Beispiele: 

Transistorersatzschaltungen 

2006-04-11 18

Zweitor in der Schaltung 

Quellenersatzzweipol R i und Lastwiderstand R a 

Betriebsgröße 

Eingangsimpedanz 

Z i (Z a) 

� Vierpolbetriebsgrößen: 

Übertragungs-/Verhaltenseigenschaften 

mit explizitem Einschluß von R a , R i 

u = u − Ri , u =−R 

i 

äußere Beschaltungsgleichungen: 1 q i 1 2 a 2 

Ersatzzweipol 

des Vierpolausgangs 

� oder Einbezug der Belastungselemente 

mit in den Vierpol und 

Definition neuer Vierpolparameter 

2006-04-11 19

Zweitorbetriebsgrößen 

Verhalten des eingangs- und ausgangsseitig belasteten Vierpols 

beschreibbar durch folgende Kenngrößen: 

� Eingangsimpedanz Z 1 = u 1 /i 1 (Eingangsadmittanz Y 1 =1/Z 1 ) bzgl. Tor1 

� Ersatzspannung u q2 und Ersatzwiderstand Z 2 bezüglich des Tores 2 

(Vierpolausgang ersetzt durch aktiven Zweipol) 

� Stromübersetzungsverhältnis A if = i 2 /i 1 

� Spannungsverstärkung A uf = u 2 /u 1 

� Übertragungsleitwert Y üf = i 2 /u 1 

� Übertragungswiderstand Z üf = u 2 /i 1 

Praktisch wichtig vor allem Eingangswiderstand (als Last für die Signalquelle) 

und die Übertragungsgrößen (Transfergrößen) (um den Einfluß der 

Ausgangslast z.B. auf die Verstärkung) darzustellen 

Ergebnis: Zweitor kann als „richtungsabhängiges Transformationsnetzwerk“ 

verstanden werden, durch das sich die Ausgangslast auf eine Ersatzlast 

am Eingangskreis (Grundstromkreis) zurückführen läßt (und umgekehrt) 

2006-04-11 20

u q 

Beispiel Eingangswiderstand 

R q 

i 1 

u 1 

i 2 

u 2 

Eingangswiderstand 

R a 

⎧u 

= Z i + Z i 

⎪ 

⎪u 

⎨ 

⎪u1 

⎪ 

⎩u2 

= 

= 

= 

Z i + Z i 

uq −Rqi1 

−Rai2 

1 11 1 12 2 

2 21 1 22 

2 

u Z Z 

Z ( R ) = = Z − ≡ Z + Z Ai 

1 12 21 

1 a 

i1 11 

Z22 

+ Ra 

11 12 f 

−Z 1 

⎛−Z ⎞ 

mit 21 21 

Aif 

= = Ai 

⋅ mit 

Ai 

=⎜ ⎟ 

Z22 + Ra 

1 + Ra 

/ Z22 ⎝ Z22 

⎠ u 2= 0 

i 

2 

= 

−Z21i1 

Z + R 

22 a 

⎛i⎞ 2 

u1 = Z11i1+ Z12⎜ ⎟i1→ 

⎝ i1 

⎠ 

gleichwertig 

Der Eingangswiderstand wird durch Z 12, die (Kurzschluß)- Stromverstärkung A i 

und Last R a beeinflußt (oder Z 12 und die Betriebsstromverstärkung A if )! 

Betriebsstromverstärkung 

2006-04-11 21

u q 

Beispiel Eingangsleitwert 

R q 

i 1 

u 1 

Eingangsadmittanz 

i 2 

u 2 

R a 

⎧ i = Y u + Y u 

⎪ 

⎪i 

⎨ 

⎪u1 

⎪ 

⎩i2 

= 

= 

= 

Y u + Y u 

uq −Rqi1 

−Gau2 

1 11 1 12 2 

2 21 1 22 

2 

i Y Y 

Y ( G ) = = Y − ≡ Y + Y A 

1 12 21 

1 a 

u1 11 

Y22 

+ Ga 

11 12 uf 

−Y 1 

⎛−Y ⎞ 

mit 21 21 

Auf 

= = Au ⋅ mit 

Au 

=⎜ ⎟ 

Y22+ Ga 

1 + Ga 

/ Y22 ⎝ Y22 

⎠ i 2= 0 

u 

2 

−Y21u1 

= 

Y + G 

22 a 

⎛u⎞ 2 

i1 = Y11u1+ Y12⎜ ⎟u1→ 

⎝u1⎠ gleichwertig 

Betriebsspannungsverstärkung 

Der Eingangswiderstand wird durch Y 12, die (Leerlauf)- Spannungsverstärkung A u 

und Last R a beeinflußt (oder Y 12 und die Betriebsspannungsverstärkung A uf )! 

2006-04-11 22

u q 

Zweipolersatzgrößen ausgangsseitig 

R q 

i 1 

u 1 

i 2 

u 2 

Ausgangsleerlaufspannung u q2 

⎧u 

= Z i + Z i 

⎪ 

⎪u 

⎨ 

⎪u1 

⎪ 

⎩u2 

= 

= 

= 

Z i + Z i 

uq − Rqi1 

−Rai2 

1 11 1 12 2 

2 21 1 22 

2 

i 

1 i 2= 0= 

Z u Z u 

u ( R ) = u = Z i = = A 

R 

21 q 11 q 

q 2 a 2 i2= 0 21 1 

Z11 + Rq 

u i2= 

0Z11 

+ q 

u Z 

mit 2 21 

Au 

= = 

u1 Z 

i 2= 0 11 

11 

u 

q 

Z + R 

Leerlaufspannungsverstärkung 

Die Ausgangsleerlaufspannung wird durch die Eingangsquellenspannung, die 

(Leerlauf)- Spannungsverstärkung A u und den Quellenwiderstand R q bestimmt 

q 

2006-04-11 23

u q 

Ausgangswiderstand 

R q 

i 1 

u 1 

Ausgangswiderstand 

i 2 

u 2 

Z 2 (R q ) 

⎧u 

= Z i + Z i 

⎪ 

⎪u 

⎨ 

⎪u1 

⎪ 

⎩u2 

= 

= 

= 

Z i + Z i 

uq − Rqi1 

−Rai2 

1 11 1 12 2 

2 21 1 22 

2 

u Z Z Z Z Z 

Z ( R ) = = Z − ≡ Z + = Z − 

i 

1 

= 

−Z12i2 

Z + R 

11 q 

2 12 21 21 12 11 

2 q 

i2 uq= 

0 

22 

Z11+ Rq 

11 

Aif 22 

Z11+ 

Rq 

Z u Z 

mit 12 2 21 

Aif 

= , Au 

= = 

Z11 + Rq 

u1Z i 2= 0 11 

Durch die Rückwirkung Z 12 hängt Z 2 vom Quellenwiderstand R q ab ! 

A 

u 

2006-04-11 24







� Mehrtore 

2006-04-11 25

Zusammenschaltung von Zweitoren 

Voraussetzung 

� durch Zusammenschaltung wird die 

Funktion des Einzelvierpole nicht gestört 

(-> eine durchgehende 

Masseverbindung, sonst 

Zwischenübertrager vorsehen) 

� Schaltung bleibt stabil 

� Parallelschaltung: jede Klemme des 

einen VP wird mit der jeweiligen des 

anderen verbunden 

� Addition der Ströme bei gleicher 

Torspannung 

( ) 

i= i + i = Y + Y u= Yu 

a b a b 

� Addition der Leitwertmatrizen 

Problemschaltungen: 

Reihe- Parallel und Parallel- 

Reihe 

(z.B. Eingänge in Reihe, 

Ausgänge parallel) 

(wenig Schaltungsbeispiele) 

2006-04-11 26

Zweitorbeschreibung und Zusammenschaltung 

� Zu jeder Zweitorbeschreibung gibt es eine natürliche 

Verschaltungsart, bei der die Torbedingung erzwungen wird 

� Übertrager verhindert Ausgleichsstrom 

2006-04-11 27

Zweitorbeschreibung und Zusammenschaltung 

� Durchgehende Verbindung in den Vierpolen macht sie zu eigentlich 

zu Dreipolen und damit Zweitoren, bei denen die Torbedingung 

stets erfüllt ist 

� Typischerweise haben Netzwerke eine Erdverbindung 

2006-04-11 28

Kaskadeschaltung von Vierpolen 

Ergebnis 

u 1 

i 1 

⎡u1⎤ ⎡ u2a 

⎤ 

⎢ ⎥ = Aa 

⋅⎢ 

− 

⎥ 

⎣i1⎦ ⎣ i2a 

⎦ 

A a 

i 2a 

u 2a 

i 1b 

u 1b 

⎡ u ⎤ ⎡u ⎤ 

= 

2a 1b 

⎢ 

i 

⎥ ⎢ 

2a i 

⎥ 

⎣− ⎦ ⎣ 1b 

⎦ 

A b 

i 2 

u 2 

⎡u1b⎤ ⎡ u2 

⎤ 

⎢ ⎥ = Ab 

⋅⎢ 

− 

⎥ 

⎣ i1b ⎦ ⎣ i2 

⎦ 

erster Vierpol Zwischenvierpol, 

Vorzeichenwechsel 

zweiter Vierpol 

⎡u1⎤ ⎡u2 ⎤ ⎡u2 ⎤ 

⎢ ⎥ = Aa ⋅Ab ⋅ ⎢ ⎥ = A⋅ 

− 

⎢ 

− 

⎥ 

⎣ i1⎦ ⎣ i2⎦ ⎣ i2⎦ 

Produkt der Kettenmatrizen. Reihenfolge der Matrizen nicht vertauschen! 

Beachte unsymmetrisches Vorzeichen bei i 

2006-04-11 29

Vierpolzusammenschaltungen, Beispiele 

Brücken-T- Vierpol aus 

parallelen Einzelvierpolen 

Transistorstufe zerlegt in 

parallele Einzelvierpole 

Verschachtelte Reihen- und 

Parallelschaltung von Vierpolen 

2006-04-11 30

Übergang vom Netzwerk zum Blockmodell 

Netzwerkmodell Blockmodell 

Ursache (u1 ) i1 i2 Wirkung am 

entfernten Ort (u2 ) 

Wirkung am 

Ursacheort (i 1 ) 

u 1 

u 2 

1 2 

u 

1 

u 2 

� Ansatz: Vernachlässigung der Wirkung am Ursacheort (i 1 =0) -> 

(hochohmiger Eingang, analog Strom i 2 am Ausgang) 

� Übertragungsverhalten meist durch gleichartige Größen (oft 

Spannung (meist), Strom praktisch nicht) beschrieben: u 1 = A u u 2 

� Übergang vom (physikalischen) Netzwerk zum „hypothetischen“ 

(mit äußeren stromfreien Klemmen): Blockmodell, Signalflußmodell 

� Folge: mehrere Übertragungsblöcke können problemlos in Kaskade 

und mit „Summier-/ Subtrahierstellen“ zusammengeschaltet werden 

u 1 

u 2 

2006-04-11 31







� Mehrtore 

2006-04-11 32

Rückkopplungsprinzip - Blockschaltbild 

� Kaskadenschaltung (u bezeichnet eine beliebige physikalische Größe) 

� Rückkopplungsschleife 

A A 

u 1 

2 

1 u2 u3 u1+u3 

u1 + A1 u2 u 3 

Rückführungsblock 

A 2 

Verstärkerblock 

u3 = Au 2 2 = AAu 1 2 1 

u2 = A1( u1+ u3), 

u = Au 

3 2 2 

A 

u = ⋅u 

2 

1 

1− 

A1A 2 

1 

Kreisverstärkung A 1 A 2 

2006-04-11 33

Wirkung der Rückkopplung auf Übertragungsfunktion 

� Nichtlinearer Verstärker im 

Vorwärtszweig ( y = tanh(x) ) 

� Lineare Rückkopplung 

( y = k x), k variabel 

� Übertragungsfunktion 

u = tanh( u −ku 

) 

2 1 2 

� Wirkung der RK: 

Linearisierung der 

nichtlinearen Kennlinie 

1 

u = u 

k 

2 1 

U1-u3 

u 1 - u 2 

u 3 

tanh 

k 

2006-04-11 34

Rückkopplungsprinzip in Schaltungen 

� Blöcke haben Strom und Spannung als Torgrößen 

� Berücksichtigung bei der Zusammenschaltung durch 

Einkoppelnetzwerke 

Reihenschaltung Parallelschaltung 

M. Gloger, Vorlesung Verstärkerschaltungen, TUM 

2006-04-11 35

Arten von Grund-Rückkopplungen 

� Abhängig vom Ein- und Auskoppelnetzwerk findet man folgende 

Rückkopplungen 

Reihen-Reihen RK Parallel-Parallel-RK 

Reihen-Parallel RK Parallel-Reihen RK 

2006-04-11 36

Wirkung der Rückkopplungen 

Reihen-Reihen RK 

� Spannungsveränderung am 

Eingang 

� Strommessung am Ausgang 

Reihen-Parallel RK 

� Spannungsveränderung am 

Eingang 

� Spannungsmessung am 

Ausgang 

Parallel-Parallel-RK 

� Stromveränderung am Eingang 

� Spannungsmessung am Ausgang 

Parallel-Reihen RK 

� Stromveränderung am Eingang 

� Strommessung am Ausgang 

2006-04-11 37

Beispiel Transistorschaltung mit Emitterwiderstand 

� Zur Untersuchung der Rückkopplung 

� Beschreibung der beiden Netzwerke durch eine zur 

Zusammenschaltung passende Vierpolmatrix 

� Aufteilen der Schaltung in 

– Rückwirkungsfreies Rückkopplungs-NW und 

– den Rest 

� Addition beider Matrizen 

2006-04-11 38

Formeln zur Rückkopplung 

Reihen-Reihen RK Parallel-Parallel-RK 

y21v 

y 21 = 

1+ 

z12ky21v z21v 

z21 

= 

1+ 

y12kz21v Ze = z11v ( 1+ 

z12ky21v) Za = z22v ( 1+ 

z12ky 21v) 

1 

Ze 

= 

y11v ( 1+ 

y12kz21v) z22v 

Za 

= 

y 1+ 

y z 

Reihen-Parallel RK Parallel-Reihen RK 

g21v 

g21 

= 

1+ 

h12kg21v h21v 

h21 

= 

1+ 

g12kh21v g11v 

Ye= g11 

= 

1+ 

h12kg21v 1 

Ze 

= 

g11v ( 1+ 

g12kh21v) g22v 

Za= g22 

= 

1+ 

h g 

Za = z22v ( 1+ 

g12kh21v) 12k 21v 

( ) 

11v 12k 21v 

2006-04-11 39







� Mehrtore 

2006-04-11 40

Umkehrbarkeit, Reziprozität 

� Reziprozitätssatz: (verbreitete Eigenschaft linearer Systeme) 

Vertauschen in einem reziproken System Ursache und Wirkung 

ihren Ort, so zeigt sich bei gleichbleibender Ursache die gleiche 

Wirkung 

Ursache 

Wirkung 

Eine Berechnung des Netzwerkes zeigt: 

u = uˆ 

2 1 

Wirkung 

Ursache 

also die gleiche Wirkung bei vertauschter Ursache 

2006-04-11 41


� Bedingung für ein n-Tor ( (1) und (2) bezeichnen verschiedene 

Sätze von Torspannungen und –strömen) 

n n 

∑ 

(1) (2) (2) (1) 

u = ∑ 

k ik uk ik 

k= 1 k= 

1 

� Für Zweitore gelten insbesondere: 

u u 

i i 

(1) (2) 

2 

(1) = 1 

(2) 

1 i = 0 2 i = 0 

(1) (2) 

2 1 

i i 

u u 

(1) (2) 

2 

(1) = 1 

(2) 

1 u = 0 2 u = 0 

(2) (1) 

2 1 

i u 

i u 

(1) (2) 

2 

(1) =− 1 

(2) 

1 u = 0 2 i = 0 

(1) (2) 

2 1 

2006-04-11 42


� Für die Zweitorparameter gilt dann 

Z 12 = Z 21 , bzw. Y 12 = Y 21 , bzw. H 12 = - H 21 , bzw. det A= 1 

� Durch quellenfreie T- oder Π-Ersatzschaltung realisierbar 

� Vierpole aus R,L,C sind stets umkehrbar 

� Ein umkehrbarer Vierpol hat drei Vierpolparameter 

� Ein Vierpol ist symmetrisch, wenn Z 11 = Z 22 gilt 

� Ein Vierpol kann symmetrisch und umkehrbar sein (zwei Parameter 

ausreichend) 

2006-04-11 43

Rückwirkungsfreiheit 

� Ein Vierpol ist rückwirkungsfrei, wenn die Eingangsklemmengrößen 

U 1 , I 1 (und die damit verbundenen Eigenschaften (z.B. Eingangswiderstand) 

unabhängig von den Ausgangsklemmeneigenschaften 

sind 

Z 12 = 0, bzw. Y 12 = 0, bzw. H 12 = 0 

� Ausgang und Eingang sind entkoppelt 

� Durch drei unabhängige Parameter bestimmt 

� Beispiel: gesteuerte Quellen, Verstärker (ideal) 

� Durch die Rückwirkungsfreiheit kann eine Übertragungsfunktion als 

Produkt einfacher Teilübertragungsfunktionen realisiert werden. 

