Om Gödels bevis og karakteren af matematisk tænkning

Om Gödels bevis og karakteren af matematisk
tænkning
Asger Jacobsen og Morten Bakkedal
13. december 2002

Indhold
1 Problemformulering 1
2 Indledning 1
3 Formelle systemer 2
3.1 Udsagnskalkylen og formelle beviser . . . . . . . . . . . . . . 2
3.2 Konsistens og fuldstændighed . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3.3 Prædikatkalkylen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.4 Hilberts program . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4 Hilberts program: Et paradigme? 4
4.1 Paradigmedefinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4.2 Hilberts paradigme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4.2.1 Principia Matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.3 Anomalier og kriser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.3.1 Cantors mængdelære . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.3.2 Russells paradoks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.3.3 Cantors paradoks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.3.4 Russells typeteori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.3.5 Aksiomatisk mængdelære . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5 Opgør med Hilberts program 8
5.1 Løgnerparadokset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5.2 Gödels første sætning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.3 Gödel-tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.4 Gödels anden sætning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.5 Det nye paradigme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.5.1 Paradigmeovergangen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.5.2 Inkommensurabilitetskriteriet . . . . . . . . . . . . . . 11
5.6 Er endnu et paradigmeskift muligt? . . . . . . . . . . . . . . . 12
6 Konklusion 14
7 Litteratur 15
i

1 Problemformulering
Vi vil undersøge, om man kan karakterisere udviklingen fra 1850’erne til
1930’erne indenfor matematikkens grundlagsforskning udfra Kuhns begreber
om paradigmer, anomalier og kriser. Herunder vil vi se p˚a om inkommensurabilitetskriteriet
opfyldes.
2 Indledning
“Wir müssen wissen, wir werden wissen.” Sagde Hilbert i en stor tale i
Königsberg i 1930. 1 Denne sætning opsummerer ganske godt den idé som
matematikerne i ˚artierne op til det ˚ar havde arbejdet udfra. Siden kvantorerne
blev introduceret i sidste halvdel af det 19. ˚arhundrede af Frege og
Peirce, var der sket store fremskridt inden for matematikken. Det var lykkedes
at formalisere store dele af den klassiske matematik, og der var opn˚aet
en række interessante resultater inden for den matematiske grundlagsforskning,
især med henblik p˚a at sammenfatte matematikken og logikken. Det s˚a
lovende ud, s˚a lovende at det havde f˚aet Hilbert til at formulere et program
over hvilke resultater, man skulle løse inden for den nærmeste fremtid. Det
ville ikke vare længe inden matematikkens grundlag var klarlagt og dens
konsistens bevist (se nedenfor). Det var det Hilbert mente, da han sagde de
berømte ord.
Gennem ˚arene blev der eksperimenteret med kvantorerne p˚a lidt tynd baggrund
2 , som man tidligere havde eksperimenteret p˚a tyndt grundlag inden
for andre grene af matematikken; for eksempel ved differentialregningens
fremkomst. Denne ubekymrethed resulterede i, at paradokser opstod. Nogle
af disse blev afhjulpet ved at ændre p˚a nogle enkelte principper, uden at det
havde nogen større konsekvens for matematikken som s˚adan.
Alligevel skulle det blive et af disse paradokser, nemlig løgnerparadokset (se
nedenfor), der viste sig fatalt for Hilbert og hans samtids idé. ˚Aret efter
at Hilbert havde holdt sin tale i Königsberg blev denne tanke forkastet for
evigt med publikationen af Gödels ufuldstændighedsbeviser, som skulle vise
sig at lægge stramme begrænsninger for, hvad matematik kan udtale sig om.
Vores idé med opgaven er at se p˚a matematikkens grundlagsforskning gennem
de cirka hundrede˚ar mellem Freges indførelse af kvantorerne i midten af
det 19. ˚arhundrede frem til tiden efter Gödels publikation af Gödels sætninger.
Vi vil se p˚a, om man kan tale om, at det var et egentligt paradigmeskift
der var følgerne af Gödels sætninger. Vi vil se p˚a, om Hilberts program kan
1 [4] s. 64
2 [5] s. 239
1

