Om Gödels bevis og karakteren af matematisk tænkning

More documents

Recommendations

Info

Indhold 1 Problemformulering 1 2 Indledning 1 3 Formelle systemer 2 3.1 Udsagnskalkylen og formelle beviser . . . . . . . . . . . . . . 2 3.2 Konsistens og fuldstændighed . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3.3 Prædikatkalkylen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3.4 Hilberts program . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 Hilberts program: Et paradigme? 4 4.1 Paradigmedefinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4.2 Hilberts paradigme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4.2.1 Principia Matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4.3 Anomalier og kriser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4.3.1 Cantors mængdelære . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4.3.2 Russells paradoks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4.3.3 Cantors paradoks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4.3.4 Russells typeteori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4.3.5 Aksiomatisk mængdelære . . . . . . . . . . . . . . . . 8 5 Opgør med Hilberts program 8 5.1 Løgnerparadokset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 5.2 Gödels første sætning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 5.3 Gödel-tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 5.4 Gödels anden sætning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 5.5 Det nye paradigme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 5.5.1 Paradigmeovergangen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 5.5.2 Inkommensurabilitetskriteriet . . . . . . . . . . . . . . 11 5.6 Er endnu et paradigmeskift muligt? . . . . . . . . . . . . . . . 12 6 Konklusion 14 7 Litteratur 15 i
1 Problemformulering Vi vil undersøge, om man kan karakterisere udviklingen fra 1850’erne til 1930’erne indenfor matematikkens grundlagsforskning udfra Kuhns begreber om paradigmer, anomalier og kriser. Herunder vil vi se p˚a om inkommensurabilitetskriteriet opfyldes. 2 Indledning “Wir müssen wissen, wir werden wissen.” Sagde Hilbert i en stor tale i Königsberg i 1930. 1 Denne sætning opsummerer ganske godt den idé som matematikerne i ˚artierne op til det ˚ar havde arbejdet udfra. Siden kvantorerne blev introduceret i sidste halvdel af det 19. ˚arhundrede af Frege og Peirce, var der sket store fremskridt inden for matematikken. Det var lykkedes at formalisere store dele af den klassiske matematik, og der var opn˚aet en række interessante resultater inden for den matematiske grundlagsforskning, især med henblik p˚a at sammenfatte matematikken og logikken. Det s˚a lovende ud, s˚a lovende at det havde f˚aet Hilbert til at formulere et program over hvilke resultater, man skulle løse inden for den nærmeste fremtid. Det ville ikke vare længe inden matematikkens grundlag var klarlagt og dens konsistens bevist (se nedenfor). Det var det Hilbert mente, da han sagde de berømte ord. Gennem ˚arene blev der eksperimenteret med kvantorerne p˚a lidt tynd baggrund 2 , som man tidligere havde eksperimenteret p˚a tyndt grundlag inden for andre grene af matematikken; for eksempel ved differentialregningens fremkomst. Denne ubekymrethed resulterede i, at paradokser opstod. Nogle af disse blev afhjulpet ved at ændre p˚a nogle enkelte principper, uden at det havde nogen større konsekvens for matematikken som s˚adan. Alligevel skulle det blive et af disse paradokser, nemlig løgnerparadokset (se nedenfor), der viste sig fatalt for Hilbert og hans samtids idé. ˚Aret efter at Hilbert havde holdt sin tale i Königsberg blev denne tanke forkastet for evigt med publikationen af Gödels ufuldstændighedsbeviser, som skulle vise sig at lægge stramme begrænsninger for, hvad matematik kan udtale sig om. Vores idé med opgaven er at se p˚a matematikkens grundlagsforskning gennem de cirka hundrede˚ar mellem Freges indførelse af kvantorerne i midten af det 19. ˚arhundrede frem til tiden efter Gödels publikation af Gödels sætninger. Vi vil se p˚a, om man kan tale om, at det var et egentligt paradigmeskift der var følgerne af Gödels sætninger. Vi vil se p˚a, om Hilberts program kan 1 [4] s. 64 2 [5] s. 239 1
Page 1: Om Gödels bevis og karakteren af m
Page 5 and 6: Man kan vise, at udsagnskalkylen er
Page 7 and 8: udfra samme kriterier, er en af de
Page 9 and 10: selv. Skal barberen barbere sig sel
Page 11 and 12: 5.2 Gödels første sætning Gödel
Page 13 and 14: 5.5.1 Paradigmeovergangen Vigtigt f
Page 15 and 16: i 1919, som var det første afgøre
Page 17: 7 Litteratur [1] Douglas R. Hofstad

Om Gödels bevis og karakteren af matematisk tænkning

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?