2006-04-11 44

Elementarzweitore (1) 

� Symmetrische Pfeilrichtung (auch bei der Kettenmatrix!) 

– Es existieren nicht immer alle möglichen Darstellungen! 

2006-04-11 45

Elementarzweitore (2) 

� Symmetrische Pfeilrichtung 

2006-04-11 46

Transimpedanzverstärker 

Transadmitanzverstärker 

Stromverstärker 

Spannungsverstärker 

Häufig verwendete Zweitore - Gesteuerte Quellen 

� Zweitor rückwirkungsfrei (Last am Ausgangstor wirkt nicht auf Eingangstor) 

� Es existieren nur wenige Zweitorbeschreibungen 

Nullator-Norator Realisierungen 

(mit einem gemeinsamen Anschluß) 

2006-04-11 47

Häufig verwendete Zweitore - Gesteuerte Quellen 

Nullator-Norator Realisierungen 

(mit einem getrennten Anschluß) 

� Zwei Operationsverstärker zur Sicherstellung der Torbedingungen erforderlich 

2006-04-11 48

Übersetzervierpole, Impedanzkonverter -/inverter 

� wandelt eine Ausgangsimpedanz Z2 in eine charakteristische 

Eingangsimpedanz Ze1 Z 

e1 

u A Z + A 

= = 

i A Z + A 

1 11 2 12 

1 21 2 22 

A-Parameter bzgl. unsymm. 

Pfeilrichtungen am Ausgang 

durch spezielle gewählte Kettenmatrizen 

1. Proportionalübersetzer: (Forderungen: A12 = 0, A21 = 0, det A = A11A22 ) 

Positiv-, Negativ- 

Impedanzkonverter 

2 

A11 A11 

Ze1 = Z2 = 

A22 det A 

Z2 

Wirkleistungen 

P1 =-P2detA (Beispiele: Übertrager, NIC, (gesteuerte Quellen, Nullor)) 

(Verlustfreier VP für det A=1) 

2. Dualübersetzer: (Forderungen: A11 = 0, A22 = 0, det A = -A12A21 ) 

2 

Positiv-, Negativ- 

A12 1 A121 

Ze1 

= =− Wirkleistungen 

Impedanzinverter 

A21 Z2det A Z2 

P1 =P2detA (Beispiele: Gyrator, Negativgyrator, (gesteuerte Quellen, Nullor)) 

Z 1 

i 1 

u 1 

i 2 

u 2 

Z 2 

2006-04-11 49

Anwendung von Übersetzervierpolen 

� Filtertechnik 

– zur Dualwandlung von Netzwerkelementen (z. B. C in L und 

umgekehrt), 

– zur Impedanztransformation 

� Realisierung bereichsweiser negativer Wirkwiderstände 

� Kettenschaltung von Übersetzervierpolen ergibt wieder einen 

Übersetzervierpol, z.B zwei Gyratoren -> idealen Übertrager 

� Kettenschaltung dual gesteuerter Quellen ergibt eine proportionalgesteuerte, 

– z.B. spannungsgesteuerte Strom- und stromgesteuerte 

Spannungsquelle -> spannungsgesteuerte Spannungsquelle 

2006-04-11 50

Übersetzervierpole - Proportionalübersetzer 

Bedingungen: 

2 

A11 A11 

Ze= Z = Z 

A det A 

1 2 2 

22 

−A 

Z Z 

det A 

e1 

= 

2 

11 

2 

A 12 = A 21 = 0 

det A >0 

det A = 1 

det A = 0 

det A < 0 

det A = A 11 A 22 

det A = -1 

P 1 = -P 2 det A 

⎡ü 0 ⎤ 

A = ⎢ ⎥ 

⎣0 1/ ü⎦ 

A 22 = 0 UsU 

A 11 = 0 IsI , 

A 11 =A 22 = 0 Nullor 

A 11 > 0, A 22 < 0 INIC 

A 11 < 0, A 22 > 0 UNIC 

⎡a 0 ⎤ 

A = ⎢ 

− 

⎥ 

⎣0 1/ a⎦ 

(Z,Y existieren 

nicht) 

(Z,Y existieren 

nicht) 

Gyrator und Übertrager stets passiv, übrige aktiv 

UsI spannungsgesteuerte Stromquelle U steuert I 

Positivübersetzer (PIK) 

Übertrager 

gest. Quellen, 

Nullor 

Negativübersetzer (NIK) 

Negativimpedanz - 

konverter, NIK 

2006-04-11 51

Übersetzervierpole - Dualübersetzer 

Bedingungen: 

Z 

Z 

e1 

e1 

2 

A12 1 A12 

1 

= =− 

A Z det A Z 

= 

21 2 2 

2 

A12 

det A 

1 

Z 

A 11 = A 22 = 0 

2 

det A = >0 

det A = 1 

det A = 0 

det A < 0 

det A = -A 12 A 21 

det A = -1 

P 1 = P 2 det A 

⎡ 0 −1/ 

Gm 

⎤ 

A = ⎢ ⎥ 

⎣Gm 0 ⎦ 

A 21 = 0 UsI 

A 12 = 0 IsU 

A 12 =A 21 = 0 Nullor 

⎡ 0 1/ Gm 

⎤ 

A = ⎢ ⎥ 

⎣Gm 0 ⎦ 

Gyrator und Übertrager stets passiv, übrige aktiv 

UsI spannungsgesteuerte Stromquelle U steuert I 

Negativdualübersetzer (NII) 

Negativgyrator 

gest. Quellen, 

Nullor 

Positivdualübersetzer (PII) 

Gyrator 

2006-04-11 52

Operationsverstärker 

invertierender 

Eingang 

Schaltsymbol 

N 

P 

positive 


+U B 

-UB nichtinvertierender 

Eingang 

negative 


A 

u - 


u d 

N 

P 

u + 

Grundschaltung 

+U CC 

-U EE 

i a 

i B+ 

i B- 

U CC 

ua UEE � Bezeichnung herrührend vom Einsatz in Analogrechnern 

� große Verbreitung als eigenständiges Bauelement in Elektronik, 

Grundelement der analogen Signalverarbeitung 

+ 

_ 

+ 

_ 

2006-04-11 53

Typisches Modell 

Übertragungsverhalten Ersatzschaltung 

linearer Bereich 

(sehr schmal) 

-U CC /A u 

Sättigung 

+U CC 

-U CC 

Virtueller Kurzschluß: 

u + = u - (u d = 0), A u -> 

Ausgangsstrom: 

i a = i B+ -i B- 

Sättigung 

Steigung A u 

U CC /A u 

u d 

ideal: A u -> 

∞ 

∞ 


u d 

- 

+ 

r d 

Eingangswiderstand r i 

Ausgangswiderstand r a 

Leerlaufspannungs- 

verstärkung A u 

A uu d 

r a 

u a 

typisch ideal 

10 6 -10 12 Ω 

10..100 Ω 

10 5 ..10 7 

Idealer OPV: 

� Übertragungsverhalten nur durch Rückkopplungsnetzwerk bestimmt 

� Verstärkereinflüsse eliminiert 

∞ 

0 

∞ 

2006-04-11 54

Schaltungsbeispiele von Übersetzerzweitoren 

� Positiv-Impedanz-Inverter (PII) 

a) 

= 

b) 

1 

A21 

= 

R2 

A12 = R6 

RR 6 4 A12 

R5 

R3 

A21 

= 

RR 

2 4 

(für A = heißt das Bauelement Gyrator) 

12 

1 

A 

21 

� Negativ-Impedanz-Inverter (NII) 

1 

A12 = R 0 A21 

=− 

R 

0 

(vgl. erste Übung) 

2006-04-11 55

Berechnung der Parameter des Positiv-Impedanz-Inverter 

� Knotenleitewertmatrix ohne OPV 

1 2 3 4 5 

⎛ Y2 −Y2 

0 0 0 ⎞ 

⎜ 

− Y + − 

⎟ 

⎜ 2 Y2 YL YL 

0 0 

⎟ 

Y = ⎜ 0 − YL YL + Y4 −Y4 

0 ⎟ 

⎜ ⎟ 

⎜ 

0 0 − Y4 Y4 + Y5 −Y5 

⎟ 

⎜ + ⎟ 

⎝ 0 0 0 Y5 Y5 Y6⎠ 

Berücksichtigung der Nullatoren: Addiere Spalte 3 und 5 auf 1 und streiche 

3 und 5 (identische Knotenspannungen) 

Berücksichtigung der Noratoren: Streiche Zeile 2 und 4 (Noratoren mit 

Bezugspunkt verbunden!) 

1 

2 3 

4 

5 

2006-04-11 56


� Knotenleitwertmatrix der Gesamtschaltung 

1 2 4 

⎛ Y2 Y = 

⎜ 

Y + 

⎜ L Y4 ⎜ 

⎝Y5 + Y6 −Y2 

−YL 0 

0 ⎞ 

−Y 

⎟ 

4⎟ 

−Y 

⎟ 

5⎠ 

� Stromquelle am Eingang 

⎛IQ ⎞ 

I = 

⎜ 

0 

⎟ 

⎜ ⎟ 

⎜ ⎟ 

⎝ 0 ⎠ 

� Lösung Y U = I ergibt Knotenspannungen: 

⎛U1⎞ ⎛ YY 5 L ⎞ 

⎜ ⎟ 

= 

⎜ 

− + 

⎟ IQ 

U 

⎜ 2 YY 

⎟ ⎜ 4 6 YY 5 L ⎟ 

⎜ ⎟ ⎜ + ⎟YYY 

⎝U4⎠ ⎝ YY 5 L YY 

6 L ⎠ 

2 4 6 

2006-04-11 57


� Zu bestimmen ist: 

A 

12 

= 1 

2 U = 0 

Nebenbedingung bedeutet: U2 = U3 I kann aus Strom durch R4 bestimmt werden: 

2 

A 

12 

I 

2 

U − U YL+ Y 

= = 

R Y 

4 1 4 

4 2 

U 

I 

L 

U1 YYL Y2 

YYL Y R R 

= = = = = 

I YYY ( Y + Y ) YY ( Y + Y ) YY (1 + ZY ) R 

0 

5 5 5 4 6 

2 U = 2 4 6 L 4 4 6 L 4 4 6 L 4 5 

L 

2006-04-11 58

Schaltungsbeispiele von Übersetzerzweitoren 

� Positiv-Impedanz-Konverter (PIK) 

11 = 1 A RR 

A22 

= 

RR 

3 5 

2 4 

� Negativ-Impedanz-Konverter (NIK) 

11 = 1 A =− 2 R 

A22 

R 

1 

Nullator-Norator 

Realisierung 

2006-04-11 59







� Mehrtore 

2006-04-11 60

Mehrtore - Varianten 

erdungebundene Anordnung 

u 1 

u n 

i n 

i 1 

i 1 

i n 

1 

n 

2n- Pol, 

n- Tor 

u 1 

u 2 

u 3 

i 1 

i 2 

i 3 

i n 

u n 

1 

n 

n+1 Pol als n-Tor, 

Bezugsknoten 

außerhalb NW 

Hinweis: Ströme symmetrische Vorzeichen 

erdgebundene Anordnungen 

n: Zahl der Klemmentore (Klemmenpaare, n = 1 Eintor, n = 2 Zweitor..) 

u 1 

u 2 

i 1 

i 2 

i n 

u n 

1 

n 

n+1 

n+1 Pol als n-Tor, 

Bezugsknoten 

im NW 

2006-04-11 61

Mehrtorbeschreibung 

� n-Tor durch n linear unabhängige u-i-Beziehungen für die 

2n-Klemmengrößen (Ströme, Spannungen) bestimmt 

� Zweckmäßige Beschreibungsformen: Leitwert-, Widerstandsmatrix 

(weitere möglich) 

� Annahme: zunächst nur passive Elemente 

i=Yu 

i, u Vektoren der Torströme, -spannungen 

Y Leitwertmatrix des n-Tores , n x n-Elemente 

– Element y nn heißt Kurzschlußleitwert des Tores n (bei Kurzschluß aller 

restlichen) 

i ≠ j 

– die yij (für ) die Übertragungs- oderKoppelleitwerte von Tor i nach 

Tor j 

det Y 

≠ 0 

– Y ist immer quadratisch und regulär, dann existiert und damit 

auch die reziproke Matrix Y-1 (Widerstandsmatrix) 

2006-04-11 62

Übergang n-Tor zu n+1 Pol 

� n-Tor hat n nicht zusammenhängende Teilgraphen 

� Zusammenfassen aller „-“- Torklemmen zu Klemme „n+1“: -> 

Entstehung eines n+1 Poles 

� aus n-Tor-Gleichungssystem durch Ergänzen der Spalte /Zeile n+1 

Übergang zum System mit unbestimmter Knotenleitwertmatrix 

� wird Knoten n +1 zum Bezugsknoten des „erdgebundenen“ Netzwerkes 

gewählt, so Streichung der Zeile/Spalte n+1 (Knotenspannung 0)-> 

� beschreibende Gleichung 

(Graph mit n Zweigen und gemeinsamen Bezugsknoten (Sternbaum)) 

i=Yu i=[i 1 ...i n ] T , u=[u 1 ...u n ] T 

2006-04-11 63

Übergang n-Tor zu n+1 Pol 

� Gleichwertiger Ansatz: - die neue Erdklemme „n+1“ dient als 

weitere Klemme des Netzwerkes und eine zusätzliche Klemme 

außerhalb des NW als Bezug 

– Dann gibt es n+1 Leitwertgleichungen (statt n), aber nicht mehr 

unabhängig voneinander: neue (n+1) 2 – Matrix entsteht aus n 2 -Matrix 

durch Ergänzen einer Zeile und Spalte mit der Bedingung, daß jeweils 

die Summe aller Elemente verschwindet (Methode: Rändern der Matrix) 

� Anwendungen: 

– Wechsel der Bezugsklemmen einer Schaltung 

(z.B. Übergang Basis-Emitterschaltung) 

2006-04-11 64

Bipolartransistor als 3-Pol bzw. Zweitor 

i 1 

u 10 

B C 

gmu‘ g1 u‘ g2 u 13 

i 3 

u 30 

E 

i 2 

u23 u20 vereinfachte Transistorersatzschaltung 

unbestimmte Leitwerkmatrix 

Ausgangsvierpolgleichungen 

⎡i1⎤ ⎡g1 0 ⎤ ⎡u13 ⎤ 

⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⋅⎢⎥ 

⎣i2⎦ ⎣gmg2⎦ ⎣u23 ⎦ 

weiter (Bedingungen für unbestimmte Leitwertmatrix) 

i3 = -i1-i u 

2 10 =u13 +u30 , u20 =u23 +u30 1 2 3 

⎡ i1⎤ ⎡ g1 ⎢ 

i 

⎥ 

= 

⎢ 

⎢ 2 g 

⎥ ⎢ m 

⎢⎣ i3 ⎥⎦ ⎢⎣− ( g m + g1) 0 

g 2 

− g 2 

− g1 ⎤ ⎡u10 ⎤ 

− ( g + 

⎥ 

⋅ 

⎢ ⎥ 

m g 2) u 

⎥ ⎢ 20 ⎥ 

g m + g1 + g 2 ⎥⎦ ⎢⎣u30 ⎥⎦ 

Möglichkeiten: Bezug Klemme 3 (E, Emitterschaltung; Zeile- /Spalte 3 streichen) 

Bezug Klemme 1 (B, Basisschaltung; Zeile- /Spalte 1 streichen) 

Bezug Klemme 2 (C, Kollektorschaltungen Zeile- /Spalte 2 streichen) 

2006-04-11 65

Knotenverbindung 

� Knotenverbindung senkt Zahl der Knoten 

� Knotenverbindung: Kurzschluß zweier Netzwerkklemmen, beide 

Knotenspannungen stimmen überein, Gesamtstrom der 

(reduzierten) Klemmen = Summe der vorherigen Teilströme 

u 1 

i i 

i k 

Knotenverbindung 

i1 im i1 im-1 u 

m-Klemmen m-1 Klemmen 

Beispiel: Übergang Zweitor-> Eintor 

i 

1 

2 

u m- 

u 1 

i i+k 

⎡i ⎤ ⎡y y ⎤⎡u ⎤ 

= 

1 11 12 1 

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ 

⎣i2⎦ ⎣y21 y22⎦⎣u2⎦ i = ( y + y + y + y ) u 

11 12 21 22 

u m-1 

Verbindungsbedingungen 

i = i 1+i 2 

u = u 1 =u 2 

2006-04-11 66

Mehrtore 

� Die Matrixbeschreibungen wie bei Zweitoren können auch auf den 

allgemeinen Fall eines Mehrtores erweitert werden. 