ses som værende et paradigme, der langsomt tager form fra at være en prævidenskab
til at være et egentligt paradigme, som s˚a gennemlever kriser og til
sidst udskiftes med et nyt paradigme. Og i s˚a fald hvad der karakterisere
det nye paradigme, og om der kan komme et nyt paradigmeskift.
Vi vil føre paradigmeundersøgelsen gennem en udredning af, hvad der menes
med formalisme, konsistens og fuldstændighed.
3 Formelle systemer
Som vi senere skal se, spiller formelle systemer en afgørende rolle for Gödels
to sætninger, og for vores diskussion af et muligt paradigmeskift i matematikken.
I stedet for at beskrive formelle systemer generelt g˚ar vi direkte
til sagen, idet vi mener vor gennemgang af følgende eksempler p˚a formelle
systemer vil tjene som en forklaring af hvad et formelt system er. 3
3.1 Udsagnskalkylen og formelle beviser
I udsagnskalkylen beskæftiger vi os udenlukkende med udsagn sammensat af
logiske konnektiver (¬, ∨, ∧, ⇒ og ⇔), s˚asom “bordet er grønt eller stolen
er rød”. To udsagn U og V siges at være ækvivalente hvis U ⇔ V er en
tautologi. Desudes siger vi, at V er en logisk konsekvens af U hvis og kun
hvis implikationen U ⇒ V gælder og vi skriver U |= V .
Med en logisk slutning menes en streng af præmisser P1, . . . , Pn og en konklusion
K. Vi siger, slutningen er gyldig hvis P1 ∧ · · · ∧ Pn |= K. Desuden
findes en række slutningsregler f.eks. modus ponens U ⇒ V ∧ U |= V .
Ved et formelt bevis for en logisk slutning, menes en streng af sammensatte
udsagn, samt en konklusion, hvor hvert udsagn fremkommer ved at bruge
slutningsreglerne.
3.2 Konsistens og fuldstændighed
Et system siges at være konsistent (modsigelsesfrit) hvis der ikke findes
formelle beviser for b˚ade U og ¬U for noget udsagn U. Med et fuldstændigt
system, menes at for ethvert udsagn i systemet har enten U eller ¬U et
formelt bevis.
logik”
3 En mere uddybende forklaring kan ses i [2] i afsnittet “Brudstykker af den matematiske
2

Man kan vise, at udsagnskalkylen er konsistent og fuldstændig. 4
3.3 Prædikatkalkylen
Prædikatkalkylen fremkommer n˚ar vi udvider udsagnskalkylen til ogs˚a at
omfatte prædikater (˚abne udsagn). For eksempel er “x er et primtal” et
prædikat; vi kunne kalde det P (x). Det er klart, at der skal foreligge en
kontekst, hvorfra x tages.
Vi indfører de s˚akaldte kvantorer, alkvantoren ∀, og eksistenskvantoren ∃,
hvorved vi fra prædikater kan danne udsagn. Vi har, at ∀xP (x) betyder “for
alle x gælder P (x)”, og ∃xP (x) betyder “der eksisterer et x s˚a P (x) gælder”.
Som i prædikatkalkylen vælger vi en række slutningsregler for prædikater.
Vi skelner mellem første, anden og højere ordeners prædikatlogik. I førsteordens
prædikatlogik er konteksten udsagn fra udsagnslogikken, mens vi i
andenordens prædikatlogik lader førsteordens prædikater være vores kontekst.
Dette generaliseres for højere ordeners prædikatlogik.
Man kan vise, at førsteordens prædikatkalkylen er konsistent og fuldstændig.
5
3.4 Hilberts program
Hilbert formulerede i begyndelsen af det 20. ˚arhundrede, som repræsentant
for tids˚anden, en liste over forventede landvindinger i den matematiske
grundlagsforskning. Først og fremmest søgte Hilbert en formalisering af den
allerede eksisterende matematik, som en fortsættelse af det 19. ˚arhundredes
formalisering af geometrien og aritmetrikken.
Hilberts program fulgte i kølvandet p˚a andre formulerede programmer i tiden,
blandt andet formulerede logicismens ophavsmand Frege et program
som lyder: “(1) Enhver aritmetisk p˚astand m˚a kunne bevises alene ved
hjælp af logiske love og deres definitioner af aritmetikkens begreber; (2)
Disse m˚a kunne defineres alene ved hjælp af logiske begreber, hvortil Frege
medregnede mængdelærens begreber.” 6 Frege opgav imidlertid sit program
ved fremkomsten af Russells paradoks (se nedenfor), som overbeviste ham
om, at mængdelæren ikke kunne være konsistent.
Hilberts vel nok mest prestigefyldte programpunkt, var det tiende, som omhandlede
selve matematikkens konsistens. Hilbert og matematikerne i denne
4 Appendiks til “Brudstykker af den matematiske logik” i [2]
5 [2] s. 27
6 [10] s. 269
3

