Om Gödels bevis og karakteren af matematisk tænkning

typeteoriens svaghed. Hofstadters pointe er, at en s˚adan sætning ville være
meningsløs ifølge typeteorien, fordi ord som “bogen” og “jeg” i sætningen
er selvrefererede og dermed meningsløse med mindre de bliver udtalt i metasproget.
Selvom man kan hævde, at typeteorien omhandler matematisk
formalisme og ikke hverdagssproget, som i dette eksempel, kan man spørge
om det, n˚ar nu paradokser som Russells meget vel lader sig formulere i
hverdagssproget, ikke er rimeligt at forvente, at løsningen ogs˚a ville gælde
herfor? Det er ogs˚a klart, at typeteorien bringer matematikken ud i en meget
snæver balancegang mellem, hvad der er meningsfuldt, og hvad der ikke
er meningsfuldt at sige, og man kan spørge, om den ikke g˚ar for vidt i sin
indsnævring af meningsfulde udsagn.
4.3.5 Aksiomatisk mængdelære
En mere lovende vej ud af Russell paradoks og lignende paradokser kom, da
man forsøgte at skifte Cantors naive mængdelære ud med en aksiomatisk. I
den nye aksiomatiske mængdelære var komprehensionsprincippet blevet til
et aksiom. Ernst Zermelo foreslog at ændre det, s˚a det kun var tilladt at
definere en mængde fra et prædikat som en delmængde af en mængde, der i
forvejen var givet. Det vil sige, at vi, da vi dannede mængden af filosoffer, ud
fra prædikatet “x er filosof” var nødte til at angive en allerede eksisterende
mængde. For eksempel kunne vi danne mængden af filosoffer {x ∈ M | P (x)},
hvor M er mængden af mennesker.
5 Opgør med Hilberts program
5.1 Løgnerparadokset
Der var et paradoks, som stadig stod uløst tilbage, og som ikke kunne fjernes
ved modifikationer af aksiomerne, s˚adan som for eksempel Russells og
Cantors paradokser blev det ved komprehensionsaksiomet. Dette er helt i
overensstemmelse med Kuhns ideer om problemer, der ikke kan elimeres i
forbindelse med et paradigmeskift. Dette paradoks var ældre end de to andre
og har sin første datering omkring 500 f.v.t. da Epimenides fra Kreta
udbrød: “Alle kretensere lyver!” Senere skulle der komme mange versioner
af dette paradoks. Vi vil i det følgende benytte os af formuleringen: “Denne
sætning er falsk.” Prøver vi at forestille os, at sætningen er sand, m˚a vi
acceptere, at den er falsk, og omvendt, hvis vi forestiller os, at den er falsk,
m˚a vi konkludere, at den er sand. En vigtig egenskab ved løgnerparadokset
er, at udsagnet i sætningen er et udsagn om sætningen selv.
8