� Zusammenfassung von Toren zu Torgruppen (n Eingangstore, m 

Ausgangstore, n und m können verschieden sein!) 

� Einführung von Blockmatrizen 

2006-04-11 67

Mehrtore - Kettenschaltung 

� gleiche Zahl von Eingangs- und Ausgangstoren: Produkt der 

Kettenmatrizen 

2006-04-11 68

5. Netzwerke mit Energiespeicher- 

elementen im Zeitbereich 

� Dynamische Netzwerke 

� Verhalten der Grundelemente L, C 

� Netzwerke erster Ordnung 

� Netzwerke zweiter Ordnung 

� Netzwerke höherer Ordnung 

� Zustandsbeschreibung 

2006-04-11 1

Dynamische Netzwerke 

� In Vorlesung GET einfache dynamische Netzwerke 

� Betrachtung des Wechselstromverhaltens, also bei harmonischer 

Erregung 

Offen blieben z.B. z.T. folgende Fragen: 

� Was passiert, wenn U 1 eine Spannungsquelle mit Sprungfunktion ist? 

� Wie sieht das Übertragungsverhalten bei beliebiger Erregung aus? 

� Wie wirkt sich eine Anfangsladung auf dem Kondensator auf das 

Schaltungsverhalten aus? 

2006-04-11 2

Dynamische Netzwerke - Definition 

� Netzwerke, die mindestens eine Kapazität oder Induktivität (oder 

beides) und wenigstens ein weiteres Netzwerkelement (Quelle, 

resistives Element) enthalten 

� Nichtlineares dynamisches Netzwerk: wenigstens eines der NWE 

(Energiespeicher oder restliche Elemente) hat nichtlineare u-i-Relation 

� Merkmal des Energiespeicherelementes: Stetigkeit seiner 

Speicherenergie, bedingt die Stetigkeit seiner Zustandsgröße 

(Kondensatorladung bzw. –spannung, magn. Fluß bzw. Strom bei 

Induktivität): 

– bei sprunghafter Änderung einer Netzwerkgröße (Netzwerkerregung, 

Parameter oder Netzwerktopologie, Amplitude, Frequenz-, Phasendrehung) 

erfolgt ein transienter (Übergangs-, Schaltvorgang) Ausgleichsvorgang der 

Netzwerkströme-/spannungen vom Zustand vor der Änderung in einen 

neuen Zustand nach der Änderung 

� Beispiele: Filter, Oszillatoren 

2006-04-11 3

Dynamische Netzwerke 2 

� Beschreibung des Zeitverhaltens aller Netzwerkströme-/spannungen 

durch gewöhnliche Differentialgleichungen (linear, nichtlinear) 

gewonnen durch aus KHG und den Elementebeziehungen Grad der 

Schaltung = Ordnung der Schaltung = Ordnung der DGL: 

Zahl der (unhängigen!) Energiespeicher im NW 

� Typische NW-Gruppen: 

– NW erster Ordnung (RC-, RL-Schaltungen) 

– NW zweiter Ordnung (RLC-, RC 1 C 2 -Schaltungen) 

– NW höherer Ordnung 

2006-04-11 4

Analyse Dynamischer Netzwerke 

� Wichtige Analyseaspekte dynamischer Netzwerke sind: 

– natürliche und erzwungene Lösungen, 

– transiente und stationäre Lösungen und ihre Interpretation 

– der Einfluß der Netzwerkerregung 

– Verständnis der Zeitkonstanten 

� Analyse durch: 

– direkte Lösung der Netzwerkdifferentialgleichung im Zeitbereich 

– Anlegen spezieller Testsignale und Auswertung der zugehörigen 

Antwortfunktion (Impuls-, Sprungantwort) 

– Lösung der Netzwerkdifferentialgleichung für die Zustandsvariablen 

(sog. Zustandsgleichungssystem) 

– Anwendung von Transformationsverfahren, insbesondere Fourier- und 

speziell Laplacetransformation (beschränkt auf lineare zeitinvariante 

Netzwerke, LTI-Netzwerke) 

2006-04-11 5









2006-04-11 6

Grundelemente R, C, L 

� Verhalten der Klemmengrößen bei Sprunganregung 

Zustandsgrößen (Energiegrößen) (Spannung am Kondensator, Strom durch die 

Induktivität bei linearen Elementen resp. Ladung und Fluß bei nichtlinearen) 

sind immer stetig (keine sprunghafte Änderung möglich; Energiesatz!), besitzen 

einen Anfangswert und damit ein Gedächtnis 

2006-04-11 7

Grundelemente C (besondere Anregung) 

� Stromsprung i(t) =I Q s(t) 

� Spannungssprung u(t) =U Q s(t) 

(vorausgesetzt, er könnte 

erzwungen werden!) 

erzeugt Stromimpuls 

� Stromimpuls. i(t) = Qδ(t) =I Q Tδ(t) 

erzeugt also einen Sprung der 

Amplitude Q/C 

t 

IQ IQ 

uC= s(') t dt't C ∫ = 

C 

i 

C 

−∞ 

dUs ( Q ( t) 

) 

= C 

dt 

= CUQ δ() t = Qδ() 

t 

{ 

Anfangsladung 

t 

1 

Q 

uC= ∫ Qδ(') t dt' = s() t 

C C 

−∞ 

Anfangswert 0 

Linearer Anstieg 

Stromimpuls 

Spannungssprung 

Merke: Aus physikalischen Gründen ist die Kondensatorspannung 

(-ladung) immer stetig, alle anderen Fälle haben nur (mathematischen) 

Modellcharakter! 

2006-04-11 8

Grundelemente L (besondere Anregung) 

� Spannungssprung u(t) =U Q s(t) 

� Stromsprung i(t) =I Q s(t) 

(vorausgesetzt, er könnte 

erzwungen werden!) 

� Spannungsimpuls. u(t) =δ(t) = 

Tδ(t) erzeugt 

also einen Sprung der 

Amplitude /L 

Ψ 

t 

UQ UQ 

iL= s(') t dt't L ∫ = 

L 

u 

L 

t 

−∞ 

dI ( Qst 

( ) ) 

= L 

dt 

= LIQ 

{ 

δ() t = Ψδ() 

t 

Anfangsfluß 

1 

Ψ 

iL= ∫Ψδ(') 

t dt' = s() t 

L L 

−∞ 

Linearer Anstieg 

Spannungsimpuls 

Stromsprung 

Merke: Aus physikalischen Gründen ist der Spulenstrom (-fluß) immer 

stetig, alle anderen Fälle haben nur (mathematischen) Modellcharakter! 

2006-04-11 9

Anfangszustand und dessen Berücksichtigung 

Kapazitätsbeschreibung mit Anfangsladung 

1. als zeitliche Ableitung mit Anfangsspannung 

du 

i = C 

dt 

ut () = u(0) 

t = 0 − 

2. als Integral 

(Reihenschaltung des Spannungsanfangswertes) 

t 0 

t 

1 1 1 

uc= idt = idt + idt 

C ∫ ' 

C ∫ ' 

C∫ 

' 

−∞ −∞ 

1 

= uC(0) s( t) + idt 

14243 C ∫ ' 

Anfangswert für t=0 

0 14243 

0 

t 

ungeladener Kondensator 

3. Ableitung des Integrals 

(parallel geschaltete Impulsstromquelle) 

du() t d du() t 

i = C − C ( u (0) s( t)) = C − 

dt dt dt 

Cu (0) 

123 

δ ( t) 

c c 

Anfangsladung 

vgl. Differentiation bei 

Laplace-Transformation! 

2006-04-11 10

Anfangszustand und dessen Berücksichtigung 

Induktivitätsbeschreibung mit Anfangsstrom 

1. als zeitliche Ableitung mit Anfangsstrom (mathematisch) 

di 

u = L 

dt 

it () = i(0) 

t = 0 − 

2. als Integral 

(Parallelschaltung des Stromanfangswertes) 

t 0 

t 

1 1 1 

iL = udt = udt + udt 

L ∫ ' 

L ∫ ' 

L∫ 

' 

−∞ −∞ 

1 

= iL(0) s( t) + udt 

14243 L ∫ ' 

Anfangswert für t=0 

0 14243 

0 

t 

stromfreie Spule 

3. Ableitung des Integrals 

(reihengeschaltete Impulsspannungsquelle) 

di() t d di() t 

u = L − L ( iL(0)()) s t = L − Li (0) () 

{ L δ t 

dt dt dt 

Anfangsfluß 

2006-04-11 11









2006-04-11 12

Dynamische Netzwerke erster Ordnung 

� Schaltungen mit einem unabhängigen Energiespeicherelement (C 

oder L) und sonst beliebigen Netzwerkelementen (linear / nichtlin. 

Elemente, R, Op, Schalter, Netzwerkerregung...)) 

Umordnung des Netzwerkes: 

- Energiespeicher-> 

- passives Netzwerk, 

- Rest ersetzt durch aktiven 

Zweipol 

Spannungsquellen- 

ES 

ein 

Kondensator 

R, Op, 

Quellen 

Schalter 

ein 

Energiespeicher 

C oder 

L 

Stromquellen- 

ES 

eine 

Induktivität 

z.B. Zweipolersatzschaltung des restlichen Netzwerks 

2006-04-11 13

Dynamisches Netzwerk erster Ordnung 

� Reduktion auf zwei Grundformen: RC-, RL- Schaltung 

u q(t) 

R 

Zweipolersatzelemente 

t=0 

S 

u C(t) 

C 

i C(t) 

� Abhängig von Art der NWE: 

lineare /nichtlineare, zeitinvariante, zeitvariante RC-, RL- Schaltungen 

� Behandlung linearer RC-, RL- Schaltungen beschrieben durch lineare 

gewöhnliche Differentialgleichungen für gesuchte NW-Größen (u, i) 

i q(t) 

G 


S 

t=0uL(t) 

iL(t) L 

2006-04-11 14

u q(t) 

Einschaltverhalten der RC-Schaltung 

R 


S 

t=0 

u C(t) 

U Q 

duC () t 

RC + u () t = U 

dt 

( ) 

C C C C 

0 

C Q 

u () t = u ( ∞ ) + u ( + 0) −u ( ∞)exp −t/ 

τ 

stationäre Lösung 

(eine Partikularlösung) 

C Q 

i C(t) 

( ) 

u () t = U 1−exp −t/ 

τ 

C 

� Einschalten einer Gleichspannung uq (t) = UQ � uC (t ) für t>0 (nach Schließen des Schalters) 

� Maschensatz: u R (t)+u C (t)-U Q =0 

U Q 

transiente Lösung 

(natürliches Verhalten) 

Sprungverhalten 

(ladungsloser Kondensator) 

DGL erster Ordnung 

für u C (t) 

� u C (+0)= u C (-0) Stetigkeitsbedingung 

Zustandsgröße u C (t) 

Zeitkonstante τ =RC 

2006-04-11 15

Lösung der Differentialgleichung 

duC () t 

RC + u () t = U 

dt 

du () uC() t U 

C t ⎛− + Q ⎞ 

= 

dt 

⎜ 

RC 

⎟ 

⎝ ⎠ 

⎛− uC() t + UQ 

⎞ 

duC () t = ⎜ dt 

RC 

⎟ 

⎝ ⎠ 

duC () t ⎛ 1 ⎞ 

=−⎜ ⎟ dt 

u () t −U ⎝RC⎠ C Q 

uC() t t 

duC t 

u 

C 

C Q 

() ⎛ 1 ⎞ 

=− ⎜ ⎟ dt 

u () t −U ⎝RC⎠ ∫ ∫ 

(0) C Q 0 

uC() t − UQ t 

ln =− 

u (0) − U RC 

C Q 

uC() t − UQ ⎛ t ⎞ 

= exp − 

u (0) − U 

⎜ 

RC 

⎟ 

⎝ ⎠ 

C Q 

u () t = U + ( u (0) −U )exp( −t 

/ RC) 

C Q C Q 

Auflösen nach 

Multiplikation beider Seiten mit dt 

Umformung, Vorbereitung 

zur Integration 

Integration beider Seiten 

Exponentierung 

Lösung 

duC () t 

dt 

2006-04-11 16

u q(t) 


R 


S 

t=0 

u q(t) 

� Merkmale: 

u C(t) 

i C(t) 

C 

t 

Kondensatorstrom 

duC () t UQ − uC() t UQ 

iC() t = C = = exp −t/ 

τ 

dt R R 

0.5 

0.37 

0.13 

Ri C (t)/U Q 

0 τ 2τ 3τ 

– für t ->+0 (Anfangszeitpunkt) Anfangsbedingung u C (+0) =u 0 . 

Strom i im ersten Moment durch U Q -u 0 über R bestimmt (hier u 0 =0) 

– für t -> (stationärer Fall, Ausgleich abgeklungen) gilt uC ( ) = UQ unabhängig vom Anfangswert 

– Übergangsbereich: im Einschaltmoment großer Strom 

1 

exp-t/t 

uC (t)/UQ 1 

0.63 

0.5 

∞ ∞ 

1-exp-t/t 

0 τ 2τ 3τ 

2006-04-11 17


� u, i- Verhalten von qualitativ von Funktionen der Form 

f ( t) = exp − t/ τ resp. f ( t) = 1−exp −t/ 

τ 

bestimmt 

1 2 

� Typische Werte: 

f 1 (0.7τ) = 0.5, f 1 (τ) = 0.37, f 1 (2.3τ) = 0.1, f 1 (4.6τ)=0.01 

� Nach t >> 5τ ist f 1 (t) auf rd. 1% abgeklungen und der 

Ausgleichsvorgang praktisch beendet 

� Definition Halbwertszeit: 

f ( t ) = 0.5 →(exp − t/ τ = 0.5) 

1 

H 

� Richtwert: R =1kΩ, C =1µF-> τ =1ms 

t = τln2 ≈0.7τ 

H 

2006-04-11 18

Lineare Differentialgleichungen – Interpretation der Lösungen 

Mathematik: 

� Lösung der homogenen DGL 

duC () t 

τ + uC() t = 0 

dt 

� Partikulärlösung der inhomogenen 

DGL (irgendeine) 

– z.B. bei u Q(t) = U Q 

– aber auch 

t 

1 

uC( t) = exp( −t/ τ) exp( t'/ τ) 

uQ( t') dt' 

τ ∫ 

duC () t 

τ + uC() t = uQ() t Allgemeine Form der DGL 

dt 

Netzwerke: 

( ) 

u () t = Kexp −t/ 

τ 

C 

u () t = U 

C Q 

0 

� Nulleingangslösung 

duC () t 

τ + uC() t = 0 

dt 

( ) 

u () t = u (0)exp −t/ 

τ 

C C 

� Nullzustandslösung der 

inhomogenen DGL 

t 

1 

uC( t) = exp( −t/ τ) ∫ exp( t'/ τ) 

uQ( t') dt' 

Übertragungsverhalten ohne 

Anfangszustand 

τ 

0 

2006-04-11 19

DGLn: Interpretation der Lösungsanteile 

Interpretation 1: 

� Transiente Lösung 

duC () t 

τ + uC() t = 0 

dt 

( ) 

u () t = Kexp −t/ 

τ 

C 

� Stationäre Lösung 

(eingeschwungener Zustand) der 

inhomogenen DGL, kein 

exponentiell abklingender Anteil 

– z.B. bei uQ (t) = UQ uC() t = UQ 

– bei sinusförmiger Erregung: 

Sinus mit Amplituden- und 

Phasenänderung 

Interpretation 2: 

� Nulleingangslösung 

duC () t 

τ + uC() t = 0 

dt 

( ) 

u () t = u (0)exp −t/ 

τ 

C C 

� Nullzustandslösung der 

inhomogenen DGL 

t 

1 

uC( t) = exp( −t/ τ) ∫ 

exp( t'/ τ) 

uQ( t') dt' 

Übertragungsverhalten ohne 

Anfangszustand 

τ 

0 

2006-04-11 20

Beispiel stationäre Lösung 

� RC-System mit sinusförmiger Anregung u C (0) = 0,5 

duC() t 

τ + uC() t = UQsin( ωt) 

dt 

� Transiente Lösung 

( ) 

u () t = Kexp −t/ 

τ 

C 

� Stationäre Lösung 

(phasenverschobener Sinus) 

wie aus Wechselstromrechnung 

UQ 

uC( t) = sin( t) − cos( t) 

2 2 

1+ 

τω 

( ω τω ω ) 

2006-04-11 21

Besonderheiten 

� Spannungssprung 

Sprungantwort 

U () 1 t 

Qσ t UQσ() t UQ 

iS() t = iR() t + iL() t = + U (') ' 

0 

Qσt 

dt t 

R L∫ = + 

R L 

(analog Stromquelle in Reihe zu Kondensator) 

� Impulsantwort (Quelle speist Dirac ein!) 

(Bestimmung durch Ableitung der Sprungantwort) 

di U U 

S iδ= = δ () t + 

dt R L 

Q Q 

Strom enthält einen Diracpuls! 

