Om Gödels bevis og karakteren af matematisk tænkning

hvor pi er det i’te primtal. G(s1 · · · sk) kaldes udsagnets Gödel-tal. 18 Dette giver
den ønskede repræsentation af et talteoretisk udsagn som et tal selv, som
derved Gödel derved kunne benytte talteorien p˚a. Udsagnene i talteorien er
typisk frembragt af prædikater, som vi via Gödel-tallene kan kvantisere over.
Derved bevæger vi os op i andenordens prædikatkalkylen.
5.4 Gödels anden sætning
Vigtig er ogs˚a Gödels anden sætning, som lidt løst kan formuleres p˚a følgende
m˚ade.
Gödels anden ufuldstændighedssætning. Hvis et formelt system af tilstrækkelig
styrke er konsistent, da kan konsistensp˚astanden ikke bevises i
systemet selv. 19
Et bevis for en stor matematisk teori m˚a nødvendigvis indeholde udsagn
fra den anden ordens prædikatlogik og er s˚aledes begrænset af Gödels første
sætning. Det er da let at forestille sig, at der vil findes et udsagn i systemet
hvortil der ikke vil findes et bevis for, at udsagnet ikke b˚ade kan bevises og
modbevises.
5.5 Det nye paradigme
Med Gödels sætninger har vi et opgør med tanken om at man med matematiske
metoder kan bevise matematikkens konsistens, og dermed et opgør
med hele den optimisme, der l˚a i Hilberts program. Hvor Hilbert havde forestillet
sig, at man med tiden ville kunne bevise systemernes konsistens kom
Gödel alts˚a med et bevis for, at det aldrig ville kunne lade sig gøre.
I stedet for at have forh˚abninger om, at man kan bevise et systems konsistens
arbejder matematikerne nu problemstillinger af typen: “Hvis system
A er konsistent, s˚a er system B ogs˚a konsistent.” Et eksempel p˚a dette,
er den aksiomatiske mængdelære med Zermelo-Fraenkel-aksiomerne. Gödel
viste, at hvis Zermelo-Fraenkel er konsistent, s˚a er Zermelo-Fraenkel med
udvalgsaksiomet ogs˚a konsistent. 20 Vi fremhæver, at man endnu ikke har
vist om Zermelo-Fraenkel er konsistent.
18 Gödel-tal er ogs˚a omtalt i [5] s. 252 og [3]
19 Formulering er taget fra [3]
20 [6] s. 1.23
10