Om Gödels bevis og karakteren af matematisk tænkning

Man kan vise, at udsagnskalkylen er konsistent og fuldstændig. 4
3.3 Prædikatkalkylen
Prædikatkalkylen fremkommer n˚ar vi udvider udsagnskalkylen til ogs˚a at
omfatte prædikater (˚abne udsagn). For eksempel er “x er et primtal” et
prædikat; vi kunne kalde det P (x). Det er klart, at der skal foreligge en
kontekst, hvorfra x tages.
Vi indfører de s˚akaldte kvantorer, alkvantoren ∀, og eksistenskvantoren ∃,
hvorved vi fra prædikater kan danne udsagn. Vi har, at ∀xP (x) betyder “for
alle x gælder P (x)”, og ∃xP (x) betyder “der eksisterer et x s˚a P (x) gælder”.
Som i prædikatkalkylen vælger vi en række slutningsregler for prædikater.
Vi skelner mellem første, anden og højere ordeners prædikatlogik. I førsteordens
prædikatlogik er konteksten udsagn fra udsagnslogikken, mens vi i
andenordens prædikatlogik lader førsteordens prædikater være vores kontekst.
Dette generaliseres for højere ordeners prædikatlogik.
Man kan vise, at førsteordens prædikatkalkylen er konsistent og fuldstændig.
5
3.4 Hilberts program
Hilbert formulerede i begyndelsen af det 20. ˚arhundrede, som repræsentant
for tids˚anden, en liste over forventede landvindinger i den matematiske
grundlagsforskning. Først og fremmest søgte Hilbert en formalisering af den
allerede eksisterende matematik, som en fortsættelse af det 19. ˚arhundredes
formalisering af geometrien og aritmetrikken.
Hilberts program fulgte i kølvandet p˚a andre formulerede programmer i tiden,
blandt andet formulerede logicismens ophavsmand Frege et program
som lyder: “(1) Enhver aritmetisk p˚astand m˚a kunne bevises alene ved
hjælp af logiske love og deres definitioner af aritmetikkens begreber; (2)
Disse m˚a kunne defineres alene ved hjælp af logiske begreber, hvortil Frege
medregnede mængdelærens begreber.” 6 Frege opgav imidlertid sit program
ved fremkomsten af Russells paradoks (se nedenfor), som overbeviste ham
om, at mængdelæren ikke kunne være konsistent.
Hilberts vel nok mest prestigefyldte programpunkt, var det tiende, som omhandlede
selve matematikkens konsistens. Hilbert og matematikerne i denne
4 Appendiks til “Brudstykker af den matematiske logik” i [2]
5 [2] s. 27
6 [10] s. 269
3