2006-04-11 22


� Stromanregung, Berechnung einer Spannung 

Stromsprung Stromimpuls 

2006-04-11 23


� Spannungsanregung, Berechnung eines Stromes 

Ableitung des 

Eingangssignals! 

Integral des 

Eingangssignals! 

Spannungssprung Spannungsimpuls 

2006-04-11 24









2006-04-11 25

Netzwerke zweiter Ordung 

� Netzwerke mit zwei unabhängigen Energiespeichern: 

– verschiedenartig (L und C), (z.B. Reihen-, Parallelschwingkreis) 

– gleichartig (je zwei C oder L) 

� I.a. beschrieben durch DGL 2. Ordnung (Anwendung der KHG) 

oder gleichwertig 

2 

dy dy 

+ a + by() t = f() t 

2 

dt dt 

2 

d y dy 2 

+ 2 α + ω 

2 0 y( t) = f( t) 

dt dt 

Bezeichnungen: 

ωo ungedämpfte Eigenfrequenz 

ωd Eigenfrequenz 

α Dämpfungsfaktor 

D=α/ωo Dämpfungsgrad 

AW für y(0), y‘(0) 

a = 2 α, b = ω 

2 

0 

ω = ω − α , ω = 

ω = 

2 2 

d 0 0 d α 0 

2006-04-11 26

Beispiele 

� Parallelschwingkreis, RLC Schwingkreis 

� Bandpaß 2. Ordnung 

2006-04-11 27

Lösungen der homogenen DGL 2. Ordnung 

Homogene DGL 

2 

dyt () dyt () 2 

+ 2 α + ω0yt 

( ) = 0 

2 

dt dt 

durch Ansatz y(t) =K exp pt lösbar 

Charakteristische Gleichung 

Nullstellen (Wurzeln): 

Allgemeine Lösung 

(bei verschiedenen Nullstellen) 

p + 2αp+ ω = 0 

2 2 

0 

p =− α + α − ω , p =−α − α −ω 

2 2 2 2 

1 0 2 0 

y( t) = K exp( pt) + K exp( p t) 

1 1 2 2 

Anfangswerte: y(0), y‘(0) 

Die Konstanten sind durch die Anfangswerte bestimmt. 

Lösungseinteilung abhängig von Wurzel (d.h. vom Dämpfungsgrad D= a/ω o ,), 

2006-04-11 28

Lösungen (1) 

Lage der Wurzeln in 

der komplexen Ebene 

D 

Wurzeln 

Dämpfung 

Homogene 

Lösung 

D >1 

reell, verschieden 

überdämpft 

aperiodischer Fall 

zwei abklingende 

Exponentialfunktionen 

D =1 

reell, gleich 

kritisch gedämpft 

aperiodischer Grenzfall 

zwei schneller abklingende 

Exponentialfunktionen 

2006-04-11 29

Lösungen (2) 

Lage der Wurzeln in 

der komplexen 

Ebene 

D 

Wurzeln 

Dämpfung 

Homogene 

Lösung 

D

Netzwerke mit äußerer Anregung 

� bisher homogene DGL 2. Ordnung: 

2 

dyt () dyt () 2 

+ 2 α + ω0yt 

( ) = 0 

2 

dt dt 

durch äußere Anregung erhält man eine inhomogene DGL 

2 

dyt () dyt () 2 

+ 2 α + ω0y( 

t) = f( t) 

2 

dt dt 

� Netzwerk 2. Ordnung mit Spannungserregung 

DGL für i(t) 

2 2 

dit () dit () dut () dut () 

RLC + L + Ri() t = LC + RC 

2 2 

dt dt dt dt 

Homogener Teil Inhomogener Teil 

Anfangswerte: y(0), y‘(0) 

Zur vollständigen Lösung benötigt man i(0) und di(0)/dt 

i (t) 

u (t) 

2006-04-11 31

Berücksichtigung der Anfangswerte 

� DGL des Netzwerkes 

2 2 

dit () dit () dut () dut () 

RLC + L + Ri() t = LC + RC 

2 2 

dt dt dt dt 

Anfangswerte: i(0), i‘(0) 

� Wie findet man die Anfangswerte i(0), i‘(0)? 

– Anfangswerte stecken in Energiespeichern 

(Kondensatorspannung bzw. Spulenstrom) 

(Vorgeschichte des Netzwerkes) 

– Netzwerkanalyse mit diesen Anfangsbedingungen zur Bestimmung von 

i(0) und di(0)/dt -> umständlich, aufwendig 

� Ergebnis: Beschreibung durch DGL in obiger Form ungünstig für die 

Analyse, bessere Verfahren notwendig: 

– Beschreibung des Netzwerkes im Zustandsraum 

– Beschreibung im Frequenzbereich 

i (t) 

u (t) 

2006-04-11 32









2006-04-11 33

Netzwerkdifferentialgleichung -- Allgemeiner Fall 

� Die Netzwerklösung y(t) (Netzwerkströme, -spannungen) eines linearen 

NW mit zeitunabhängigen NWE bei Anregung mit einem Signal x(t) 

gehorcht einer DGL mit konstanten Koeffizienten 

n n−1 m m−1 

d y() t d y() t d x() t d x() t 

n + n n−1 + n 1 0 = m + − m m−1 

+ m−1 

0 

a a ... a y( t) b b ... b x( t) 

dt dt dt dt 

Netzwerkreaktion auf Anregung 

– Koeffizienten a n ..a 0, b n ..b 0 nur von NWE bestimmt 

– Erregungsfunktion x(t) hängt von NWE und den Quellen der Schaltung ab 

� Alle linearen NW-DGLn haben Gemeinsamkeiten: 

– partikuläre und homogene Lösungen 

– Abhängigkeit der Lösung von Anfangswerten 

Anregung (bekannt) 

n Ordnung der DGL 

exp( ) λ 

dy dy 

y(0), 

, , 

dt dt 

– Wurzeln der charakteristischen Gleichung ( ), Eigenschwingungen 

des Systems 

i t 

n−1 

(0) (0) 

K n−1 

2006-04-11 34

Lösung der homogenen DGL 

n 

d y() t 

n−1 

d y() t 

n n n−1 n−10 

n 

� a + a + ... a y( t) = 0 oBd . . . A. a = 1 

n−1 

dt dt 

AW dy(0) dy (0) 

y(0), 

, K, 

n−1 

dt dt 

� Bestimmung der Nullstellen charakteristischen Polynoms 

(Vielfachheit beachten) 

n n−1 

a λ + a λ + ... a λ = 0 

� Basislösungen ϕ1 K ϕ angeben 

exp( λt), texp( λt), K 

k−1 

t exp( λt), 

, , n 

– k-fache reelle Nullstelle 

– konjugiert komplexe Paar k-facher Nullstelle 

k−1 

exp( αt)cos( βt), texp( αt)cos( βt), K, 

t exp( αt)cos( βt), 

� Gesamtlösung 

n 

yt () kϕ 

= ∑ 

i = 1 

i i 

n n−1 

0 

k −1 

exp( αt)sin( βt), texp( αt)sin( βt), K t exp( αt)sin( βt), 

die Konstanten k i werden aus den Anfangswerten bestimmt 

1 1 

bzw. 

λ α 

i i 

sind die Zeitkonstanten des Netzwerkes 

2006-04-11 35

Impulsantwort 

� Anregung des Netzwerkes mit einem Diracstoß und Berechnung der 

Systemantwort 

n n−1 m m−1 

d y() t d y() t d δ() t d δ() 

t 

n + n n−1 + n 1 0 = m + − m m−1 

+ m−1 

0 

a 

dt 

a 

dt 

... a y( t) b 

dt 

b 

dt 

... b δ ( t) 

AW 

n−1 

dy(0) dy (0) 

y(0), 

, K, 

n−1 

dt dt 

� Berechnung der Lösung -> Impulsantwort (Nullzustand) y(t) = h(t) 

� Netzwerkreaktion auf beliebige Anregung x(t): 

∞ ∞ 

y() t = x( τ) h( t − τ) dτ = h( τ) x( t − τ) dτ = h() t ∗x() 

t 

∫ ∫ 

−∞ −∞ 

� Darstellung der Systemantwort durch Faltungsintegral der 

Netzwerkerregung mit der Impulsantwort des Netzwerkes! 

– Impulsantwort des Netzwerkes muss bestimmt werden! 

2006-04-11 36

Grad eines Netzwerkes 

� Bisher wurde stets angenommen, dass eine Differentialgleichung der 

Ordnung n ein Netzwerk mit n unabhängigen dynamischen Elementen 

beschreibt und n Anfangswerte gegeben sind: 

n n−1 m m−1 

d y() t d y() t d x() t d x() t 

an + a 1 ... 1 0 ( ) 1 ... 1 

0 ( ) 

n n− + a y t = bm + b n m m− 

+ b x t 

− m− 

dt dt dt dt 

n−1 

dy(0) dy (0) 

AW y(0), 

, K, 

n−1 

dt dt 

� Was bedeutet aber: unabhängiges dynamisches Element? 

� Beispielnetzwerk: 

Maschengleichung 

Kondensatormasche, bzw. 

Knotengleichung Schnittmenge 

vg= v + v 

0 = i + i 

2 6 

5 9 

Anfangswerte für v 2 und v 6 bzw. 

i 5 und i 9 können nicht unabhängig 

voneinander gewählt werden ! 

2006-04-11 37

Grad eines Netzwerkes 

� Ordnung der Netzwerkdifferentialgleichung = 

Zahl der dynamischen Elemente – 

Zahl der Kondensatormaschen – 

Zahl der Induktivitätsschnittmenden 

� Ordnung der Netzwerkdifferentialgleichung = Zahl der unabhängig 

wählbaren Anfangswerte der Differentialgleichung 

� Beispielnetzwerk: Ordnung = 5 – 1 – 1 = 3 

2006-04-11 38









2006-04-11 39

Zustandsbeschreibung 

� Jede DGL der Ordnung n kann geschrieben werden als 

System von DGLn der Ordnung 1 (z.B. Direktform II) 

i i 

dyt () dxt () 

αi = βi 

x() t 

i i 

dt dt 

n m 

∑ ∑ 

i= 0 i= 

0 

a = α , b 

= β 

i n−i i n−i � In Netzwerken: Kondensatorspannungen und Spulenströme 

beschreiben den Zustand des Netzwerkes vollständig! 

� Formulierung der Netzwerkdifferentialgleichung in diesen Größen 

� Die kanonischen Normalformen (Direktformen) sind dafür nicht 

ausreichend 

2006-04-11 40

Zustandsbeschreibung (2) 

� Zustandsbeschreibung bei Erregung mit Signal e(t) und 

Ausgangssignal y(t) 

dx() t 

= Ax() t + Be() 

t 

dt 

y() t = Cx() t + De() 

t 

Anfangswerte x(0) gegeben (keine Ableitungen der AW notwendig!) 

� Lösung der Differentialgleichung 

x( t) = exp( At) x(0) + exp( At) exp( −Aτ) 

Be( 

τ) dτ 

y() t = Cx() t + De() 

t 

– Matrixexponentialfunktion über Taylorreihe definiert 

t 

∫ 

0 

2006-04-11 41


� Aus Kirchhoffschen Gleichungen folgte nach Wahl eines Baumes: 

⎛−MB⎞ UZ = ⎜ ⎟UB 

⎝ 1 ⎠ 

� Folglich müssen: 

⎛ 1 

IZ = ⎜ 

⎝−KV ⎞ 

⎟IV 

⎠ 

– alle Kondensatoren in Baumzweigen und 

– alle Spulen in Verbindungszweigen liegen 

� Mit Kirchhoffschen Gleichungen Kondensatorströme und 

Spulenspannungen durch die I V und U B ausdrücken 

� Restliche Zweiggrößen, die keine Zustandsgrößen, sind eliminieren 

⎛ duC() t ⎞ 

⎜C dt 

⎟ ⎛u() q() 

t 

C t ⎞ ⎛u⎞ ⎜ ⎟= A⎜ + ⎜ 

d () () 

q() 

t 

⎟ 

L t 

L t 

⎟ B 

⎜ i ⎟ ⎝ i ⎠ ⎝i⎠ ⎜ L ⎟ 

⎝ dt ⎠ 

beschreibt Dynamik 

⎛u() q() 

C t ⎞ ⎛u t ⎞ 

y = C⎜ + ⎜ 

() 

q() 

t 

⎟ 

L t 

⎟ D 

⎝ i ⎠ ⎝ i ⎠ 

Ausdrücken der gewünschten NW- 

Größe durch Zustände und Quellen 

2006-04-11 42

Zustandsbeschreibung (Herleitung 1) 

� Aus Kirchhoffschen Gleichungen folgte nach Wahl eines Baumes: 

⎛−MB⎞ ⎛ 1 ⎞ 

UZ = ⎜ ⎟UB 

IZ = V 

⎝ 1 

⎜ ⎟I 

⎠ 

⎝−KV⎠ � Annahme: 

– alle Kondensatoren in Baumzweigen und 

– alle Spulen in Verbindungszweigen liegen 

– Widerstände und Quellen in Baum- und Verbindungszweigen erlaubt 

� Aufteilung der Spannungs- und Stromvektoren 

⎛UVL ⎞ 

⎛IVL ⎞ 

⎜ ⎟ 

= ⎜ 

U 

⎜ ⎟ 

VR 

U ⎟ 

⎜ 

IVR 

Z 

I ⎟ 

Z = 

⎜U⎟ ⎜ ⎟ 

BC 

IBC 

⎜ ⎟ 

⎜ ⎟ 

⎝UBR ⎠ 

⎝IBR ⎠ 

2006-04-11 43


� Aufstellen der Kirchhoffschen Gleichungen und 

Elementebeziehungen in einem Gleichungssystem 

(Aufteilung der Maschenmatrix in 4 Teilmatrizen) 

⎛ 1 Mb11 Mb12 

⎞ 

⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

⎜ 

1 M VL 

b21 M 

U 0 

b22 

⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

T T 

⎜ −M − ⎟⎜ 

VR 

b11 Mb21 1 U 

⎟ ⎜ 

0 

⎟ 

⎜ T T ⎟⎜ − − 

⎟ ⎜ ⎟ 

⎜ 

Mb12 Mb22 1 UBC 

0 

⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

⎜ d 

⎟⎜ 

UBR ⎟ = ⎜ 

0 

⎟ 

⎜−1 L 

⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 

⎜ 

dt 

IVL 

EU 

⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

⎜ −1 

R 

⎟⎜ IVR ⎟ ⎜EU2⎟ ⎜ 

d 

⎟⎜ I ⎟ ⎜ ⎟ 

BC EI3 

⎜ C −1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

⎜ dt 

⎟⎝ I ⎟ 

BR ⎠ ⎝EI4⎠ ⎜ 

− 

⎟ 

⎝ G 1⎠ 

Elimination aller Variablen außer den Zustandsvariablen 

2006-04-11 44


� Zeile 1 zu Zeile 5, Zeile 2 zu Zeile 6, Zeile 3 zu Zeile 7 und Zeile 4 

zu Zeile 8 addieren 

⎛1 Mb11 Mb12 

⎞ 

⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ 

⎜ 

1 Mb21 M 

U 

22 

VL 0 ⎞ 

b 

⎟⎜ ⎟ ⎜ 

T T 

⎜ − − ⎟⎜ 

U 

11 21 

VR ⎟ ⎜ 

0 

⎟ 

Mb Mb 1 

⎟ 

⎜ T T ⎟ 

− − 

⎜ ⎟ ⎜ 

⎜ 

Mb12 Mb22 1 UBC 

0 ⎟ 

⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

⎜ d 

⎟⎜ UBR ⎟ = ⎜ 

0 

⎟ 

⎜ Mb11 Mb12 L 

⎟⎜ ⎟ ⎜ 1 

⎜ 

dt 

IVL 

E ⎟ U 

⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

⎜ Mb21 Mb22 R ⎟⎜ IVR ⎟ ⎜EU2⎟ ⎜ 

d 

⎟⎜ ⎟ 

T T I ⎜ 

⎜ − − ⎟ BC E ⎟ 

I3 

C Mb11 Mb21 

⎜ ⎟ 

⎜ dt 

⎟ ⎟ ⎜ 

⎝ I ⎜ ⎟ 

BR ⎠ ⎝E 

⎟ 

I 4 ⎠ 

⎜ T T 

− − 

⎟ 

⎝ G Mb12 Mb22 

⎠ 

2006-04-11 45


� Auffinden eines in sich lösbaren Teilsystems: 

⎛ d ⎞ 

⎜Mb11 Mb12 L 

dt 

⎟⎛UBC ⎞ ⎛EU1⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

⎜Mb21 Mb22 R ⎟⎜ UBR ⎟ = ⎜ 

EU2⎟ 

⎜ d 

⎟⎜ T T I ⎟ ⎜ ⎟ 

VL 

EI3 

⎜C −Mb11 −Mb21⎟⎜ 

⎟ ⎜ ⎟ 

⎜ dt 

⎟⎝ IVR ⎠ ⎝EI4⎠ ⎜ T T 

− − ⎟ 

⎝ G Mb12 Mb22⎠ 

2006-04-11 46


� Umsortieren Variablenbezeichnung: 

