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UN THÉORÈME DE L’INDICE RELATIF 85
où chaque bout Ei est isométrique au produit riemannien Σi × (R ni − BRi ),
Σi étant une variété riemannienne compacte et BR la boule euclidienne de
rayon R. Notons DGB l’opérateur de Gauss-Bonnet sur M et DS l’opérateur
de signature sur M (lorsque dim M = 0 mod 4) alors ces opérateurs sont
non-paraboliques à l’infini et on a
inde D +
GB =
M
Ω +
ni=1,2
niq(Σi)
inde D +
S =
ξ +
M
niq(Σi)
ni=1,2
où on a noté q(Σi) la somme des nombres de Betti réels de Σi:
q(Σi) =
dim Σi
k=0
bk(Σi)
et où Ω est la n-forme d’Euler sur M et ξ la forme caractéristique de D +
S ,
qui est la composante de plus haut degré du L-genre de M. De plus, si pour
chaque bout, on a ni ≥ 3, alors on a les égalités
indL2 D +
GB =
Ω
M
indL2 D +
S =
ξ.
M
Dans le cas où les bouts de (M n , g) sont euclidiens, ce théorème est en
partie dû à N. Borisov, W. Muller, R. Schrader ([B-M-S]), il est plus que
possible que leur preuve, utilisant la théorie du scattering, s’adapte pour
montrer ce résultat.
Notation. Soit E −→ M n est un fibré Hermitien sur une variété riemannienne
complète. Un opérateur différentiel symétrique du premier ordre
D : C ∞ (E) −→ C ∞ (E) est dit de type Dirac lorsque le symbole principal
de D 2 est la métrique:
σ(D 2 )(x, ξ) = gx(ξ, ξ) IdEx, ∀(x, ξ) ∈ T ∗ M.
En particulier, un tel opérateur est elliptique et l’algèbre de Clifford de
(TxM, gx), Clx(M) agit sur Ex.
On notera H1 (E) le domaine de D lorsqu’il opère comme opérateur non-
(E) des
borné sur L 2 (E), cet espace est aussi le complèté de l’espace C ∞ 0
sections lisses à support compact de E pour la norme
σ ↦→
σ 2 L 2 + Dσ 2 L 2 .