Master Dissertation

equal powers must have equal coefficients. We conclude that for every m, n
=
d 4 x1 · · · d 4 xnTn(x1, . . . , xn)g2(x1) · · · g2(xm)g1(xm+1) · · · g1(xn)
d 4 x1 · · · d 4 xnTm(x1, . . . , xm)Tn−m(xm+1, . . . , xn)
× g2(x1) · · · g2(xm)g1(xm+1) · · · g1(xn) (5.5)
Further note that from the calculus of the tensor product
〈T2, (f1 + f2) ⊗ (f1 + f2)〉 = 〈T2, f1 ⊗ f1〉 + 〈T2, f1 ⊗ f2〉
+ 〈T2, f2 ⊗ f1〉 + 〈T2, f2 ⊗ f2〉,
FIXME: maybe better to write it out in n dimensions
and since Tm is symmetric
〈Tm, f1 ⊗ f2〉 = 1
2 (〈Tm, (f1 + f2) ⊗ (f1 + f2)〉 − 〈Tm, f1 ⊗ f1〉
− 〈Tm, f2 ⊗ f2〉). (5.6)
Now for transparency and to get a good idea of how to prove Theorem 5.1
let us prove it for n = 3 and m = 2. That is,
Claim. 〈T3, f1 ⊗ f2 ⊗ f3〉 = 〈T2, f1 ⊗ f2〉〈T1, f3〉.
Proof. By 5.6
Hence by 5.5
〈T2, f1 ⊗ f2〉 = 1
〈T2, (f1 + f2) ⊗ (f1 + f2)〉 − 〈T2, f1 ⊗ f1〉
2
− 〈T2, f2 ⊗ f2〉
〈T2, f1 ⊗ f2〉〈T1, f3〉
= 1
〈T3, (f1 + f2) ⊗ (f1 + f2) ⊗ f3〉 − 〈T3, f1 ⊗ f1 ⊗ f3〉
2
− 〈T3, f2 ⊗ f2 ⊗ f3〉
= 1
〈T3, f1 ⊗ f1 ⊗ f3〉 + 〈T3, f2 ⊗ f2 ⊗ f3〉 + 2〈T3, f1 ⊗ f2 ⊗ f3〉
2
− 〈T3, f1 ⊗ f1 ⊗ f3〉 − 〈T3, f2 ⊗ f2 ⊗ f3〉
= 〈T3, f1 ⊗ f2 ⊗ f3〉.
Which proves the claim.
Now before proving this for arbitrary n and m we need the following
lemma.
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