⎛ d 

T T ⎞ 

⎜C −Mb11 −Mb21 

dt 

⎟⎛UBC ⎞ ⎛EI3⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

⎜ d 

⎟⎜ IVL 

⎟ = ⎜ 

EU1 

M ⎟ 

b11 L Mb12 

⎜ dt 

⎟⎜U ⎟ ⎜ ⎟ 

BR EU2 

⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

⎜ 

Mb21 Mb22 R 

⎟⎝ IVR ⎠ ⎝EI4⎠ ⎜ T T 

− − ⎟ 

⎝ Mb12 G Mb22 

⎠ 

zu eliminieren sind jetzt noch die Baumzweigspannungen der Widerstände und die 

Verbindungszweigströme der Widerstände 

(1) 

2006-04-11 47


� Umsortieren Variablenbezeichnung: 

⎛Mb22 R ⎞⎛UBR ⎞ ⎛EU2⎞ ⎛Mb21 ⎞⎛UBC 

⎞ 

⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟− T 

− 

⎜ T 

− 

⎟⎜ 

⎟ 

⎝ G Mb22 ⎠⎝ IVR ⎠ ⎝EI4⎠ ⎝ Mb12 

⎠⎝ 

IVL 

⎠ 

Auflösen nach IVR ⎛Mb22 ⎜ 

⎝ 

R ⎞⎛UBR ⎞ ⎛ 

= −1 T 

R+ M 

⎟⎜ ⎟ ⎜ 

b22G Mb22 ⎠⎝ IVR ⎠ ⎝EU2 EU2⎞ ⎛Mb21 − 

−1 −M 

⎟ ⎜ 

b22G EI4⎠ ⎝Mb21 ⎞⎛UBC 

⎞ 

−1 

T 

M 

⎟⎜ 

⎟ 

b22G Mb12 

⎠⎝ 

IVL 

⎠ 

−1 T 

−1 

−1 −1 

T 

( + 22 22 ) ( 2 − 22 4 21UBC − M 22 12 VL ) 

I = R M G M E M G E −M 

G M I 

VR b b U b I b b b 

Auflösen nach U BR 

T −1 T −1 

T −1 

T 

⎛G+ M ⎞⎛ ⎞ ⎛ + ⎞ ⎛ − ⎞ 

b22 R M U 

b22 BR Mb22 R EU2EI4Mb22R Mb21 M 12 ⎛U b 

BC 

⎞ 

⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟− 

T ⎜ T ⎟⎜ 

⎟ 

⎝ G −Mb22 ⎠⎝ IVR 

⎠ ⎝ EI 

4 ⎠ ⎝ −Mb12 

⎠⎝ 

IVL 

⎠ 

T −1 −1 

T −1 T −1 

T 

( 22 22 ) ( 22 2 4 22 M 

21U 12 I ) 

U = G+ M R M M R E + E − M R + M 

BR b b b U I b b BC b VL 

2006-04-11 48


� Einsetzen von Gl (2), (3) in (1): 

und Verwendung der Abkürzungen 

dann folgt 

( ˆ −1 −1 −1 

( UBC − 

IVL 

) ) 

⎛ d 

⎜C ⎝ dt 

− M 

⎞⎛UBC 

⎞ 

⎟⎜ 

⎟ = E 

⎠⎝ IVL 

⎠ 

+ M R E −M G E −M 

M G M 

⎛ 

⎜M 

⎝ 

d ⎞⎛UBC 

⎞ 

L ⎟⎜ 

⎟ = E 

dt ⎠⎝ IVL 

⎠ 

− Mb G Mb R EU + EI −Mb 

T T T 

b11 I3b21U2b22I4b21 b22 b12 

( ˆ −1 T −1 T −1 

T 

( R Mb UB+ Mb 

I ) ) 

b11 U11222 2 4 22 21 C 12 VL 

−1 

T 

( b22 b22 

) 

T −1 

( b22 b22 

) 

Rˆ= R+ M G M 

Gˆ= G+ M R M 

⎛ d 

⎜C dt 

⎜ 

⎜ 0 

⎝ 

⎞ 

0 ⎟ T −1 ⎛U ⎞ ⎛ − ˆ 

BC Mb21 R Mb21 ⎟⎜ ⎟ = ⎜ 

d ⎜ − − 

⎟⎝ I ⎠ ⎝− + ˆ 1 T 1 

VL 

L 

Mb11Mb12G Mb22R Mb21 ⎟ 

dt ⎠ 

T T −1 −1 

− ˆ 

T 

M ⎞ 

b11 Mb21R Mb22G Mb12 

⎛UBC ⎞ 

⎟ 

−1 

⎟⎜ 

⎟ 

− ˆ T 

Mb12G M 12 ⎠⎝ 

I 

b 

VL 

⎠ 

⎛0 + ⎜ 

⎝1 T ˆ −1 Mb21R −1 −1 − ˆ T 

Mb12G Mb22 R 

1 

0 

⎛EU1⎞ T −1 −1 

−M 

ˆ ⎞ 

b21 R Mb22G ⎜ ⎟ 

⎟⎜ 

EU 

2 ⎟ 

−1 

−M 

ˆ 

b12G 

⎟⎜ ⎟ 

⎠ 

EI3 

⎜ ⎟ 

⎝EI4⎠ 2006-04-11 49

Zustandsbeschreibung – Alternative Betrachtung 

� Herausziehen der dynamischen Elemente aus dem Netzwerk und 

Formulierung einer geeigneten (Hybrid)-Mehrtordarstellung: 

⎛ IC ⎞ ⎛UC ⎞ ⎛EU ⎞ 

⎜ ⎟ = H1⎜ ⎟+ H2⎜ 

⎟ 

⎝UL⎠ ⎝ IL ⎠ ⎝EI ⎠ 

� Im Falle von Zweitoren sind z.B. eine 

sinnvoll 

Leitwert- Widerstands- oder Hybriddarstellung 

2006-04-11 50


� Besonderheiten bei elektrischen Netzwerken: 

– nicht immer können alle Kondensatoren im Baum bzw. alle Spulen in 

Verbindungszweigen liegen! 

– In den Zustandsgleichungen treten 

auch Ableitungen des Eingangssignals auf! 

dx() t de() t 

= Ax() t + B1e() t + B2 

dt dt 

de() t 

y() t = Cx() t + De 1 () t + D2 

dt 

Mit x() t = x() t + B e() 

t folgt 

dx() t 

= Ax() t + ( B1+ AB2) e() 

t 

dt 

2 

( ) 

y() t = Cx() t + D + CB e() t + D 

1 2 2 

de() t 

dt 

Anfangswerte müssen 

die KHG erfüllen 

2006-04-11 51

Zustandsbeschreibung - Beispiel 

Quelle: Balabanian, Bickart: Electrical Network Theory, Wiley 

2006-04-11 52

Zustandsbeschreibung - Beispiel 

2006-04-11 53

Zustandsbeschreibung - Deskriptorsysteme 

� Die lineare Abhängigkeit zwischen Zustände oder deren 

Ableitungen kann man durch sog. Deskriptorsysteme erfassen: 

dx() t 

E = Ax() t + Be() 

t 

dt 

y() t = Cx() t + De() 

t 

� Die Matrix E nicht singulär, so erhält man nach Linksmultiplikation 

des ersten Gleichung mit E -1 die bekannte Form der 

Zustandsbeschreibungen 

2006-04-11 54

6. Netzwerke im Frequenzbereich 

� Laplace-Transformation 

� Transformation der Netzwerkdifferentialgleichung 

� Netzwerkberechnung 

� Netzwerkfunktion 

� Frequenzgang 

� Spezielle Netzwerkfunktionen 

2006-04-11 1

Netzwerkanregungen 

� Statt der Netzwerkanalyse im Zeitbereich (und Lösung der 

Netzwerkdifferentialgleichung) können die DGLn auch in den sog. 

„Frequenzbereich“ transformiert werden 

– Übergang zu algebraischen Gleichungen (im komplexen) 

� Abhängig von der Netzwerkanregung gibt es verschiedene Verfahren 

zur Netzwerkanalyse 

– Periodische Anregung 

� Komplexe Wechselstromrechnung 

– Nichtperiodische Anregung 

� Laplacetransformation 

� Fourierintegral 

� Hier: Benutzung der Transformation zur Beschreibung des Netzwerkes 

und nicht einer (beliebigen) Netzwerkanregung 

� Trennung der Netzwerkbeschreibung von der Signaltheorie 

2006-04-11 2

Fourierintegral 

� Fourierintegral einer Funktion f(t) 

komplexes Amplitudenspektrum der Funktion f(t), meßbar 

� Rücktransformation 

{ } 

Fj ( ω) = FTft () = ∫ ft ()exp− 

jωtdt ∞ 

−∞ 

∞ 

−1 

1 

f( t) = FT { F( jω) } = F( jω)exp jωtdt 2π 

∫ 

−∞ 

∞ 

∫ 

−∞ 

ft () dt 

Laplace-Transformation 

� Definition 

∞ 

Abbildung zwischen Originalraum (f(t)) und Bildraum (F(s)) 

� Abbildung einer Zeitfunktion in Funktion in der komplexen Ebene 

� Notation: 

−st 

st 

−1 

∫ { } ft () = ∫ Fseds ( ) = LT{ Fs ( ) } 

Fs ( ) = fte () dt= LTft () 

0 

1 

2π 

j 

σ +∞ j 

σ −∞ j 

Laplace- (Hin) -Transformation Laplace - (Rück) -Transformation, 

Umkehrintegral 

LT 

LT ILT 

⎯⎯→ , ft () ⎯⎯→Fs ( ), Fs ( ) ⎯⎯⎯→ 

ft () 

� Bezeichung: Korrespondenz bezeichnet ein Transformationspaar 

f(t) und F(s) 

2006-04-11 4

Existenz der Transformation 

� Bedingung für die Existenz des Integrals 

∞ 

−Re( 

st ) 

∫ ft () e dt 

0 

Eigenschaften der Laplace-Transformation 

∞ 

−st 

−st 

∫ { } Fs ( ) = fte () dt= LT{ ft () } 

Fs ( ) = fte () dt= LTft () 

0 

∞ 

∫ Konvergenzbereich 

−∞ 

2006-04-11 6

Korrespondenzen Laplace-Transformation 

δ(t) 1 

2006-04-11 7

Rücktransformation 

� Formal mit Hilfe des Integralsatzes von Cauchy 

(Q(s) besitzt Singularität bei s 0 , 

F(s) besitzt keine Singularität) 

( ) 

F s sds 

Q( s) ds = = 2π 

jF s 

s−s ! ∫ ! ∫ 

W W 

� und dem Residuensatz 

1 

2π j W 

∫! 

W 

Q( s) ds = 2 j∑R µ 

N 

π 

µ = 1 

0 

∫! 

µ 

( ) 

( ) 

0 

Q s ds = R 

µ 

2006-04-11 8

Rücktransformation - rechnerisch 

� Es folgt für die Rücktransformation 

mit 

σ +∞ j 

1 

st 

−1 

() = ( ) ( ) 

2π 

j ∫ = 

σ −∞ j 

N 

µ = 1 

{ } 

ft Fseds LT Fs 

= 

∑ 

R 

µ 

( ( )( k ) ( ) ) 

R = lim F s s−s exp st 

µ 

s→s k 

n−1 

1 d 

Rµ = lim F s s−s exp st 

s→s n−1 

k n−1! ds 

( 

n 

( )( ) ( ) ) 

k 

(vorausgesetzt der Integrationsweg in der linken Halbebene mit unendlichem Radius 

trägt nichts bei) 

2006-04-11 9

Rücktransformation - tabellarisch 

� Zerlegung einer Funktion F(s) in Elementarfunktionen, die in einer 

Korrespondenzentabelle nachgeschaut werden können 

� Im weiteren nur rationale Funktionen 

(Netzwerke mit konzentrierten Elementen) 

Fs ( ) = ∑ 

∑ 

� Partialbruchzerlegung (beachte die Vielfachheit der Pole!) 

– Wenn Grad (A) = Grad(B) 

m i 

as 

i = 0 i 

n i 

bs 

i = 0 i 

n−1 i 

cs 

i = 0 i 

n i 

i = 0 i 

As ( ) Cs ( ) 

Fs ( ) = = α + = α + 

Bs ( ) Bs ( ) 

bs 

∑ 

∑ 

mit 

a 

α = 

b 

n 

n 

2006-04-11 10

Partialbruchzerlegung 

Fs ( ) 

K K K1n 

L 

s−s s−s s−s 11 12 

1 

= + + + n1 

2 

( ) ( ) 

1 1 1 

K K 

K 

s − s s−s s−s 21 22 

2n 

L 2 n2 

2 ( 2) ( 2) 

2 

+ + + 

L 

Kr1 K 

K 

r2 

rn 

+ + L 

s − s s−s s−s 2 

( ) ( ) 

r r r 

(andere K ij entsprechend) 

r 

n 

r 

Mit 

(Zählergrad < Nennergrad) 

( ) 

K = s−s F s 

1 

lim ( ) 

1n11 s→s 1 

d 

n1 

K1n( ) 

1−1 

= lim s−s1 F( s) 

s→s1ds L 

n −1 

d 

K11 = ( s−s1) F s 

ds 

n 

1 

n1 

lim ( ) 

s→s n1−1 

1 

2006-04-11 11

Rücktransformation - tabellarisch 

� Termweise Rücktransformation (Nutzung der Linearität) 

K11 Fs ( ) = 

s−s + 

K12 

s−s + L 2 

K1n1 

s−s + n1 

( ) ( ) 

1 1 1 

K K 

K 

s − s s−s s−s 21 22 

2n 

L 2 n2 

2 ( 2) ( 2) 

2 

+ + + 

L 

Kr1 K 

K 

r2 

rn 

+ + L 

s − s s−s s−s 2 

( ) ( ) 

r r r 

r 

n 

r 

ft ( ) = K exp( st) + K texp( st) + LK( L)exp( 

st) 

+ 

11 1 12 1 1n 1 

K exp( s t) + K texp( s t) + LK ( L)exp( 

s t) 

+ 

21 2 22 2 2n 2 

L 

K exp( s t) + K texp( s t) + LK ( L)exp( 

s t) 

r1 r r2 r rn r 

1 

r 

2 

2006-04-11 12

Für Netzwerke wichtige Eigenschaften der LT 

Verschiebung in der Frequenzebene 

� Linearität 

� Multiplikation mit einer komplexen Exponentialfunktion im Zeitbereich 

bedingt eine Frequenzverschiebung der Laplace-transformierten (auch 

als Dämpfungs- oder Modulationssatz bezeichnet) 

� Beispiel: 

– Sprungfunktion 

– Sinusfunktion 

( ) LT 

αft () + βgt () ⎯⎯→ ( αFs ( ) + 

βGs 

( ) ) 

at LT 

ft () ⋅e⎯⎯→Fs ( −a) 

LT 1 

st () ⎯⎯→ 

s 

at LT 1 

st () ⋅e⎯⎯→ s−a at LT ωo 

ft () = st () ⋅e⋅sin ( ωot) 

⎯⎯→ , 2 2 

( s− a) 

+ ω 

a< 

0 

� Bedeutung: Dämpfung eines Zeitsignals durch Polverschiebung 

o 

2006-04-11 13


Integration 

� Integration 

t ∞ t 

⎧ ⎫ 

LT ⎨∫f( τ) dτ⎬= ∫∫f( 

τ) dτ exp( − st) dt = 

⎩0 ⎭ 0 0 

� Beachte: f(t) wird für t < 0 nicht betrachtet 

� Anfangswerte dürfen aber nicht verloren gehen! 

� Beispiel Kondensator (Induktivität analog) 

1 

uC() t = σ() t uC(0) + ∫ i( τ) dτ 

C 

t 

0 

Fs ( ) 

s 

1 1 1 

UC( s) = uC(0) + 

I( s) 

s C s 

2006-04-11 14


Differentiation, Integration 

� bei kausalen Signalen entfällt der linke Signalverlauf (bei Einschaltvorgängen) 

� Einschalten des Systems bei t=0, f(t) springt und Differenzierbarkeit 

nicht gegeben. 

� Ansatz: partielle Integration von (f für t>0 differenzierbar!) 