tid søgte at vise at matematikken var konsistent ved alment accepterede
ubetvivlelige metoder.
Vi gør opmærksom p˚a, at Hilbert og hans samtid tilsyneladende ikke gjorde
sig nogle tanker om, at der kunne være systemer, som ikke var fuldstændige,
hvilket skal ses i den tilsyneladende rimelige antagelse, at hvis en matematisk
sætning er sand, s˚a vil den ogs˚a kunne bevises.
4 Hilberts program: Et paradigme?
4.1 Paradigmedefinition
Kuhn er selv noget upræcis i sin paradigmedefinition og bruger forskellige
definitioner over tid. Han sammenligner selv med med Wittgensteins “spil”diskussion:
at man ikke kan definerer begrebet spil, uden enten at udelukke
ting, man normalt vil beskrive som et spil, eller p˚a den anden side, at denne
definition vil indeholde ting, der normalt ikke vil karakteriseres som spil. 7 I
det følgende vil vi bruge Chalmers karakterisering:
“Et paradigme best˚ar af nogle generelle teoretiske antagelser samt love og
teknikker for anvendelsen af disse, som medlemmerne af et videnskabeligt
samfund vælger at tilslutte sig. De videnskabsmænd, som arbejder inden for
et paradigme – hvad enten det er Newtons mekanik, bølgeoptikken eller den
analytiske kemi – praktiserer det, som Kuhn kalder normalvidenskab. Det
vil sige, at de konkretiserer og videreudvikler deres paradigme, i forsøg p˚a
inden for de givne rammer at finde plads til og at redegøre for, hvordan en
eller anden relevant del af verden opfører sig, s˚adan som det viser sig under
forsøg.” 8
4.2 Hilberts paradigme
Med formaliseringen af matematikken opstod en “matematisk metode”. Man
fik et ideal for, hvordan en god matematisk teori skulle formuleres. En standard
der gjorde, at man, selvom man arbejdede indenfor s˚a vidt forskellige
omr˚ader som geometrien eller aritmetikken, p˚a væsentlig m˚ade arbejdede
ens. Nok vil en matematiker i sit daglige arbejde næppe spekulere videre
over disse underliggende rammer, men han vil have en forestilling om, at
hans resultater i princippet vil kunne formaliseres.
Netop det at et helt matematisk samfund arbejder med samme m˚alsætning
7 [8] s. 146
8 [8] s. 141
4

udfra samme kriterier, er en af de egenskaber, som et paradigme har i Kuhns
teori. Vi kan da sige, at Hilberts program og tids˚anden i det matematiske
samfund p˚a hans tid kan fastlægge en matematisk normalvidenskab. Denne
idé om matematikkens formalisering og konsistens vil vi derfor i det følgende
kalde for Hilberts paradigme. Vi fremhæver dog, at dette navn skal ikke tages
for bogstaveligt.
Spørger man om der fandtes et paradigme inden for matematikken p˚a Hilberts
tid, er det p˚a sin plads ogs˚a at spørge om der fandtes et forudg˚aende
paradigme.
Det var først under det vi kalder for Hilberts paradigme, at man begyndte
at undersøge matematikkens grundlag i større omfang, s˚a det giver ikke mening
at tale om et tidligere paradigme inden for denne gren af matematikken.
Derimod giver det fuld mening netop at karakterisere Hilberts paradigme
herved, for det var tilsyneladende de nye matematiske erkendelser der førte
til at matematikerne begyndte at vende deres interesse mod matematikkens
grundlag. Overordnet mener vi der fantes et paradigme før Hilberts. Dette
paradigme kan vi kalde “det græske paradigme”. Jesper Lützen har i kompendiumet
i naturfilosofi 9 , argumenteret for dette paradigmes eksistens, som
han kalder græsk matematik. Lützen opstiller et slags program for det græske
paradigme. 10 Dette paradigme bliver endvidere af Lützen karakteriseret
ved at have en forbindelse tæt forbindelse til virkeligheden.
I slutningen af det 19. ˚arhundrede tog man konsekvensen af forskningen
inden for geometrien og konstruktionen af den ikke-euklidiske geometrier.
Man gik væk fra opfattelsen om at matematikken beskrev virkeligheden,
idet man inds˚a, det var en fordel at behandle rent abstrakte størrelser og
opstille aksiomskemaer som ikke refererede til virkeligheden. Man brugte
stadig ord som flader, linier og punkter, men undlod at forklare deres natur,
modsat Euklid som for eksempel eksplicit havde beskrevet et punkt, som
“det der ikke kan deles” 11 .
I stedet lod man begrebere være beskrevne implicit i aksiomerne, s˚aledes at
man først med tiden og erfaringen ville f˚a en fuld forst˚aelse af deres mening.
P˚a denne m˚ade undgik man forudfattede meninger om begrebernes egenskaber.
Ideen om at løsrive matematikken fra virkeligheden gav anledning til
at se nærmere p˚a matematikkens grundlag, for n˚ar man ikke længere kunne
sammenligne med naturen, kunne man s˚a være sikker p˚a at disse nye systemer
var konsistente? Hvordan kunne man være sikker p˚a de nye geometrier
var konsistente (og fuldstændige)? Vi ser alts˚a, at der er to væsentlige forskelle
mellem det græske paradigme og Hilberts paradigme. Under Hilberts
9 Se Jesper Lützens biddrag til [7]
10 [7] s. 179
11 [7] s. 177
5

