Om Gödels bevis og karakteren af matematisk tænkning

More documents

Recommendations

Info

hvor pi er det i’te primtal. G(s1 · · · sk) kaldes udsagnets Gödel-tal. 18 Dette giver den ønskede repræsentation af et talteoretisk udsagn som et tal selv, som derved Gödel derved kunne benytte talteorien p˚a. Udsagnene i talteorien er typisk frembragt af prædikater, som vi via Gödel-tallene kan kvantisere over. Derved bevæger vi os op i andenordens prædikatkalkylen. 5.4 Gödels anden sætning Vigtig er ogs˚a Gödels anden sætning, som lidt løst kan formuleres p˚a følgende m˚ade. Gödels anden ufuldstændighedssætning. Hvis et formelt system af tilstrækkelig styrke er konsistent, da kan konsistensp˚astanden ikke bevises i systemet selv. 19 Et bevis for en stor matematisk teori m˚a nødvendigvis indeholde udsagn fra den anden ordens prædikatlogik og er s˚aledes begrænset af Gödels første sætning. Det er da let at forestille sig, at der vil findes et udsagn i systemet hvortil der ikke vil findes et bevis for, at udsagnet ikke b˚ade kan bevises og modbevises. 5.5 Det nye paradigme Med Gödels sætninger har vi et opgør med tanken om at man med matematiske metoder kan bevise matematikkens konsistens, og dermed et opgør med hele den optimisme, der l˚a i Hilberts program. Hvor Hilbert havde forestillet sig, at man med tiden ville kunne bevise systemernes konsistens kom Gödel alts˚a med et bevis for, at det aldrig ville kunne lade sig gøre. I stedet for at have forh˚abninger om, at man kan bevise et systems konsistens arbejder matematikerne nu problemstillinger af typen: “Hvis system A er konsistent, s˚a er system B ogs˚a konsistent.” Et eksempel p˚a dette, er den aksiomatiske mængdelære med Zermelo-Fraenkel-aksiomerne. Gödel viste, at hvis Zermelo-Fraenkel er konsistent, s˚a er Zermelo-Fraenkel med udvalgsaksiomet ogs˚a konsistent. 20 Vi fremhæver, at man endnu ikke har vist om Zermelo-Fraenkel er konsistent. 18 Gödel-tal er ogs˚a omtalt i [5] s. 252 og [3] 19 Formulering er taget fra [3] 20 [6] s. 1.23 10
5.5.1 Paradigmeovergangen Vigtigt for Kuhns forestilling om paradigmeskift er, at b˚ade det gamle og det nye paradigme vil eksisterer og have tilhængere i en overgangsperiode. Tilhængerne af hver af de to paradigmer har forskellige præmisser for gyldige argumenter i henhold til hver deres opfattelse af normalvidenskab. Tilhængerne af det gamle paradigme, kan derfor meget vel vurdere dette paradigme – udfra paradigmets egne præmisser – bedre end det nye paradigme. Først n˚ar der er et tilstrækkelig stort antal argumenter for at skifte til det nye paradigme, vil tilhængerne af det gamle begynde at revurdere deres opfattelse. Kuhn sammenligner ifølge Chalmers 21 videnskabelige revolutioner i form af paradigmeskift med politiske revolutioner. Han nævner, at der sjældent findes tvingende logiske argumenter eller blot sandsynliggørelser for at vælge et vælge et nyt paradigme, men at valget ofte er styret af psykologiske eller sociologiske faktorer i videnskabsmiljøet. Denne manglende tilstedeværelse af logiske argumenter for et nyt paradigme kan selvsagt ikke komme p˚a tale, n˚ar vi forsøger at beskrive en videnskabelig udvikling i matematikken med Kuhns teori. P˚a grund af matematikkens absoluthed – n˚ar man har et bevis for en p˚astand, kan den ikke tilbagedrives – er man tvunget til at acceptere sætningerne og derefter forkaste sit paradigme hvis det ikke stemmer overens hermed. “Man kan ikke opstille et simpelt kriterium, p˚a grundlag af hvilket videnskabsmanden kan vurdere et paradigmes potentiale eller værdi,” skriver Chalmers videre om Kuhns teori, men dette gælder som nævnt ikke for matematikken, da et s˚adant simpelt kriterium i nærværende eksempel er Gödels sætninger. 5.5.2 Inkommensurabilitetskriteriet Kuhn taler om, at to paradigmer ikke kan tale sammen fordi de definerer begreberne forskelligt, og at de s˚a at sige har to verdenssyn. Chalmer formulerer Kuhns tanker s˚aledes: “Desuden vil tilhængere af konkurrerende paradigmer anerkende forskellige normer og vil endda betragte verden p˚a helt forskellige m˚ader og beskrive den i forskellige sprog.” 22 Spørgsm˚alet er, om dette er tilfældet i vores eksempel. Det er rigtigt, at de to paradigmers verdensopfattelse er stærkt divergerende. I det første paradigme var matematikerne frie til at lave vidstrakte teorier, mens matematikere efter Gödel hele tiden er underlagt begrænsninger. Man kan nemt forestille 21 [8] s. 151 22 [8] s. 151 11
Page 1 and 2: Om Gödels bevis og karakteren af m
Page 3 and 4: 1 Problemformulering Vi vil unders
Page 5 and 6: Man kan vise, at udsagnskalkylen er
Page 7 and 8: udfra samme kriterier, er en af de
Page 9 and 10: selv. Skal barberen barbere sig sel
Page 11: 5.2 Gödels første sætning Gödel
Page 15 and 16: i 1919, som var det første afgøre
Page 17: 7 Litteratur [1] Douglas R. Hofstad

Om Gödels bevis og karakteren af matematisk tænkning

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?