∞ ∞ 

⎛df () t ⎞ −st −st ∞ 

−st 

⎜ e dt= fte () + s fte () dt 

dt 

⎟ 

⎝ ⎠ 14243 

14243 

∫ ∫ 

0 

0 

f (0) 

0 

df () t LT 

⎯⎯→sF( s) − f (0) 

dt 

sF ( s ) 

Differentiationssatz 

(einseitige LT) 

Höhere Ableitung (fortgesetzte Anwendung des Differentiationssatzes) 

Bedingung: 

−st fte () →0 fürt→∞, st 

daher f () t e 0 

− 

dft d ft d ft dft 

sFs ( ) s .. s s f(0) 

dt dt dt dt 

n 

() LT 

⎯⎯→ n 

n 

− 

n−1 () 

n−1 − 

n−2 

() 

n−2 

− 

n−2 () 

− 

n−1 

t= 0 t= 

0 

t = 0 

t =∞ = 

2006-04-11 15








2006-04-11 16

Transformation der Tableaugleichungen 

� Aus Kapitel 3: Gleichungssystem zur Berechnung eines Netzwerkes 

(mit Gleichgrößen) 

⎛K 0⎞ ⎛0⎞ ⎜ ⎟⎛ Iz ⎞ ⎛ Iz 

⎞ 

0 M = = 

⎜ ⎟ 

⎜ ⎟⎜ ⎟ T⎜ ⎟ 0 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

⎜ ⎟ 

⎜ ⎟ Uz Uz 

⎜ ⎟ 

⎝AB⎠ ⎝E⎠ � Das Gleichungssystem kann wegen der Linearität und Zeitinvarianz in 

den Frequenzbereich transformiert werden 

� Offen: Was passiert mit den Schaltelementen? 

2006-04-11 17

Elementebeziehungen: Widerstände, Quellen 

� Lineare Netzwerkelemente werden durch 2 z lineare Gleichungen 

beschrieben 

I z 

R 

U z 



( ) ⎛ ⎞ Iz 

A B ⎜ ⎟ = E 

⎝Uz⎠ I z 

Vektor E enthält die 

Erregungen (Quellen) 

E enthält alle 

bekannten Größen! 

RIzi − U zi 

= 0 I + U = U I + 0U 

= I 

U z 

U q 

0 zi zi qi 

I z 

U z 

I q 

zi zi qi 

2006-04-11 18

Elementebeziehungen: Kondensatoren, Spulen 

� Lineare Netzwerkelemente werden durch 2 z lineare Gleichungen 

beschrieben 

I z 



Zeitbereich 

Frequenzbereich 

d 

izi () t − C uzi() t = 0 

dt 

C 

U z 

I s CsU s u 

I z 

L 

U z 

d 

L izi () t − uzi() t = 0 

dt 

zi ( ) − zi( ) = − zi(0) 

LsIzi s − Uzi s = izi 

( ) ( ) (0) 

2006-04-11 19

Berücksichtigung der Anfangswerte – Zeit- u. Frequenzbereich 

� Es gibt verschiedene Möglichkeiten Anfangswerte bei der 

Schaltungsanalyse zu berücksichtigen 

1 2 1 2 

Beachte: 

Quellen werden 

erst bei t 

≥ 0 

wirksam 

2006-04-11 20

Transformation der Netzwerkdifferentialgleichung 

� Betrachtet man nur das Übertragungsverhalten eines Netzwerkes 

(Impulsantwort), so nimmt man verschwindende Anfangswerte 

der Zustandsgrößen an (keine Energie im Netzwerk gespeichert) 

� Ersetzen der dynamischen Elemente durch komplexe Widerstände 

(Impedanzen, Admittanzen) 

C 

� Transformation der Quellen in den Frequenzbereich 

Anfangswerte treten als Quellen auf! 

1 

sC 

L sL 

� Das in den Frequenzbereich transformierte Netzwerk kann wie ein 

Netzwerk aus ohmschen Widerständen und Quellen behandelt 

werden! 

2006-04-11 21

Transformation der Tableaugleichungen 

� Zusammenfassung der Transformation der Netzwerkelemente in den 

Frequenzbereich und Berücksichtigung der Anfangswerte: 

⎛ K 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ 

⎜ ⎟⎛ Iz ⎞ ⎛ Iz 

⎞ 

0 M = = 

⎜ ⎟ 

⎜ ⎟⎜ ⎟ T⎜ ⎟ 

0 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

⎜ ⎟ 

⎜ + + ⎟ Uz Uz 

⎜ + + ⎟ 

⎝A0s A1 B0s B1⎠ ⎝E A0vC(0) B0il(0) ⎠ 

� Wegen der Linearität folgt für die Lösung der Zweigvariablen das 

Überlagerungsprinzip (vgl. oben) 

⎛ 0 ⎞ ⎛0⎞ ⎛ 0 ⎞ 

⎛ Iz 

⎞ −1⎜ ⎟ −1⎜ ⎟ −1 

= = + 

⎜ ⎟ 

⎜ ⎟ T 0 T 0 T 0 

⎝U⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

z ⎜ + + ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ + ⎟ 

⎝E A0vC(0) B0il(0) ⎠ 14243 ⎝E⎠ 14444244443 

⎝A0vC(0) B0il(0) ⎠ 

Nullzustandslösung Nulleingangslösung 

2006-04-11 22


� Netzwerkdifferentialgleichungen für Impulsantwort (s. Kap. 5) 

n n−1 m m−1 

d y() t d y() t d δ() t d δ() 

t 

n + n n−1 + n 1 0 = m + − m m−1 

+ m−1 

0 

a a ... a y( t) b b ... b δ ( t) 

dt dt dt dt 

bzw. Zustandsmodell 

dx() t 

= Ax() t + Be() 

t 

dt 

y() t = Cx() t + De() 

t 

� Zur Transformation in Frequenzbereich wird Linearität und 

Zeitinvarianz genutzt 

� Netzwerkdifferentialgleichung in Frequenzebene 

sX( s) − x(0) = AX( s) + BE( 

s) 

Y( s) = CX( s) + DE( 

s) 

Beachte: 

Anfangswert mit enthalten 

2006-04-11 23


� Netzwerkfunktion ist für Netzwerke mit konzentrierten Elementen eine 

gebrochen rationale Funktion in s (verschwindende AW) 

n n−1 m m−1 

d y() t d y() t d δ() t d δ() 

t 

an + an 1 ... a 1 0y( t) bm bm 1 ... b 1 

0 ( t) 

n − + = + δ 

n m − + 

− m− 

dt dt dt dt 

Fs ( ) = ∑ 

∑ 

m i 

as 

i = 0 i 

n i 

bs 

i = 0 i 

� Koeffizienten hängen von den Bauelementewerten ab 

� Beispiel eines nichtrational gebrochenen Elementes Verzögerungsglied 

gt () δ ( t t) 

Dirac entspricht 

der „1“ im 

Frequenzbereich 

= − 0 Gs = −st0 

( ) exp( ) 

dx() t 

= Ax() t + Be() 

t 

dt 

y() t = Cx() t + De() 

t 

( 

−1 

( ) ) 

Y( s) = C s1− A B+ D E( 

t) 

2006-04-11 24








2006-04-11 25

Nulleingangs- und Nullzustandslösung 

� Lösung der Netzwerkdifferentialgleichung bestand aus 

Nullzustands- und Nulleingangslösung 

LT(Gesamtlösung) = LT(Nullzustandslösung)+LT(Nulleingangslösung) 

� Mit Faltungssatz folgt für Nullzustandslösung 

LT(Nullzustandslösung)= LT(Übertragungsfunktion) ! LT(Eingangsfunktion) 

mit transformierter Impulsantwort 

LT(Übertragungsfunktion) 

2006-04-11 26

Netzwerkberechnung Überblick 

2006-04-11 27

Netzwerkberechnung - Methodik 




� Jeweils Transformation der Gleichungen in den Frequenzbereich 

� Anfangswerte in die für die Analyseart geeignete Quelle umwandeln 

– Knotenspannungsanalyse -> Stromquelle 

– Maschenstromanalyse -> Spannungsquelle 

– Anfangswerte gehen in den Erregungsvektor ein (rechte Seite) 

Y( s) U( s) = I ( s) 

+ I 

Q AW 

Lösung eines Polynomgleichungssystems 

in s 

2006-04-11 28

Berechnung einzelner Netzwerkgrößen 

� Am Beispiel Knotenspannungsanalyse 

Y( s) U( s) = I ( s) + I = I ( s) 

Q AW E 

Berechnung der Knotenspannung U i (s) 

� Benutzung der Cramerschen Regel 

⎛y11 L y1i− 1 I1y1i+ 1 L y1n 

⎞ 

⎜ 

1 y21 y2i 1 I2y2i 1 y 

⎟ 

2n 

Ui( s) 

det⎜ 

L − + L 

= 

⎟ 

det Y( 

s) 

⎜ M M M M ⎟ 

⎜ ⎟ 

y L y I y L 

y 

⎝ n1 ni− 1 n ni + 1 

nn ⎠ 

� Typischerweise enthält der Stromvektor nur wenige Einträge 

� Man erhält rationale Funktionen in s als Lösungen 

2006-04-11 29

Determinantenberechnung 

� Laplacescher Entwicklungssatz, Kofaktorformel 

n 

i+ k 

det A = ∑aC 

mit C = ( −1) detM 

ik ik 

i = 1 

ik ik 

M ik bezeichnet die Untermatrix, die durch Streichen der Zeile i und 

Spalte k aus A ensteht 

Eingangsleitwert (Stromquelle in Knoten 1) ⎛y22 L y2n⎞ 

I1 y12 y1 

det 

⎜ ⎟ 

⎛ L n ⎞ 

⎜ 

M M 

⎟ 

⎜ 

1 0 y22 y 

⎟ ⎜ 

2n yn2y ⎟ 

nn 

U1( s) det⎜ 

L 

= ⎟ = I 

⎝ ⎠ 

1 

det Y( s) ⎜M M M ⎟ det Y( 

s) 

⎜ ⎟ 

0 y L 

y 

⎝ n2nn⎠ 2006-04-11 30








2006-04-11 31

Netzwerkfunktion 

� Netzwerkbeschreibung 

Quellenvektor 

Y( s) U( s) = I ( s) 

+ I 

⎛Is ( ) ⎞ 

⎜ 

0 

⎟ 

( s) 

= ⎜ ⎟ 

⎜ M ⎟ 

⎜ ⎟ 

⎝ 0 ⎠ 

Q AW 

Gesucht: Übertragungsverhalten von I nach U 2 

I 

Q 

( ) 

U = H s I s + H H K H I 

2 ( ) ( ) 1 2 

n AW 

H ist als Netzwerkfunktion (in s) definiert. Sie beschreibt das 

Übertragungsverhalten von I nach U2 � Die Netzwerkfunktion ist die Laplacetransformierte der Impulsantwort 

2006-04-11 32

Arten von Netzwerkfunktionen 

� Ursache und Wirkung werden an einem Tor betrachtet 

– Eingangsimpedanz (driving point impedance), -admittanz 

U 

I 

Zs ( ) 

Ys ( ) 

eingeprägter Strom eingeprägte Spannung 

Us ( ) 

Zs ( ) = 

Is ( ) 

U 

I 

Is ( ) 

Ys ( ) = 

Us ( ) 

2006-04-11 33

Arten von Netzwerkfunktionen 

� Ursache und Wirkung befinden sich an verschiedenen Toren 

U 

I 

– Übertragungsfunktionen 

I L 

U L 

U 

Transferimpedanz Transferadmittanz 

UL( s) 

IL( s) 

Is ( ) 

Us ( ) 

Spannungsübertragung Stromübertragung 

UL( s) 

IL( s) 

Us ( ) 

Is 

( ) 

I 

I L 

U L 

2006-04-11 34

Eigenschaften von Netzwerkfunktionen 

� Koeffizienten der Übertragungsfunktion sind reell, da sie nur von den 

Werten der Netzwerkelemente abhängen 

� Somit ist die Netzwerkfunktion reell, wenn s reell ist 

� Daraus folgt 

Für s = j ω gilt damit 

Fs ( *) = F*( s) 

F( − jω) = F *( jω) 

1 

Re ( F( − jω) ) = Re ( F( jω) ) = ( F( jω) + F( −jω) 

) 

2 

1 

−jIm F( − j ) = jIm F( j ) = F( j ) −F( −j 

) 

2 

F( jω) = F( −jω) 

( ω ) ( ω ) ( ω ω ) 

( F( j ) ) =− ( F( −j 

) ) 

ϕ ω ϕ ω 

Realteil gerade Funktion 

Imaginärteil ungerade Fkt. 

Betrag gerade Funktion 

Phase ungerade Funktion. 

� Pole bzw. Nullstellen sind entweder reell oder konjugiert komplex 

2006-04-11 35


� Faktorisierung in Nullstellen und Pole 

∑ 

m i 

Ps ( ) ps 

i= 0 i s−s01 s −s02 K s −s0m 

= = = 

n 

Q s i 

∑ qs 

s −sp1 s−sp2 K s−spn i = 0 i 

( )( ) ( ) 

Fs ( ) 

K 

( ) ( )( ) ( ) 

Vorfaktor K und Lage der Pole und 

Nullstellen (einschließlich Vielfachheit) 

beschreiben F vollständig 

� Q(s) heißt charakteristisches Polynom 

� Nullstellen von Q(s) sind die Eigenwerte bzw. 

Eigenschwingungen des Netzwerkes 

2006-04-11 36

Zweipolfunktionen 

� Netzwerk ohne gesteuerte Quellen 

� Matrixeinträge z.B. bei Maschenstromanalyse sind von der Form 

Z = jωL + R + 

ij ij ij 

1 

jωC � Somit gilt für eine Eingangsimpedanz 

Ps ( ) 1 P ( s) 

( ) ( ) 

2n 

Zs ( ) = = 

Qs sQ2n−2 s 

Grad 2 

wenn alle Maschen die drei Elemente enthalten 

Gradunterschied 1 

� Zeile und Spalte 1 von Z können Elemente vom Grad 0,1,2 

enthalten, d.h. P ist vom Grad 2n-2, 2n-1, 2n 

� somit Gradunterschied zwischen Zähler und Nenner +/-1 ! 

ij 

2006-04-11 37

Eingangsimpedanz bei nichtreziproken Schaltungen 

� Beispiel Positiv Impedanz Konverter 

ZZ 

Z ( s) = Z 

2 4 

E 

ZZ 3 5 

L 

verwendet man für Z 2 -Z 5 Induktivitäten oder Kapazitäten, dann gilt 

i 

Z ( s) ! 

s i =−2, −1, 

0,1, 2 

E 

Gradunterschied zwischen Zähler und Nenner größer als 1 möglich 

2006-04-11 38

Pole und Nullstellen 

� Lage der Nullstellen 

– Impedanzen und Admittanzen: beide Netzwerkfunktionen dürfen keine 

anklingenden Lösungen haben Z(s)=1/Y(s), also keine Nullstellen in der 

rechten Halbebene 

– Zweitorübertragungsfunktionen: beliebig in der komplexen Ebene 

(konjugiert komplex oder reell) 

� Lage der Pole 

– Aus der Partialbruchzerlegung und der Korrespondenz 

folgt: 

at LT 1 

st () ⋅e⎯⎯→ s−a Pole müssen in der linken Halbebene liegen (Re(a)

Pole und Nullstellen 

� Betrag der Funktion 

s − 2 

Gs ( ) = 

( s + 1− 2 j)( s + 1+ 2 j) 

Betrag auf imaginärer Achse von s 

2006-04-11 40

Übertragungsnullstellen 

� Interpretation und Erzeugung von Übertragungsnullstellen 

� Serienschwingkreis L 2 C 2 erzeugt bei ω 2 einen Kurzschluß 

� Parallelschwingkreis L 3 C 3 erzeugt bei ω 3 einen Leerlauf 

2006-04-11 41

Zweipole und Leistungsaufnahme 

� Netzwerke aus R, L, C, Übertrager (mit Selbst- und Gegeninduktivität!) 

� Nutzung des Tellegenschen Satzes (s.o.) 