program søgte man (1) at løsrive matematikken fra virkeligheden og dermed
at redefinere hvad matematikken handler om og derfor (2) at finde metoder
til at vise at systemer var konsistente (og fuldstændige).
4.2.1 Principia Matematica
Et interessant biddrag til matematikken, som karakterisere Hilberts paradigme,
var Principia Matematica som udkom i ˚arene 1910–1913. Principia
Matematica var A. N. Whitehead og Bertrand Russells forsøg p˚a at reducere
matematikken til formel logik.
4.3 Anomalier og kriser
Under Hilberts paradigme opstod i overensstemmelse med Kuhns beskrivelse,
en række anomalier under normalvidenskaben. Som Kuhn ogs˚a beskriver
det i sin teori, forkaster man ikke med det samme paradigmet, som
de ekstreme falsifikationister ville blive nød til at gøre det, men arbejder i
stedet p˚a løse anomalierne inden for paradigmet. Vi vil i det følgende give
eksempler p˚a anomalier som opstod, nemlig Russells og Cantors paradokser,
og vi vil p˚a samme tid vise, hvordan man kom med forskellige bud p˚a,
hvordan de kunne omg˚as.
4.3.1 Cantors mængdelære
Den tyske matematiker Cantor formaliserede i ˚arene 1874 til 1897 en teori
om mængder. Cantor forestillede sig, at en mængde kunne bestemmes
fuldstændigt ud fra egenskaber om elementerne, det s˚akaldte komprehensionsprincip.
F.eks. kan vi danne mængden af filosoffer ved betingelsen “x
er en filosof”. Mere præcist hvis P (x) er prædikatet “x er en filosof”, s˚a kan
vi danne mængden af filosoffer {x | P (x)}. Vi fremhæver, at Cantors komprehensionsprincip
ikke vælger filosoffer ud fra nogen overordnet mængde,
f.eks. mængden af europæere.
4.3.2 Russells paradoks
Russells paradoks opst˚ar, n˚ar man ser p˚a mængden af mængder, kald den M,
der ikke indeholder sig selv. Denne kan dannes ved betingelsen “x m˚a ikke
tilhøre sig selv”. Problemet opst˚ar nu, hvis vi spørger om M tilhører sig selv,
for s˚a f˚ar vi, at M tilhører sig selv hvis og kun hvis M ikke tilhører sig selv,
hvilket er absurd. Mere billedrigt kunne man kigge p˚a Regimentsbarberen,
der f˚ar befalet, at han skal barbere alle i regimentet, som ikke barberer sig
6

