For printing - MSP

UN THÉORÈME DE L’INDICE RELATIF 103
Nous pouvons donc appliquer le lemme et nous obtenons
inde D + 1 − inde D + 2
= Tr +
W (E 1 ) φ1S + 1 (1 − ρ) − φ1Γ1dρ + ϕG2dρ + ϕH + ρ
− TrL2 −
(E1 ) φ1S − 1 (1 − ρ) + dφ1Γ1(1 − ρ) + dϕG2ρ − ϕH − ρ
− Tr +
W (E 2 ) φ2S + 2 (1 − ρ) − φ2Γ2dρ + ϕG2dρ + ϕH + ρ
+ TrL2 −
(E2 ) φ2S − 2 (1 − ρ) + dφ2Γ2(1 − ρ) + dϕG2ρ − ϕH − ρ.
Puis en se servant du fait que |dϕ|ρ = 0 et |dφi|(1 − ρ) = 0 on a
inde D + 1 − inde D + 2
= Tr +
W (E 1 ) φ1S + 1 (1 − ρ) − TrL2 (E −
1 ) φ1S − 1 (1 − ρ)
Tr +
W (E 2 ) φ2Γ2dρ + ϕG2dρ − Tr +
W (E 1 ) φ1Γ1dρ − ϕG2dρ
− Tr +
W (E 2 ) φ2S + 2 (1 − ρ) + TrL2 (E −
2 ) φ2S − 2 (1 − ρ).
Puis on écrit comme précédement φi = ˆ φi + ˇ φi de telle façon que ˇ φ1 = ˇ φ2
sur ]0, ε[×Σ. Alors on obtient
Tr W (E +
2 ) [φ2Γ2dρ + ϕG2dρ] − Tr W (E +
1 )
= TrW ˇ φ1(Γ2 − Γ1)dρ.
Ainsi on obtient
φ1Γ1dρ − ϕG2dρ + ϕH + ρ
inde D + 1 − inde D + 2 = TrW (E +
1 ) S+ 1 (1 − ρ) − TrL2 (E −
1 ) S− 1 (1 − ρ)
Tr +
W (E 1 ) ˇ φ1(Γ2 − Γ1)dρ
− Tr W (E +
2 ) S+ 2 (1 − ρ) + Tr L 2 (E −
2 ) S− 2
(1 − ρ).
Maintenant, on remarque que cette expression ne dépend plus de la géométrie
du voisinage de l’infini Ω. Si on considère les variétés riemanniennes
compactes ˜ M1, ˜ M2 où ˜ M1 est le double de K1, i.e., ˜ M1 = K1#(−K1) et
où ˜ M2 est la somme connexe de K2 et de K1 le long de leurs bords, i.e.,
˜M2 = K2#Σ(−K1), alors nous avons naturellement des opérateurs de type
Dirac sur ˜ M1 et ˜ M2
˜Di : C ∞ ( ˜ Mi, ˜ Ei) −→ C ∞ ( ˜ Mi, ˜ Ei)
tel que sur Ki ⊂ ˜ Mi, ˜ Di soit l’opérateur Di et qu’au dessus de ˜ M1 − ˜ K1 et
de ˜ M2 − ˜ K2, les opérateurs ˜ D1 et ˜ D2 soient isométriques. Alors en refaisant
la même construction que précédement on obtient la même expression pour
la différence entre les indices de ˜ D + 1 et ˜ D + 2 , on a donc
inde D + 1 − inde D + 2 = ind ˜ D + 1 − ind ˜ D + 2 ,
le théorème de l’indice relatif est alors une conséquence du théorème de
l’indice d’Atiyah-Singer.