∑ ∑ ∑ ∑ 0 0 

U ( s) I *( s) + U ( s) I *( s) + U ( s) I *( s) + U ( s) I *( s) − U ( s) I *( s) 

= 0 

k k k k k k k k 

Wider − Konden− Spulen Übertrager 

stände satoren 

bzw. mit den Elementebeziehungen von R, L, C, M 

k k k k k k k k kl l k 

Wider − 

stände 

Konden− satoren 

k 

Spulen k = 1 l = 1 

k ≠l 

� Die Eingangsimpedanz lautet dann 

Quelle 

N N 

1 1 

0 = ∑ RI ( sI ) *( s) + ∑ I( sI ) *( s) + s∑ LI( sI ) *( s) + ∑∑MI( sI ) *( s) −U0( 

sI ) 0 *( s) 

s C 

⎛ 

1 ⎜ 1 1 

Zs ( ) = + 

⎜ ∑ RI k k( sI ) k*( s) ∑ Ik( sI ) k 

I0( s) I0 *( s) ⎜ Wider − s Konden− Ck 

⎝ stände satoren 

⎛ ⎞⎞ 

N N 

*( s) + s⎜ + 

⎟⎟ 

⎜ ∑ LI k k( sI ) k*( s) ∑∑MklIl( 

sI ) k*( 

s) 

⎜ ⎟⎟ 

Spulen k = 1 l = 1 

⎟⎟ 

⎝ k ≠l 

⎠⎠ 

1 

= Fs ( ) + Vs ( ) + sTs ( ) 

s 

Gegeninduktivitäten 

F, T und V reell und nichtnegativ, da Koeffizienten reell und > 0 sind 

2006-04-11 42

Zweipole und Leistungsaufnahme 

� Somit 

1 

Zs ( ) = Fs ( ) + Vs ( ) + sTs ( ) 

s 

bzw. in analoger Vorgehensweise 

Ys = Fs+ Vs+ sTs 

s 

� Mit s = σ + jωfindet 

man 

* 1 

( ) ( ) ( ) ( ) 

* 

σ 

Re( Zs ( )) = Fs ( ) + Vs ( ) + σTs 

( ) 

2 2 

σ + ω 

und weiter 

Re( Zs ( )) ≥ 0 für σ ≥ 0 

2006-04-11 43

Passive Zweipole 

� Netzwerke aus R, L, C bilden die Klasse der passiven Zweipole 

� Im Mittel nehmen diese Netzwerke nur Energie auf 

� Eine Impedanzfunktion (Admittanzfunktion) ist aus R, L, C, M 

realisierbar, genau dann wenn sie eine positive Funktionen H(s) 

Es folgt: 

* * 

H ( s) = H( s ) 

Re ( ) ≥ 0 für Re ≥ 0 

( Hs) ( s) 

� H(s) hat weder Pole noch Nullstellen für Re(s)>0 

( ) 

� Re H( jω) ≥ 

0 für jω 

die keine Polstellen sind 

� Polstellen auf der imaginären Achse einfach 

� 1/H(s) existiert für Re(s)>0 und ist positiv 

2006-04-11 44

LC Zweipole 

� Netzwerke aus L, C 

1 σ ⎛ 1 ⎞ 

Zs ( ) = Vs ( ) + sTs ( ) = σT+ V+ jω⎜T− V 

2 2 2 2 ⎟ 

s 

σ + ω ⎝ σ + ω ⎠ 

� besitzt nur einfache Pole und Nullstellen auf der imaginären Achse 

� Darstellbar durch 

mit positiven Entwicklungskoeffizienten 

� Z(s) ist eine ungerade Funktion 

� Für s = jωrein 

imaginär 

dZ( jω)/ j 

� 

> 0 

dω 

s = σ + jω 

ν 

ν ν ω 

r 1 2As 

= 0 + ∑ + 

2 2 

s = 1 s + 

Zs ( ) A sA 

∞ 

Pol bei 0 

Zweipolfunktion mit 4 Polen und 3 Nullstellen 

Pol bei unendlich 

2006-04-11 45

RC Zweipole RL Zweipole 

� Netzwerke aus R, C 

ν 

ν ν 

positive Entwicklungskoeff. 

σ 

r D0D Zs ( ) = D∞+ 

+ ∑ s = 1 s+ 

r Dν 

' 

Ys ( ) = sD∞'+ D0'+ 

∑ 

ν = 1 s + ν ' σ 

� besitzt einfache, alternierende 

Pole und Nullstellen auf der 

nichtpositiv reellen Achse 

(einschließlich Unendlich) 

� kein Nullstelle am Nullpunkt und 

keine Pol bei Unendlich 

� Z(s) monoton fallend für reelles s 

σ 

σ < 

dZ( 

) 

0 

d 

� Netzwerke aus R, L 

r Bs ν 

∑ 

Zs ( ) = B0+ + sB∞ 

ν = 1 s + ν σ 

r B0' Bν' 

Ys ( ) = + ∑ + B∞' 

s ν = 1 s+ 

ν ' 

positive Entwicklungskoeff. 

� besitzt einfache, alternierende Pole 

und Nullstellen auf der nichtpositiv 

reellen Achse (einschließlich 

Unendlich) 

� kein Pol am Nullpunkt und keine 

Nullstelle bei Unendlich 

� Z(s) monoton steigend für reelles s 

σ 

σ 

σ > 

dZ( 

) 

0 

d 

2006-04-11 46








2006-04-11 47


� Auswertung auf der imaginären Achse s = j ω beschreibt den 

Frequenzgang eines Netzwerkes 

m n 

F( jω) = log( K) + log( jω −s ) − log( jω −s 

) 

dB 

∑ 

∑ 

m 

a 

i= 0 i 

i 

jω jω −s01 jω −s02 K jω −s0m 

n i 

b( ) 

i 0 i jω 

= 

ω − p1 ω − p2 K 

ω − pn 

( ) ( )( ) ( ) 

F( jω) = = K 

( j s )( j s ) ( j s ) 

∑ ∑ 

0i 

pi 

i= 1 i= 

1 

m n 

( ) 0 

∑ ∑ 

arg F( jω) = arg( K) + arg( jω −s ) − arg( jω −s 

) 

i pi 

i= 1 i= 

1 

2006-04-11 48


� Übertragungsmaß g 

F( jω) = exp( − g( ω)) = exp( −a( ω) − jb( 

ω)) 

a heißt Dämpfung und b die Phase 

Maßeinheit Neper (Np) Maßeinheit Dezibel (dB) 

=− ( ) 

a( ω) =−20log 

( F( jω) 

) 

a( ω) ln F( jω) 

2006-04-11 49

Wichtige Frequenzgänge 

2006-04-11 50

Netzwerkfunktionen 

� 1. Ordnung 

– Allgemeine Form (s p < 0 für Stabilität) 

Tiefpaß 

Hochpaß 

Allpaß 

� 2. Ordnung 

– Allgemeine Form 

s 

p 

Hs ( ) = H0 s+ sp 

( ) 

s 

Hs = H0 s+ sp 

s − s 

p 

Hs ( ) = H0 s+ sp 

s−s Hs ( ) = K 

s − s 

( s −s )( s −s 

) 

Hs ( ) = K 

s s s s 

01 02 

( − p1)( − p2) 

0 

p 

Nur relle Pole bzw. 

Nullstellen möglich! 

2006-04-11 51

Hs ( ) = 

Netzwerkfunktionen 2. Ordnung 

Tiefpaß H0sp Hochpaß 

Hs ( ) = 

2 

2 

s + d s s+ s 

2 

p p 

Bandpaß Bandsperre Allpaß 

H s s 

0 

2 

s + d sp s+ sp 

p 

2 

Hs ( ) = 

0 

( 

2 

) 

2 

+ p 

H s s 

2 


2 

Hs ( ) = 

Hs ( ) = 

0 

Hs 

2 


0 

( 

2 

) 

2 

− p + p 

H s d s s s 

2 


2 

2 

2006-04-11 52 

2

Frequenzgangtransformation 

� Veränderung des Frequenzganges durch Transformationen in der 

komplexen Ebene 

� Transformation der komplexen Variablen s in den 

Netzwerkfunktionen 

� Führt zu Transformation des Netzwerks! 

� Ziel der Transformation 

– Verschiebung von Eckfrequenzen 

– Umwandlung von Filtertypen 

� Vorteile 

– Nur Entwurf eines Tiefpasses notwendig 

2006-04-11 53

Frequenznormierung 

� Skalierung der Frequenzachse 

s 

sn 

= 

ω 

führt auf eine Skalierung der Bauelementewerte 

Rn= R 

Cn = Cωn 

L = Lω 

� Beispiel Tiefpaß 

1 

Hs ( ) = 

1+ 

RCs 

1 1 

Hs ( ) = = 

C 1+ 

RC s 

+ R snωn ω 

1 n n n 

n 

n 

n n 

Eckfrequenz 

ω = 

ω 

1 

3dB 

RC 

3dB 

1 1 

= = 

RC RCω 

n n 

2006-04-11 54

Frequenzgangtransformation in der Schaltung 

2006-04-11 55

Beispiel 

2006-04-11 56








2006-04-11 57

Allpäße und Minimalphasige Netzwerke 

� Allpaß 

– Eine Übertragungsfunktion heißt Allpass, wenn sie nur eine 

Phasenverzerrung bewirkt, ihr Betrag aber frequenzunabhängig ist 

PA( s) 

As ( ) = 

P ( −s) 

� Minimalphasige Übertragungsfunktion 

A 

– Eine Übertragungsfunktion wird minimalphasig genannt, wenn sie keine 

Nullstellen in der rechten Halbebene besitzt 

2006-04-11 58

Minimalphasige Netzwerke 

� Zerlegung einer 

Übertragungsfunktion in 

zwei Anteile 

– Minimalphasiges System 

– Allpaß 

Ps ( ) PM( s) PA( s) PM( s) PA( −s) 

PA( s) 

As ( ) = = = 

! 

Qs ( ) Qs ( ) Qs ( ) P(` −s) 

A 

2006-04-11 59

7. Netzwerksynthese 

� Aufgabenstellung 

� Netzwerkarten 

� Realisierung von Eintorfunktionen 

� Kaskadenentwurf 

� Approximation 

2006-04-11 1

Filterspezifikationsmöglichkeiten 

� Für den Entwurf einer Filterschaltungen können verschiedene 

Spezifikationen gegeben sein 

– Zeitbereich 

� Einschwingzeit 

� Überschwingen 

– Frequenzbereich (Mindestanforderungen) 

� Betragsverlauf 

� Phasenverlauf 

� Phasenverzerrung 

2006-04-11 2

Filterspezifikation 

� Beim Entwurf von Filtern wird meist ein Toleranzschema für den 

Betrag des Frequenzverlaufes vorgegeben 

� z.B. 

– Maximale Dämpfung 

im Durchlaßbereich 

– Eckfrequenz des 

Durchlaßbereiches 

– Minimale Dämpfung 

im Sperrbereich 

– Eckfrequenz des 

Sperrbereiches 

� Zusätzlich werden nur bestimmte Bauelemente zugelassen 

– R, L, C 

– R, C, OPV, etc. 

2006-04-11 3







2006-04-11 4

Heute verwendete Technologien 

� Heute sind folgende Technologien zur Realisierung von Filtern 

im Einsatz 

� Einsatz richtet sich nach 

– den verarbeiteten Signalfrequenzen 

– den Genauigkeitsanforderungen und verfügbaren Bauelementen (und 

Wertebereichen) 

– Kosten 

2006-04-11 5

Netzwerksynthese in der Vergangenheit 

� Verwendung von R,L,C und Übertragern 

� Angabe von Realisierbarkeitsbedingungen für Netzwerke, z.B. 

wann eine Netzwerkfunktion ohne Übertrager realisiert werden 

kann 

� Durch Verwendung aktiver Bauelemente (und integrierter 

Schaltungen) sind die klassischen Verfahren der Netzwerksynthese 

in ihrer gesamten Breite heute kein Allgemeinwissen des 

Elektroingenieurs mehr 

2006-04-11 6







2006-04-11 7

Realisierung von Eintorfunktionen 

� Realisierung von Impedanzen oder Admittanzen, durch zwei 

Netzwerke, die nur aus zwei verschiedenen Elementetypen 

bestehen 

– LC 

– RL 

– RC 

2006-04-11 8

Foster-Realisierung bei LC-Netzwerken 

� Zu realisieren ist eine LC Zweipolfunktion, z.B. eine Impedanz 

� Schritt 1: 

– Partialbruchzerlegung 

(man erhält die Form ν 

) 

ω 

r 1 2As 

Zs ( ) = A0 + ∑ + sA 

2 2 ∞ 

s s + 

� Schritt 2 

ν = 1 ν 

– Interpretation der Terme aus Reihenschaltung von Impedanzen 

ν 

ν ν ω 

r 1 2As 

= 0 + ∑ + 

2 2 

s = 1 s + 

Zs ( ) A sA 

Kondensator Induktivität 

= 

1 Parallelschaltung aus 

Kondensator und Induktivität 

L = A∞ C A 

0 

2Aν 1 

Lv= , C = 

2 ν 

ω 

2A 

ν 

∞ 

ν 

2006-04-11 9

Foster-Realisierung (LC Netzwerke) 

� Zu realisieren ist eine 

Impedanz Admittanz 

Schrittweiser (vollständiger) 

Polabbau 

Vorgehensweise bei RL und 

RC Schaltungen entsprechend 

der Interpretation der 

Partialbruchzerlegung 

2006-04-11 10

Foster-Realisierung (RC Netzwerke) 

� Zu realisieren ist eine 

Impedanz Admittanz 

Schrittweiser (vollständiger) 

Polabbau 

2006-04-11 11

Kettenbruchrealisierungen 

� Polabbau nicht nur durch Partialbruchzerlegung möglich sondern 

auch durch Kettenbrüche 

� Die LC-Zweipolfunktion besitzt bei s →∞ einen Pol (Längs- 

Induktivität) 

� Z2 (s) besitzt dann eine Nullstelle bei s →∞ , also Forsetzung mit 

dem Kehrwert Y2 (s) 

� Y3 (s) besitzt dann eine Nullstelle bei s →∞ 

, also Forsetzung mit 

dem Kehrwert 

� Usw. 

r 2As 

ν 

0 ∑ 2 2 ∞ 2 

∞ 

ν = 1 + ν ω 

1 

Zs ( ) = A + + sA= Z( s) + sA 

s s 

Y2( s) = Y3( s) + sA∞' Querkapazität 

L 

Z 2 

2006-04-11 12

Kettenbruchrealisierungen 

� Polabbau bei s →∞ 

entspricht einer Realisierung der 

Netzwerkfunktion durch einen Kettenbruch 

� Vorgehensweise bei RC und RL-Schaltungen äquivalent 

� Alternativen: 

r 2As 

ν 

0 ∑ 2 2 

ν = 1 + ν ω 

1 

Zs ( ) = A 

s 

+ 

s 

+ sA∞ = sA∞ 

+ 

sA∞ 

'+ 

1 

1 

sA∞ 

''+ 

sA 

– Polabbau auch bei s = 0 möglich 

– Polabbau in den Polstellen der jeweiligen Impedanz- bzw. 

Admittanzfunktionen 

∞ 

1 

''' + ... 

2006-04-11 13







2006-04-11 14

Vorgehensweise 

� Zerlegung einer Übertragungsfunktion in ein Produkt von 

Teilübertragungsfunktionen 

� Voraussetzungen 

H( s) = H ( s) H ( s) H ( s) KH 

( s) 

1 2 3 

– Ausgangsimpedanz des Blockes j ist kleiner als Eingangsimpedanz des 

Blockes j+1 

Z ( jω) � Z ( jω) 

Ausgang, j Eingang, j + 1 

n 

2006-04-11 15

Elementarbausteine der Kaskadensynthese 

� Invertierende und nichtinvertierende Verstärkerschaltungen 

Hs ( ) 

=− 2 

Z ( s) 

Z ( s) 

1 

Z s 

Hs = + 

Z s 

2( 

) 

( ) 1 

( ) 

C s + G / C 

Hs ( ) =− 

C s+ G / 

C 

1 1 1 

2 2 2 

1 

2006-04-11 16

Elementarbausteine der Kaskadensynthese 

� Filter 2. Ordnung 

� Tiefpass Bandpass 

2 

aKG1G2 / C 

Hs ( ) =− 

s + s G + G (2 − K) / C + GG / C 

K 

( ) 

2 2 

1 2 1 2 

= 1+ 

R 

R 

B 

A 

saG1 / C 

Hs ( ) =− 

s + 2 sG / C + GG / C 

2 2 

2 1 2 

2006-04-11 17

Bestimmung der Teilfunktionen 

� Bei der Aufteilung einer Übertragungsfunktion auf Teilfunktionen 

(Polstellen-, Nullstellenzuordnung zu einer Teilübertragungsfunktion) 

gibt es theoretisch keinen Unterschied zwischen den 

verschiedenen Möglichkeiten 

� Praktisch unterscheiden sich die Schaltungen jedoch in der Größe 

der Signalpegel zwischen den Blöcken 

� Faustregel: 

– Realisierung von möglichst nahe beieinander liegenden Polen und 

Nullstellen in einer Teilfunktion 

2006-04-11 18







2006-04-11 19

Vorgabe des Betragsverlaufes 

� Vorgabe des Betragsverlaufes 

bzw. 