selv. Skal barberen barbere sig selv? Den stakkels barber ved nu ikke r˚ad,
for ligemeget hvad han gør, er det forkert.
Den matematiske pendant til opfattelsen om at “en mængde kan bestemmes
udfra bestemte egenskaber” er komprehensionsprincippet, hvilket viser, at
der m˚a være problemer med dette.
4.3.3 Cantors paradoks
Cantors motivation for at indføre mængdelæren var hans studier af en udvidelse
af talbegrebet i form af uendelig kardinaltal. For en mængde X betegner
dens kardinalitet card X antallet af elementer. Ved komprehensionsprincippet
kan vi danne mængden P(X) af alle delmængder af X. Cantor
viste følgende egenskaber ved kardinaltallene: 12
card X < card P(X) (1)
X ⊆ Y ⇒ card X ≤ card Y (2)
Vi lader nu igen M betegne mængden af alle mængder. Derfor m˚a specielt
P(M) ⊆ M, s˚a ved (2) m˚a card P(M) ≤ card M. Omvendt giver (1),
at card M < card P(M), hvilket leder til en modstrid. Dette er Cantors
paradoks.
4.3.4 Russells typeteori
Opdagelsen af Russells paradoks fik Russell til at formulere typeteorien, hvor
begreber inddeles i forskellige typer, s˚aledes at første lag, type 1, indeholder
elementer, mens type 2 indeholder mængder af elementer, type 3 indeholder
mængder af mængder af elementer og s˚a fremdeles. En mængde af type n
kan kun indeholde mængder af type n−1, mens den kun kan være indeholdt
i en mængde af type n + 1. S˚aledes kunne Russell afværge sit eget paradoks,
fordi han med typeteorien fik fastlagt et skema, for hvorn˚ar et begreb giver
mening. Mængden af alle mængder er i typeteorien et meningsløst begreb,
fordi det sammenblander de forskellige typer af mængder. Det skal her fremhæves,
at det giver fuldstændig mening at tale om mængden af alle mængder
af en bestemt type, og at denne ikke indeholder sig selv.
Russells typeteoris styrke er, at den forkaster paradokser som Russells, med
henvisning til at paradokset sammenblander niveauerne. Det viser sig dog
ogs˚a at være dens svaghed. “I denne bog kritiserer jeg typeteorien,” skriver
Hofstadter i [1] s. 22, som vel nok det mest rammende eksempel p˚a
12 [6] s. 1.11 samt en triviel anvendelse af definitionen s. 1.10
7

typeteoriens svaghed. Hofstadters pointe er, at en s˚adan sætning ville være
meningsløs ifølge typeteorien, fordi ord som “bogen” og “jeg” i sætningen
er selvrefererede og dermed meningsløse med mindre de bliver udtalt i metasproget.
Selvom man kan hævde, at typeteorien omhandler matematisk
formalisme og ikke hverdagssproget, som i dette eksempel, kan man spørge
om det, n˚ar nu paradokser som Russells meget vel lader sig formulere i
hverdagssproget, ikke er rimeligt at forvente, at løsningen ogs˚a ville gælde
herfor? Det er ogs˚a klart, at typeteorien bringer matematikken ud i en meget
snæver balancegang mellem, hvad der er meningsfuldt, og hvad der ikke
er meningsfuldt at sige, og man kan spørge, om den ikke g˚ar for vidt i sin
indsnævring af meningsfulde udsagn.
4.3.5 Aksiomatisk mængdelære
En mere lovende vej ud af Russell paradoks og lignende paradokser kom, da
man forsøgte at skifte Cantors naive mængdelære ud med en aksiomatisk. I
den nye aksiomatiske mængdelære var komprehensionsprincippet blevet til
et aksiom. Ernst Zermelo foreslog at ændre det, s˚a det kun var tilladt at
definere en mængde fra et prædikat som en delmængde af en mængde, der i
forvejen var givet. Det vil sige, at vi, da vi dannede mængden af filosoffer, ud
fra prædikatet “x er filosof” var nødte til at angive en allerede eksisterende
mængde. For eksempel kunne vi danne mængden af filosoffer {x ∈ M | P (x)},
hvor M er mængden af mennesker.
5 Opgør med Hilberts program
5.1 Løgnerparadokset
Der var et paradoks, som stadig stod uløst tilbage, og som ikke kunne fjernes
ved modifikationer af aksiomerne, s˚adan som for eksempel Russells og
Cantors paradokser blev det ved komprehensionsaksiomet. Dette er helt i
overensstemmelse med Kuhns ideer om problemer, der ikke kan elimeres i
forbindelse med et paradigmeskift. Dette paradoks var ældre end de to andre
og har sin første datering omkring 500 f.v.t. da Epimenides fra Kreta
udbrød: “Alle kretensere lyver!” Senere skulle der komme mange versioner
af dette paradoks. Vi vil i det følgende benytte os af formuleringen: “Denne
sætning er falsk.” Prøver vi at forestille os, at sætningen er sand, m˚a vi
acceptere, at den er falsk, og omvendt, hvis vi forestiller os, at den er falsk,
m˚a vi konkludere, at den er sand. En vigtig egenskab ved løgnerparadokset
er, at udsagnet i sætningen er et udsagn om sætningen selv.
8

