Om Gödels bevis og karakteren af matematisk tænkning

More documents

Recommendations

Info

program søgte man (1) at løsrive matematikken fra virkeligheden og dermed at redefinere hvad matematikken handler om og derfor (2) at finde metoder til at vise at systemer var konsistente (og fuldstændige). 4.2.1 Principia Matematica Et interessant biddrag til matematikken, som karakterisere Hilberts paradigme, var Principia Matematica som udkom i ˚arene 1910–1913. Principia Matematica var A. N. Whitehead og Bertrand Russells forsøg p˚a at reducere matematikken til formel logik. 4.3 Anomalier og kriser Under Hilberts paradigme opstod i overensstemmelse med Kuhns beskrivelse, en række anomalier under normalvidenskaben. Som Kuhn ogs˚a beskriver det i sin teori, forkaster man ikke med det samme paradigmet, som de ekstreme falsifikationister ville blive nød til at gøre det, men arbejder i stedet p˚a løse anomalierne inden for paradigmet. Vi vil i det følgende give eksempler p˚a anomalier som opstod, nemlig Russells og Cantors paradokser, og vi vil p˚a samme tid vise, hvordan man kom med forskellige bud p˚a, hvordan de kunne omg˚as. 4.3.1 Cantors mængdelære Den tyske matematiker Cantor formaliserede i ˚arene 1874 til 1897 en teori om mængder. Cantor forestillede sig, at en mængde kunne bestemmes fuldstændigt ud fra egenskaber om elementerne, det s˚akaldte komprehensionsprincip. F.eks. kan vi danne mængden af filosoffer ved betingelsen “x er en filosof”. Mere præcist hvis P (x) er prædikatet “x er en filosof”, s˚a kan vi danne mængden af filosoffer {x | P (x)}. Vi fremhæver, at Cantors komprehensionsprincip ikke vælger filosoffer ud fra nogen overordnet mængde, f.eks. mængden af europæere. 4.3.2 Russells paradoks Russells paradoks opst˚ar, n˚ar man ser p˚a mængden af mængder, kald den M, der ikke indeholder sig selv. Denne kan dannes ved betingelsen “x m˚a ikke tilhøre sig selv”. Problemet opst˚ar nu, hvis vi spørger om M tilhører sig selv, for s˚a f˚ar vi, at M tilhører sig selv hvis og kun hvis M ikke tilhører sig selv, hvilket er absurd. Mere billedrigt kunne man kigge p˚a Regimentsbarberen, der f˚ar befalet, at han skal barbere alle i regimentet, som ikke barberer sig 6
selv. Skal barberen barbere sig selv? Den stakkels barber ved nu ikke r˚ad, for ligemeget hvad han gør, er det forkert. Den matematiske pendant til opfattelsen om at “en mængde kan bestemmes udfra bestemte egenskaber” er komprehensionsprincippet, hvilket viser, at der m˚a være problemer med dette. 4.3.3 Cantors paradoks Cantors motivation for at indføre mængdelæren var hans studier af en udvidelse af talbegrebet i form af uendelig kardinaltal. For en mængde X betegner dens kardinalitet card X antallet af elementer. Ved komprehensionsprincippet kan vi danne mængden P(X) af alle delmængder af X. Cantor viste følgende egenskaber ved kardinaltallene: 12 card X < card P(X) (1) X ⊆ Y ⇒ card X ≤ card Y (2) Vi lader nu igen M betegne mængden af alle mængder. Derfor m˚a specielt P(M) ⊆ M, s˚a ved (2) m˚a card P(M) ≤ card M. Omvendt giver (1), at card M < card P(M), hvilket leder til en modstrid. Dette er Cantors paradoks. 4.3.4 Russells typeteori Opdagelsen af Russells paradoks fik Russell til at formulere typeteorien, hvor begreber inddeles i forskellige typer, s˚aledes at første lag, type 1, indeholder elementer, mens type 2 indeholder mængder af elementer, type 3 indeholder mængder af mængder af elementer og s˚a fremdeles. En mængde af type n kan kun indeholde mængder af type n−1, mens den kun kan være indeholdt i en mængde af type n + 1. S˚aledes kunne Russell afværge sit eget paradoks, fordi han med typeteorien fik fastlagt et skema, for hvorn˚ar et begreb giver mening. Mængden af alle mængder er i typeteorien et meningsløst begreb, fordi det sammenblander de forskellige typer af mængder. Det skal her fremhæves, at det giver fuldstændig mening at tale om mængden af alle mængder af en bestemt type, og at denne ikke indeholder sig selv. Russells typeteoris styrke er, at den forkaster paradokser som Russells, med henvisning til at paradokset sammenblander niveauerne. Det viser sig dog ogs˚a at være dens svaghed. “I denne bog kritiserer jeg typeteorien,” skriver Hofstadter i [1] s. 22, som vel nok det mest rammende eksempel p˚a 12 [6] s. 1.11 samt en triviel anvendelse af definitionen s. 1.10 7
Page 1 and 2: Om Gödels bevis og karakteren af m
Page 3 and 4: 1 Problemformulering Vi vil unders
Page 5 and 6: Man kan vise, at udsagnskalkylen er
Page 7: udfra samme kriterier, er en af de
Page 11 and 12: 5.2 Gödels første sætning Gödel
Page 13 and 14: 5.5.1 Paradigmeovergangen Vigtigt f
Page 15 and 16: i 1919, som var det første afgøre
Page 17: 7 Litteratur [1] Douglas R. Hofstad

Om Gödels bevis og karakteren af matematisk tænkning

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?