Om Gödels bevis og karakteren af matematisk tænkning

program søgte man (1) at løsrive matematikken fra virkeligheden og dermed
at redefinere hvad matematikken handler om og derfor (2) at finde metoder
til at vise at systemer var konsistente (og fuldstændige).
4.2.1 Principia Matematica
Et interessant biddrag til matematikken, som karakterisere Hilberts paradigme,
var Principia Matematica som udkom i ˚arene 1910–1913. Principia
Matematica var A. N. Whitehead og Bertrand Russells forsøg p˚a at reducere
matematikken til formel logik.
4.3 Anomalier og kriser
Under Hilberts paradigme opstod i overensstemmelse med Kuhns beskrivelse,
en række anomalier under normalvidenskaben. Som Kuhn ogs˚a beskriver
det i sin teori, forkaster man ikke med det samme paradigmet, som
de ekstreme falsifikationister ville blive nød til at gøre det, men arbejder i
stedet p˚a løse anomalierne inden for paradigmet. Vi vil i det følgende give
eksempler p˚a anomalier som opstod, nemlig Russells og Cantors paradokser,
og vi vil p˚a samme tid vise, hvordan man kom med forskellige bud p˚a,
hvordan de kunne omg˚as.
4.3.1 Cantors mængdelære
Den tyske matematiker Cantor formaliserede i ˚arene 1874 til 1897 en teori
om mængder. Cantor forestillede sig, at en mængde kunne bestemmes
fuldstændigt ud fra egenskaber om elementerne, det s˚akaldte komprehensionsprincip.
F.eks. kan vi danne mængden af filosoffer ved betingelsen “x
er en filosof”. Mere præcist hvis P (x) er prædikatet “x er en filosof”, s˚a kan
vi danne mængden af filosoffer {x | P (x)}. Vi fremhæver, at Cantors komprehensionsprincip
ikke vælger filosoffer ud fra nogen overordnet mængde,
f.eks. mængden af europæere.
4.3.2 Russells paradoks
Russells paradoks opst˚ar, n˚ar man ser p˚a mængden af mængder, kald den M,
der ikke indeholder sig selv. Denne kan dannes ved betingelsen “x m˚a ikke
tilhøre sig selv”. Problemet opst˚ar nu, hvis vi spørger om M tilhører sig selv,
for s˚a f˚ar vi, at M tilhører sig selv hvis og kun hvis M ikke tilhører sig selv,
hvilket er absurd. Mere billedrigt kunne man kigge p˚a Regimentsbarberen,
der f˚ar befalet, at han skal barbere alle i regimentet, som ikke barberer sig
6