5.2 Gödels første sætning
Gödels idé var at formulere et selvrefererende udsagn inden for matematikken
i stil med løgnerparadokset. 13
Sætningen kan formuleres p˚a følgende m˚ade: 14
Gödels første ufuldstændighedssætning. I ethvert konsistent system af
tilstrækkelig styrke eksisterer der en sætning, som hverken kan bevises eller
modbevises. 15
Gödels sætning skal ses som en reaktion p˚a opfattelsen om at matematik
kan opbygges logisk fra grunden, som ligger til grund for Principia Mathematica,
og Gödels oprindelig formulering var da ogs˚a, at i et system som det
formuleret i Principia Mathematica og dermed beslægtede systemer findes
sætninger, som ikke kan afgøres formelt. 16
5.3 Gödel-tal
Gödel forstod at formulere talteoretiske udsagn fra Principia Mathematica
i talteorien selv, p˚a samme m˚ade som løgnerparadokset indeholder udsagn,
der omhandler sig selv.
For at forst˚a dette, er det nyttigt at forestille sig matematiske udsagn skrevet
p˚a en skrivemaskine med matematiske symboler som:
¬, ∨, ∧, ⇒, ⇔, (, ), ∀, ∃, . . . , x1, x2, . . .
Disse symboler kan afbildes injektivt 17 ind i de naturlige tal N ved f.eks. at
lade
g(¬) = 1
g(∨) = 2
g(∧) = 3
.
Vi kan nu definere en injektiv afbildning af matematiske udsagn ind i N, ved
for et udsagn s1 . . . sk at lade
G(s1 · · · sk) = p g(s1)
1
· · · p g(sk)
k ,
13
[1] s. 17
14
[3] s. 21
15
Med tilstrækkelig styrke menes et system som tillader andenordens prædikatlogik, og
derved tillader sætninger, der omhandler systemet selv
16
[1] s. 17: “Om sætninger, som ikke kan afgøres formelt i Principia Mathematica og
dermed beslægtede systemer I”
17
Det vil sige, at der til hvert tal knyttes en entydig tekststreng
9

hvor pi er det i’te primtal. G(s1 · · · sk) kaldes udsagnets Gödel-tal. 18 Dette giver
den ønskede repræsentation af et talteoretisk udsagn som et tal selv, som
derved Gödel derved kunne benytte talteorien p˚a. Udsagnene i talteorien er
typisk frembragt af prædikater, som vi via Gödel-tallene kan kvantisere over.
Derved bevæger vi os op i andenordens prædikatkalkylen.
5.4 Gödels anden sætning
Vigtig er ogs˚a Gödels anden sætning, som lidt løst kan formuleres p˚a følgende
m˚ade.
Gödels anden ufuldstændighedssætning. Hvis et formelt system af tilstrækkelig
styrke er konsistent, da kan konsistensp˚astanden ikke bevises i
systemet selv. 19
Et bevis for en stor matematisk teori m˚a nødvendigvis indeholde udsagn
fra den anden ordens prædikatlogik og er s˚aledes begrænset af Gödels første
sætning. Det er da let at forestille sig, at der vil findes et udsagn i systemet
hvortil der ikke vil findes et bevis for, at udsagnet ikke b˚ade kan bevises og
modbevises.
5.5 Det nye paradigme
Med Gödels sætninger har vi et opgør med tanken om at man med matematiske
metoder kan bevise matematikkens konsistens, og dermed et opgør
med hele den optimisme, der l˚a i Hilberts program. Hvor Hilbert havde forestillet
sig, at man med tiden ville kunne bevise systemernes konsistens kom
Gödel alts˚a med et bevis for, at det aldrig ville kunne lade sig gøre.
I stedet for at have forh˚abninger om, at man kan bevise et systems konsistens
arbejder matematikerne nu problemstillinger af typen: “Hvis system
A er konsistent, s˚a er system B ogs˚a konsistent.” Et eksempel p˚a dette,
er den aksiomatiske mængdelære med Zermelo-Fraenkel-aksiomerne. Gödel
viste, at hvis Zermelo-Fraenkel er konsistent, s˚a er Zermelo-Fraenkel med
udvalgsaksiomet ogs˚a konsistent. 20 Vi fremhæver, at man endnu ikke har
vist om Zermelo-Fraenkel er konsistent.
18 Gödel-tal er ogs˚a omtalt i [5] s. 252 og [3]
19 Formulering er taget fra [3]
20 [6] s. 1.23
10

