Om Gödels bevis og karakteren af matematisk tænkning

ses som værende et paradigme, der langsomt tager form fra at være en prævidenskab
til at være et egentligt paradigme, som s˚a gennemlever kriser og til
sidst udskiftes med et nyt paradigme. Og i s˚a fald hvad der karakterisere
det nye paradigme, og om der kan komme et nyt paradigmeskift.
Vi vil føre paradigmeundersøgelsen gennem en udredning af, hvad der menes
med formalisme, konsistens og fuldstændighed.
3 Formelle systemer
Som vi senere skal se, spiller formelle systemer en afgørende rolle for Gödels
to sætninger, og for vores diskussion af et muligt paradigmeskift i matematikken.
I stedet for at beskrive formelle systemer generelt g˚ar vi direkte
til sagen, idet vi mener vor gennemgang af følgende eksempler p˚a formelle
systemer vil tjene som en forklaring af hvad et formelt system er. 3
3.1 Udsagnskalkylen og formelle beviser
I udsagnskalkylen beskæftiger vi os udenlukkende med udsagn sammensat af
logiske konnektiver (¬, ∨, ∧, ⇒ og ⇔), s˚asom “bordet er grønt eller stolen
er rød”. To udsagn U og V siges at være ækvivalente hvis U ⇔ V er en
tautologi. Desudes siger vi, at V er en logisk konsekvens af U hvis og kun
hvis implikationen U ⇒ V gælder og vi skriver U |= V .
Med en logisk slutning menes en streng af præmisser P1, . . . , Pn og en konklusion
K. Vi siger, slutningen er gyldig hvis P1 ∧ · · · ∧ Pn |= K. Desuden
findes en række slutningsregler f.eks. modus ponens U ⇒ V ∧ U |= V .
Ved et formelt bevis for en logisk slutning, menes en streng af sammensatte
udsagn, samt en konklusion, hvor hvert udsagn fremkommer ved at bruge
slutningsreglerne.
3.2 Konsistens og fuldstændighed
Et system siges at være konsistent (modsigelsesfrit) hvis der ikke findes
formelle beviser for b˚ade U og ¬U for noget udsagn U. Med et fuldstændigt
system, menes at for ethvert udsagn i systemet har enten U eller ¬U et
formelt bevis.
logik”
3 En mere uddybende forklaring kan ses i [2] i afsnittet “Brudstykker af den matematiske
2