2 

G( jω) = F( jω) = F( jω) F( −jω) 

Gs ( ) = FsF ( ) ( −s) 

� Faktorisierung von G in F durch Verteilung der Pole und Nullstellen 

auf F(s) und F(-s) 

2006-04-11 20


� Wichtige Betragsverläufe sind 

Butterworth Filter (maximal flach) Tchebyscheff-Filter 

2 1 

2 1 

F( jω) 

= F( jω) 

= 

2n 

2 

1+ 

ω 

1 + δTn( ω) 

1 

Gs ( ) = −1 

n 2n 

T ( ) cos cos ( ) 

1 + ( −1) 

s 

n ω = 

n ω 

Pole auf Einheitskreis 

s = exp( j(2k − 1 + n) π / 2 n), k = 1...2n 

k 

( ) 

2006-04-11 21


� Wichtige Betragsverläufe sind 

Butterworth Filter (maximal flach) Tchebyscheff-Filter 

2 1 

2 1 

F( j ω) 

= F( jω) 

= 

2 2n 

2 

1+ 

εω 

1 + δTn( ω) 

1 

Gs ( ) = −1 

n 2n 

T ( ) cos cos ( ) 

1 + ( −1) 

s 

n ω = 

n ω 

Pole auf Einheitskreis 

s = exp( j(2k − 1 + n) π / 2 n), k = 1...2n 

k 

( ) 

2006-04-11 22

Normierte Tiefpäße Kapitel 1, Folie 11 

2006-04-11 23

Butterworth Polynome 

2006-04-11 24

Butterworth Filter 

� Betrag der Übertragungsfunktion für verschiedene Filtergrade 

mit zunehmenden Filtergrad wird der Übergangsbereich zwischen 

Durchlass- und Sperrbereich immer steiler 

(um den Preis einer höheren Anzahl von erforderlichen 

Bauelementen) 

2006-04-11 25

Butterworth Filter- Filterauswahl 

� Aus der Vorgabe maximalen Durchlassdämpfung und minimalen 

Sperrdämpfung 

mit der Wahl 

folgt 

( 2 

T ) n 

αω ( ) =−20log 

( ω) 

ω 

bzw. als erforderlicher Filtergrad 

p 

= 1 

( ) 

( 2 2 

s ) 

= + 2 

α 10log 1 ε 

max 

α = 10log 1+ 

ε ω 

min 

n 

= 

0.1α 

min 

0.1α 

max 

( − ) ( − ) 

( ) 

log 10 1 / 10 1 

2log 

( ω 

) 

s 

2006-04-11 26

Butterworth Filter- Filterauswahl durch Tabellen 

� Ablesen des erforderlichen Filtergrades für eine gegebene 

Spezifikation aus einer Graphik 

αmax 

αmin 

2006-04-11 27







� Ein ausführliches Beispiel 

2006-04-11 28

Filterspezifikation 

Berechnung der Parameter 

Den := H1+ sê wcLH1+ sê wc + s^2ê wc^2L 

roots1 = Solve@Den == 0, sDêê Flatten 

:s →−wc, s → 1 

2 I−wc − I è 3wcM,s→ 1 

2 I−wc + I è 3wcM> 

PoleButterworth = Table@sê. roots1@@iDD, 8i, 1, 3 

2006-04-11 29

Filter 1 


z2 = 1êH1ê R2 + sC1L 

1 

1 

+ C1 s 

R2 

Filter1 = 8i1 == u1ê R1, i2 == u1sêz2, i1 == −i2< 

:i1 == u1 1 

,i2== J + C1 sN u1s, i1 == −i2> 

R1 R2 

erg1 = Solve@Filter1, 8u1s, u1 

H1 = u1s ê. erg1 ê.u1−> 1 

:− 

R2 

R1 H1 + C1 R2 sL > 

DH1 = Denominator@H1@@1DDD 

R1 H1+ C1 R2 sL 

2006-04-11 30

Filter 2 


Filter2 = 

8um == R4êHR4 + R5L u2, up == 1êH1 + sR3C3L ua, up == um, Hu1s − uaLêR3 + Hu2 − uaLêH1êHsC2LL − ua êHR3 + 1êHsC3LL == 0< 

:um == 

R4 u2 

R4 + R5 ,up== 

ua 

u1s − ua 

,up== um, + C2 s Hu2 − uaL − 

1 + C3 R3 s R3 

erg2 = Solve@Filter2, 8u2, u1s 

H2 = u2 ê. erg2 ê. u1s −> 1 

R4+ R5 

: 

−C2 R3 R5 s + R4 H1 + C3 R3 s H2 + C2 R3 sLL > 

H2 = H2 ê. HR5 −> HR4êk − R4LL êê Simplify 

1 

: 

−C2 R3 s + k H1 + 2C3R3s+ C2 R3 s H1 + C3 R3 sLL > 

DH2 = Denominator@H2@@1DDD 

−C2 R3 s + k H1 + 2C3R3s+ C2 R3 s H1 + C3 R3 sLL 

== 0> 

2006-04-11 31

Pole der Filterstufen 

Pole der beiden Filter 

rootsH1 = Solve@DH1 == 0, sDêê Flatten 

:s →− 1 

C1 R2 > 

rootsH2 = Solve@DH2 == 0, sDêêSimplify êê Flatten 

:s →− C2 H−1+ kL R3 + 2C3kR3+ è H−4C2C3k 2 + HC2 H−1 + kL + 2C3kL 2 L R3 2 

2C2C3kR3 2 

s → −2C3kR3+ è H−4C2C3k 2 + HC2 H−1 + kL + 2C3kL 2 L R3 2 + C2 HR3 − kR3L 

2C2C3kR3 2 

� Dimensionierung der Elemente so, dass Pole an den geforderten 

Stellen liegen! 

, 

> 

2006-04-11 32

Pole 

� Aufstellen der Gleichungen für Dimensionierung 

DimensionierungPole = 8PoleButterworth@@1DD == sê. rootsH1, 

PoleButterworth@@2DD == s ê. rootsH2@@1DD, PoleButterworth@@3DD == s ê. rootsH2@@2DD< êê 

Simplify 

:−wc == − 

1 1 

, − 

C1 R2 2 I I−I + è 3 M wc == − C2 H−1+ kL R3 + 2C3kR3+ è H−4C2C3k2 + HC2 H−1 + kL + 2C3kL2L R32 2C2C3kR32 , 

1 

2 I II + è 3 M wc == −2C3kR3+ è H−4C2C3k2 + HC2 H−1 + kL + 2C3kL2L R32 + C2 HR3 − kR3L 

2C2C3kR32 > 

2006-04-11 33

Lösung der Gleichungen 

Loesung = Solve@Dimensionierung, 8C2, C3, C1, R1, R2, R3, R4, R5 1000 ê. R4−> 1000 ê. R2−> 500 êê N 

8R1 → 1000., R5 → 1000., C1 → 3.1831× 10 −7 ,C3→−7.95775× 10 −8 ,C2→−3.1831× 10 −7 < 

� Es gibt verschiedene Lösungen 

,C2→ kR3+ è H8− 7kL kR32 >, 

4000 H−1+ kL π R32 ,C2→ kR3− è H8− 7kL kR32 >> 

4000 H−1+ kL π R32 � Nun muß noch sichergestellt werden, dass die Elementewerte alle 

positiv sind 

2006-04-11 34

Darstellung der Teilausdrücke 

p1 = Plot@k− Sqrt@H8 − 7kL kD, 8k, 0, 1

Dimensionierung 

� Festlegen der Freiheitsgrade durch Wahl einiger Elementewerte 

Loesung@@2DD ê.k−> 1ê2 ê. R3−> 1000 ê. R4−> 1000 ê.R2−> 500 êê N 

8R1 → 1000., R5 → 1000., C1 → 3.1831× 10 −7 ,C3→ 1.59155 × 10 −7 ,C2→ 1.59155× 10 −7 < 

2006-04-11 36

LC-Filter Realisierung 

Nennerpolynom LC-Filter 

In[88]:= num = 2+ sC2 + sL + s^2 LC2 + s^3 C1C2 L + s^2 LC1+ sC1 

Out[88]= 2+ C1 s + C2 s + Ls+ C1Ls 2 + C2 L s 2 + C1 C2 L s 3 

2006-04-11 37

Nullstellen 

In[90]:= erg = Solve@num == 0, sDêêSimplify 

Out[90]= ::s → 

1 

J−2 HC1 + C2L − 

6C1C2 

H221ê3 H−HC1 + C2L 2 L + 3C1C2HC1 + C2 + LLLLëI−54 C12 C22 L2 − 2 HC1 + C2L 3 L3 + 9C1C2HC1 + C2L L2 HC1 + C2 + LL + 

, IL 3 I4 H−HC1 + C2L 2 L + 3C1C2HC1 + C2 + LLL 3 + L H54 C1 2 C2 2 + 2 HC1 + C2L 3 L − 9C1C2HC1+ C2LHC1 + C2 + LLL 2 MMM^ 

H1ê 3L + 

1 

L 

I2 2ê3 I−54 C1 2 C2 2 L 2 − 2 HC1 + C2L 3 L 3 + 9C1C2HC1 + C2L L 2 HC1 + C2 + LL + 


H1ê 3LMN>, 

1 

:s → J−4 HC1 + C2L + 

12 C1 C2 

I221ê3 I1 + I è 3 MH−HC1 + C2L 2 L + 3C1C2HC1 + C2 + LLLM ë I−54 C12 C22 L2 − 2 HC1 + C2L 3 L3 + 9C1C2HC1+ C2L L2 HC1 + C2 + LL + 


H1ê 3L + 

1 

L II22ê3 II + è 3 MI−54 C1 2 C2 2 L 2 − 2 HC1 + C2L 3 L 3 + 9C1C2HC1 + C2L L 2 HC1 + C2 + LL + 


H1ê 3LMN>, 

1 

:s → J−4 HC1 + C2L + 

12 C1 C2 

I221ê3 I1 − I è 3 MH−HC1 + C2L 2 L + 3C1C2HC1 + C2 + LLLM ë I−54 C12 C22 L2 − 2 HC1 + C2L 3 L3 + 9C1C2HC1+ C2L L2 HC1 + C2 + LL + 


H1ê 3L − 

1 

L II22ê3 I−I + è 3 MI−54 C1 2 C2 2 L 2 − 2 HC1 + C2L 3 L 3 + 9C1C2HC1+ C2L L 2 HC1 + C2 + LL + 


H1ê 3LMN>> 

2006-04-11 38

Schlußfolgerung 

� Kein einfacher Zusammenhang zwischen Pollage und 

Elementewerten! 

Numerische Auswertung 

reg = 8C1 −> 1, C2 −> 1, L −> 2< 

In[92]:= erg ê.regê.C1−> C2 êê Simplify 

Out[92]= :8s →−1, :s →− 1 

2 I I−I + è 3 M>> 

Normierung der Elemente auf physikalisch geforderte Eckfrequenz 

C 

C ' = 

2π1000 L 

L' 

= 

2π1000 2006-04-11 39

Betragsverlauf 

2006-04-11 40

8. Netzwerktheoreme 

� Superpositionsprinzip 

� Thevenin-Norton-Theorem 

� Millertheorem 

� Äquivalente Netzwerke 

� Duale Netzwerke 

2006-04-11 1

Superpositionsprinzip 

� Für lineare physikalische Systeme gilt. 

– Hängen Ursache und Wirkung linear voneinander ab, so ergibt sich die 

Gesamtwirkung eines Vorganges durch Addition (Überlagerung) aller 

Teilwirkungen, die von den jeweiligen Teilursachen ausgeben: 

Überlagerungssatz 

� Umgekehrt: ein System ist linear, wenn der Überlagerungssatz 

gilt 

� Anwendung auf lineare Netzwerke: 

– man setzte alle unabhängigen Quellen (außer einer) außer Betrieb 

(Spannungsquellen kurzschließen, Stromquellen aufschneiden) und 

berechne die gesuchte Zweiggröße 

– man verfahre der Reihe nach analog mit den übrigen Quellen 

– addiere die Teilwirkung im betreffenden Zweig 

2006-04-11 2

Superpositionsprinzip 

nur Quelle u q1 wirkend (->i 4/1 ) 

nur Quelle u q2 wirkend (->i 4/2 ) nur Quelle i q3 wirkend (->i 4/3 ) 

2006-04-11 3

Quellenversetzung 

� Versetzung idealer Spannungsquellen: 

� Wird eine ideale Spannungsquell über einen Knoten verschoben, so 

ist in allen restlichen Zweigen des Knotens die gleiche 

Spannungsquelle (in gleicher Richtung) anzubringen 

Anwendung: Netzwerkvereinfachung, Netzwerkumformung für die Analyse.. 

2006-04-11 4







2006-04-11 5

Substitutionstheorem - Motivation 

� Berechnung eines Netzwerkes 

Ersetzen durch Spannungs- oder Stromquelle 

2006-04-11 6

Substitutionstheorem 

� Besitzt ein Netzwerk eine eindeutige Lösung (I o , U o ), so können 

einzelne Zweige j k ersetzt werden durch 

– Ideale Spannungsquelle mit Spannung u jk also der Zweigspannung die 

sich aus der Lösung (I o , U o ) ergibt 

– Ideale Stromquelle mit Strom i jk also dem Zweigstrom der sich aus der 

Lösung (I o , U o ) ergibt 

2006-04-11 7

Zweipoltheorie 

� Ersatzquellensätze: Jedes Netzwerk aus idealen Quellen und 

linearen Netzwerkelementen kann hinsichtlich seines Klemmenverhaltens 

durch eine Spannungs- oder Stromquellenersatzschaltung 

beschrieben werden: aktiver Ersatzzweipol 

(Sätze von Helmholtz, Mayer, Thevenin, Norton, folgt aus 

Kirchhoffsche Gln., Überlagerungssatz) 

� Kennwerte des aktiven Ersatzzweipols: 

– Leerlaufspannung, Kurzschlußstrom, 

– Innenwiderstand 

2006-04-11 8

Zweipoltheorie 

u l 

i 

beliebiger 

Zweipol 

i 

u 

beliebiger 

Zweipol 

Ri u R u 

i 

Spannungsquellen-Ersatzschaltung 

Thevenin-Ersatzschaltung 

i k 

allgemeiner 

resistiver Netzwerkteil 

i 

beliebiger 

Zweipol 

Stromquellen-Ersatzschaltung 

Norton-Ersatzschaltung 

u = u l -R i i= R i (i k -i) 

2006-04-11 9

Ersatzschaltung, Kenngrößenbestimmung 

u l 

R i 

Bestimmung 

Leerlaufspannung 

i=0 

A 

u = u l 

B 

u l 

R i 

Bestimmung 

Kurzschlußstrom 

i = ik A 

u = 0 

Kenngrößen des aktiven Zweipols 

B 

i k 

R i 

Bestimmung 

Kurzschlußstrom 

i = ik A 

u = 0 

B 

i k 

R i 

Bestimmung 

Leerlaufspannung 

Spannungsquellenersatzschaltung Stromquellenersatzschaltung 

u = u −Ri 

l i 

i = ( u − u)/ R 

u = ( i −i)/ 

G 

l i 

i = i −Gi 

k i 

k i 

Leerlaufspannung Kurzschlußstrom 

u = u = i R 

i = i = 

uG 

u = 0 

l AB i = 0 k i 

k l i 

AB 

i=0 

A 

u = u l 

B 

2006-04-11 10

Zweipoltheorie -- Beispiele 

2006-04-11 11







2006-04-11 12

Miller Theorem 

� Ziel: Aufteilung eines Widerstandes zwischen zwei Netzwerkknoten 

in zwei veränderte nach einem dritten Bezugsknoten 

a, b: Netzwerk mit Spannungsübersetzung 

c, d: Netzwerk mit Stromübersetzung 

Eingangsstrom i 1 

( u −u 

) 1 u 

i1 

= = = 

R ⎛ R ⎞ R 

⎜ ⎟ 

⎝( u1−u2) ⎠ 

R 

mit R1 

= 

⎛u⎞ 2 1− 

⎜ ⎟ 

⎝u1⎠ 1 2 1 

1 

2006-04-11 13







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Äquivalente Netzwerke 

� Zwei Zweitore N 1 und N 2 sind äquivalent, wenn die Torspannungen 

und Torströme bei Austausch von N 1 und N 2 nicht ändern 

� Die innere Struktur kann dabei verschieden sein! 

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Beschreibung der Netzwerke 

� Zusammenfassen der Netzwerkeigenschaften in seinen 

Zweitorparametern 

� Bei äquivalenten Netzwerken sind diese Darstellungen dann gleich 

Y1 = Y2 

� Zur Erinnerung: Äquivalenz bei Zustandsmodellen 

dx() t 

= Ax() t + Be() 

t 

dt 

x() t = Tx'() 

t 

dx'( t) 

T = ATx'( t) + Be( 

t) 

dt 

y() t = Cx() t + De() 

t 

y() t = CTx'() t + De() 

t 

( ) 1 − 

Y( s) = C s1− A BE( s) + DE( 

s) 

Gleiches Übertragungsverhalten 

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� Substitutionstheorem 






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Dualer Graph 

� Frage: Gibt es zwei Netzwerke, mit der Eigenschaft, daß die 

Maschengleichungen des einen NW den Knotengleichungen des 

anderen Netzwerkes entsprechen? 

� Erzeugen eines neuen 

Graphen durch Umwandlung 

von 

– Maschen in Knoten 

– Knoten in Maschen 

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Duale Netzwerke 

� Zweipole sind dual zueinander, wenn die i-u Beziehung bei 

wechselseitiger Vertauschen von u und i erhalten bleibt. 

� Zwei Netzwerke sind dual zueinander, wenn 

– sie gleiche Anzahl von Zweipolelementen haben 

– zum Zweipol im NW A der duale Zweipol im NW B gehört 

– einer Masche (Knoten) in A ein Knoten (Masche in B) entspricht 

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Duale Netzwerke 

� Umwandlung von Netzwerkelementen 

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Netzwerk- und Systemtheorie I

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