5.5.1 Paradigmeovergangen
Vigtigt for Kuhns forestilling om paradigmeskift er, at b˚ade det gamle og
det nye paradigme vil eksisterer og have tilhængere i en overgangsperiode.
Tilhængerne af hver af de to paradigmer har forskellige præmisser for gyldige
argumenter i henhold til hver deres opfattelse af normalvidenskab. Tilhængerne
af det gamle paradigme, kan derfor meget vel vurdere dette paradigme
– udfra paradigmets egne præmisser – bedre end det nye paradigme. Først
n˚ar der er et tilstrækkelig stort antal argumenter for at skifte til det nye paradigme,
vil tilhængerne af det gamle begynde at revurdere deres opfattelse.
Kuhn sammenligner ifølge Chalmers 21 videnskabelige revolutioner i form
af paradigmeskift med politiske revolutioner. Han nævner, at der sjældent
findes tvingende logiske argumenter eller blot sandsynliggørelser for at vælge
et vælge et nyt paradigme, men at valget ofte er styret af psykologiske eller
sociologiske faktorer i videnskabsmiljøet.
Denne manglende tilstedeværelse af logiske argumenter for et nyt paradigme
kan selvsagt ikke komme p˚a tale, n˚ar vi forsøger at beskrive en videnskabelig
udvikling i matematikken med Kuhns teori. P˚a grund af matematikkens
absoluthed – n˚ar man har et bevis for en p˚astand, kan den ikke tilbagedrives
– er man tvunget til at acceptere sætningerne og derefter forkaste sit
paradigme hvis det ikke stemmer overens hermed.
“Man kan ikke opstille et simpelt kriterium, p˚a grundlag af hvilket videnskabsmanden
kan vurdere et paradigmes potentiale eller værdi,” skriver
Chalmers videre om Kuhns teori, men dette gælder som nævnt ikke for
matematikken, da et s˚adant simpelt kriterium i nærværende eksempel er
Gödels sætninger.
5.5.2 Inkommensurabilitetskriteriet
Kuhn taler om, at to paradigmer ikke kan tale sammen fordi de definerer
begreberne forskelligt, og at de s˚a at sige har to verdenssyn. Chalmer formulerer
Kuhns tanker s˚aledes: “Desuden vil tilhængere af konkurrerende
paradigmer anerkende forskellige normer og vil endda betragte verden p˚a
helt forskellige m˚ader og beskrive den i forskellige sprog.” 22
Spørgsm˚alet er, om dette er tilfældet i vores eksempel. Det er rigtigt, at de to
paradigmers verdensopfattelse er stærkt divergerende. I det første paradigme
var matematikerne frie til at lave vidstrakte teorier, mens matematikere
efter Gödel hele tiden er underlagt begrænsninger. Man kan nemt forestille
21 [8] s. 151
22 [8] s. 151
11

