Om Gödels bevis og karakteren af matematisk tænkning

More documents

Recommendations

Info

tid søgte at vise at matematikken var konsistent ved alment accepterede ubetvivlelige metoder. Vi gør opmærksom p˚a, at Hilbert og hans samtid tilsyneladende ikke gjorde sig nogle tanker om, at der kunne være systemer, som ikke var fuldstændige, hvilket skal ses i den tilsyneladende rimelige antagelse, at hvis en matematisk sætning er sand, s˚a vil den ogs˚a kunne bevises. 4 Hilberts program: Et paradigme? 4.1 Paradigmedefinition Kuhn er selv noget upræcis i sin paradigmedefinition og bruger forskellige definitioner over tid. Han sammenligner selv med med Wittgensteins “spil”diskussion: at man ikke kan definerer begrebet spil, uden enten at udelukke ting, man normalt vil beskrive som et spil, eller p˚a den anden side, at denne definition vil indeholde ting, der normalt ikke vil karakteriseres som spil. 7 I det følgende vil vi bruge Chalmers karakterisering: “Et paradigme best˚ar af nogle generelle teoretiske antagelser samt love og teknikker for anvendelsen af disse, som medlemmerne af et videnskabeligt samfund vælger at tilslutte sig. De videnskabsmænd, som arbejder inden for et paradigme – hvad enten det er Newtons mekanik, bølgeoptikken eller den analytiske kemi – praktiserer det, som Kuhn kalder normalvidenskab. Det vil sige, at de konkretiserer og videreudvikler deres paradigme, i forsøg p˚a inden for de givne rammer at finde plads til og at redegøre for, hvordan en eller anden relevant del af verden opfører sig, s˚adan som det viser sig under forsøg.” 8 4.2 Hilberts paradigme Med formaliseringen af matematikken opstod en “matematisk metode”. Man fik et ideal for, hvordan en god matematisk teori skulle formuleres. En standard der gjorde, at man, selvom man arbejdede indenfor s˚a vidt forskellige omr˚ader som geometrien eller aritmetikken, p˚a væsentlig m˚ade arbejdede ens. Nok vil en matematiker i sit daglige arbejde næppe spekulere videre over disse underliggende rammer, men han vil have en forestilling om, at hans resultater i princippet vil kunne formaliseres. Netop det at et helt matematisk samfund arbejder med samme m˚alsætning 7 [8] s. 146 8 [8] s. 141 4
udfra samme kriterier, er en af de egenskaber, som et paradigme har i Kuhns teori. Vi kan da sige, at Hilberts program og tids˚anden i det matematiske samfund p˚a hans tid kan fastlægge en matematisk normalvidenskab. Denne idé om matematikkens formalisering og konsistens vil vi derfor i det følgende kalde for Hilberts paradigme. Vi fremhæver dog, at dette navn skal ikke tages for bogstaveligt. Spørger man om der fandtes et paradigme inden for matematikken p˚a Hilberts tid, er det p˚a sin plads ogs˚a at spørge om der fandtes et forudg˚aende paradigme. Det var først under det vi kalder for Hilberts paradigme, at man begyndte at undersøge matematikkens grundlag i større omfang, s˚a det giver ikke mening at tale om et tidligere paradigme inden for denne gren af matematikken. Derimod giver det fuld mening netop at karakterisere Hilberts paradigme herved, for det var tilsyneladende de nye matematiske erkendelser der førte til at matematikerne begyndte at vende deres interesse mod matematikkens grundlag. Overordnet mener vi der fantes et paradigme før Hilberts. Dette paradigme kan vi kalde “det græske paradigme”. Jesper Lützen har i kompendiumet i naturfilosofi 9 , argumenteret for dette paradigmes eksistens, som han kalder græsk matematik. Lützen opstiller et slags program for det græske paradigme. 10 Dette paradigme bliver endvidere af Lützen karakteriseret ved at have en forbindelse tæt forbindelse til virkeligheden. I slutningen af det 19. ˚arhundrede tog man konsekvensen af forskningen inden for geometrien og konstruktionen af den ikke-euklidiske geometrier. Man gik væk fra opfattelsen om at matematikken beskrev virkeligheden, idet man inds˚a, det var en fordel at behandle rent abstrakte størrelser og opstille aksiomskemaer som ikke refererede til virkeligheden. Man brugte stadig ord som flader, linier og punkter, men undlod at forklare deres natur, modsat Euklid som for eksempel eksplicit havde beskrevet et punkt, som “det der ikke kan deles” 11 . I stedet lod man begrebere være beskrevne implicit i aksiomerne, s˚aledes at man først med tiden og erfaringen ville f˚a en fuld forst˚aelse af deres mening. P˚a denne m˚ade undgik man forudfattede meninger om begrebernes egenskaber. Ideen om at løsrive matematikken fra virkeligheden gav anledning til at se nærmere p˚a matematikkens grundlag, for n˚ar man ikke længere kunne sammenligne med naturen, kunne man s˚a være sikker p˚a at disse nye systemer var konsistente? Hvordan kunne man være sikker p˚a de nye geometrier var konsistente (og fuldstændige)? Vi ser alts˚a, at der er to væsentlige forskelle mellem det græske paradigme og Hilberts paradigme. Under Hilberts 9 Se Jesper Lützens biddrag til [7] 10 [7] s. 179 11 [7] s. 177 5
Page 1 and 2: Om Gödels bevis og karakteren af m
Page 3 and 4: 1 Problemformulering Vi vil unders
Page 5: Man kan vise, at udsagnskalkylen er
Page 9 and 10: selv. Skal barberen barbere sig sel
Page 11 and 12: 5.2 Gödels første sætning Gödel
Page 13 and 14: 5.5.1 Paradigmeovergangen Vigtigt f
Page 15 and 16: i 1919, som var det første afgøre
Page 17: 7 Litteratur [1] Douglas R. Hofstad

Om Gödels bevis og karakteren af matematisk tænkning

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?