Om Gödels bevis og karakteren af matematisk tænkning

1 Problemformulering
Vi vil undersøge, om man kan karakterisere udviklingen fra 1850’erne til
1930’erne indenfor matematikkens grundlagsforskning udfra Kuhns begreber
om paradigmer, anomalier og kriser. Herunder vil vi se p˚a om inkommensurabilitetskriteriet
opfyldes.
2 Indledning
“Wir müssen wissen, wir werden wissen.” Sagde Hilbert i en stor tale i
Königsberg i 1930. 1 Denne sætning opsummerer ganske godt den idé som
matematikerne i ˚artierne op til det ˚ar havde arbejdet udfra. Siden kvantorerne
blev introduceret i sidste halvdel af det 19. ˚arhundrede af Frege og
Peirce, var der sket store fremskridt inden for matematikken. Det var lykkedes
at formalisere store dele af den klassiske matematik, og der var opn˚aet
en række interessante resultater inden for den matematiske grundlagsforskning,
især med henblik p˚a at sammenfatte matematikken og logikken. Det s˚a
lovende ud, s˚a lovende at det havde f˚aet Hilbert til at formulere et program
over hvilke resultater, man skulle løse inden for den nærmeste fremtid. Det
ville ikke vare længe inden matematikkens grundlag var klarlagt og dens
konsistens bevist (se nedenfor). Det var det Hilbert mente, da han sagde de
berømte ord.
Gennem ˚arene blev der eksperimenteret med kvantorerne p˚a lidt tynd baggrund
2 , som man tidligere havde eksperimenteret p˚a tyndt grundlag inden
for andre grene af matematikken; for eksempel ved differentialregningens
fremkomst. Denne ubekymrethed resulterede i, at paradokser opstod. Nogle
af disse blev afhjulpet ved at ændre p˚a nogle enkelte principper, uden at det
havde nogen større konsekvens for matematikken som s˚adan.
Alligevel skulle det blive et af disse paradokser, nemlig løgnerparadokset (se
nedenfor), der viste sig fatalt for Hilbert og hans samtids idé. ˚Aret efter
at Hilbert havde holdt sin tale i Königsberg blev denne tanke forkastet for
evigt med publikationen af Gödels ufuldstændighedsbeviser, som skulle vise
sig at lægge stramme begrænsninger for, hvad matematik kan udtale sig om.
Vores idé med opgaven er at se p˚a matematikkens grundlagsforskning gennem
de cirka hundrede˚ar mellem Freges indførelse af kvantorerne i midten af
det 19. ˚arhundrede frem til tiden efter Gödels publikation af Gödels sætninger.
Vi vil se p˚a, om man kan tale om, at det var et egentligt paradigmeskift
der var følgerne af Gödels sætninger. Vi vil se p˚a, om Hilberts program kan
1 [4] s. 64
2 [5] s. 239
1