sig forsøg p˚a teorier og m˚aske hele grene af matematikken, som under det
første paradigme kunne udvikles bekymringsløst, men være direkte umulig
nonsense efter Gödel. Men at sige at de to ikke kunne tale sammen er at
g˚a for vidt. Som et glimrende eksempel kan fremhæves, at Hilbert faktisk
senere forbedrede og styrkede Gödels beviser. 23 .
Ang˚aende ovenst˚aende citat er det rigtigt nok, at matematikere under Hilberts
og Gödels paradigme i et vist omfang vil arbejde inden for forskellige
standarder og at de vil se p˚a verden p˚a forskellig m˚ade, som vi allerede har
gjort rede for, men at sige at de taler et forskelligt sprog er ikke sandt inden
for matematikken, netop fordi matematik er et logisk sprog og at logikkens
metode som regel ikke ændres under skiftet. 24
5.6 Er endnu et paradigmeskift muligt?
Vi har p˚apeget visse sammenhænge mellem paradigmeteorien og udviklingen
inden for matematikkens grundlagsforskning, og det kan nu være p˚a sin
plads at spørge om denne gren ogs˚a i fremtiden vil følge Kuhns teori, og om
endnu et paradigme vil være mulig. Thomas Bolander og Helge Elbrønd Jensen
skriver i [3] s. 28: “Der er helt klart fundamentale erkendelser omkring
det generelle forhold imellem “noget, der repræsenterer” og “det, det repræsenterer”
som endnu venter p˚a at blive afklaret. Før disse fundamentale
erkendelser er p˚a plads, f˚ar vi næppe den fulde forst˚aelse for rækkevidden og
betydningen af Gödels sætning.” De mener alts˚a, det er muligt, eller i hvert
fald at det sidste ord ikke er sagt i den sag, at der vil komme resultater,
som vil kaste nyt lys p˚a paradokserne og Gödels bevis. Man kan sige, at
matematikkens resultater rent objektivt set er ubetvivleligt sande, men der
hører til matematikken altid en række fortolkninger; især om hvad sætningerne
egentligt taler om. Der er for eksempel langt fra ovennævnte skepsis
til Tor Nørretranders, der synes, at kunne udlede næsten hvad som helst fra
Gödels sætning, for eksempel skriver han: “Gödel beviste, at mennesker ved
mere end de kan vide, hvorfra de ved.” 25 Dette er i bund og grund meget
spekulativt og p˚a den m˚ade kan man sagtens forestille sig, at der i fremtiden
vil komme resultater der sætter andre grænser end de nuværende, og at de
vil ændre nutidens opfattelse.
Man kan sige, at matematikkens beviser er endegyldige, ligesom det nok er
de færreste, der vil betvivle lysafbøjningseksperimentet ved solformørkelsen
23 [4] s. 68
24 Som eksempel p˚a at logik kan ændre sig, kan nævnes at superpositionsprincippet
indenfor kvantemekanikken, som er i strid med den klassiske logik, har f˚aet matematikeren
John von Neumann til at fremsætte en kvantelogik; for en kort beskrivelse heraf se [9] s.
37–38.
25 [4] s. 70; flere eksempler i kapitel 3 i denne
12

i 1919, som var det første afgørende bevis for den generelle relativitetsteori,
men der kan sagtens komme nye resultater indenfor matematikken i form af
nye overraskende sætninger, der kan ændre matematikernes tilgang til deres
fag, p˚a samme m˚ade som mange fysikere mener, der vil komme fænomener,
man ikke vil kunne forklare via relativitetsteorien som den st˚ar i dag.
13

6 Konklusion
Vi kan konkludere, at det til en vis grad giver mening at tale om et paradigmeskift
som følge af Gödels sætninger. Vi har set at det s˚akaldte Hilberts
paradigme opfyldte Kuhns teori om normalvidenskab, kriser og paradigmeskift,
men at hans inkommensurabilitetskriterium ikke er opfyldt.
14

7 Litteratur
[1] Douglas R. Hofstadter: Gödel, Escher, Bach: Et evigt gyldent b˚and,
Aschehoug, København, 1992
[2] Flemming Topsøe: Introduktion til abstrakt matematik, HCØ Tryk,
København, 2000
[3] Thomas Bolander og Helge Elbrønd Jensen: Om Gödels sætning, Normat,
hft. 1 (2002), s. 15–29
[4] Tor Nørretranders: Mærk verden, Gyldendal, København, 1991
[5] Vincent F. Hendricks og Stig Andur Pedersen: Moderne elementær logik,
Høst & Søns Forlag, København, 2002
[6] Christian Berg: Topologi, HCØ Tryk, København, 1997
[7] Claus Emmeche: Kompendium i naturfilosofi, Niels Bohr instituttet,
København, 2002
[8] Alan Chalmers: Hvad er videnskab?, Gyldendal, København, 1995
[9] John Polkinghorne: Quantum Theory – A Very Short Introduction, Oxford
University Press, Oxford, 2002
[10] Poul Lübcke m.fl.: Politikens filosofi leksikon, Politikens forlag, København,
1996
15