Om Gödels bevis og karakteren af matematisk tænkning

udfra samme kriterier, er en af de egenskaber, som et paradigme har i Kuhns
teori. Vi kan da sige, at Hilberts program og tids˚anden i det matematiske
samfund p˚a hans tid kan fastlægge en matematisk normalvidenskab. Denne
idé om matematikkens formalisering og konsistens vil vi derfor i det følgende
kalde for Hilberts paradigme. Vi fremhæver dog, at dette navn skal ikke tages
for bogstaveligt.
Spørger man om der fandtes et paradigme inden for matematikken p˚a Hilberts
tid, er det p˚a sin plads ogs˚a at spørge om der fandtes et forudg˚aende
paradigme.
Det var først under det vi kalder for Hilberts paradigme, at man begyndte
at undersøge matematikkens grundlag i større omfang, s˚a det giver ikke mening
at tale om et tidligere paradigme inden for denne gren af matematikken.
Derimod giver det fuld mening netop at karakterisere Hilberts paradigme
herved, for det var tilsyneladende de nye matematiske erkendelser der førte
til at matematikerne begyndte at vende deres interesse mod matematikkens
grundlag. Overordnet mener vi der fantes et paradigme før Hilberts. Dette
paradigme kan vi kalde “det græske paradigme”. Jesper Lützen har i kompendiumet
i naturfilosofi 9 , argumenteret for dette paradigmes eksistens, som
han kalder græsk matematik. Lützen opstiller et slags program for det græske
paradigme. 10 Dette paradigme bliver endvidere af Lützen karakteriseret
ved at have en forbindelse tæt forbindelse til virkeligheden.
I slutningen af det 19. ˚arhundrede tog man konsekvensen af forskningen
inden for geometrien og konstruktionen af den ikke-euklidiske geometrier.
Man gik væk fra opfattelsen om at matematikken beskrev virkeligheden,
idet man inds˚a, det var en fordel at behandle rent abstrakte størrelser og
opstille aksiomskemaer som ikke refererede til virkeligheden. Man brugte
stadig ord som flader, linier og punkter, men undlod at forklare deres natur,
modsat Euklid som for eksempel eksplicit havde beskrevet et punkt, som
“det der ikke kan deles” 11 .
I stedet lod man begrebere være beskrevne implicit i aksiomerne, s˚aledes at
man først med tiden og erfaringen ville f˚a en fuld forst˚aelse af deres mening.
P˚a denne m˚ade undgik man forudfattede meninger om begrebernes egenskaber.
Ideen om at løsrive matematikken fra virkeligheden gav anledning til
at se nærmere p˚a matematikkens grundlag, for n˚ar man ikke længere kunne
sammenligne med naturen, kunne man s˚a være sikker p˚a at disse nye systemer
var konsistente? Hvordan kunne man være sikker p˚a de nye geometrier
var konsistente (og fuldstændige)? Vi ser alts˚a, at der er to væsentlige forskelle
mellem det græske paradigme og Hilberts paradigme. Under Hilberts
9 Se Jesper Lützens biddrag til [7]
10 [7] s. 179
11 [7] s. 177
5