2.3 立方內插法 - 東海大學‧資訊工程學系

私 立 東 海 大 學 資 訊 工 程 系
專 題 報 告 書
線 性 延 展 方 程 式 之 影 像 插 補
Extended Linear Equation For Image Interpolation
指 導 教 授 : 林 正 基 老 師
學 生 :963907 陳 茹 昕
963910 曾 一 玲
日 期 : 民 國 99 年 12 月 18 日
1

摘 要
隨 著 人 們 對 影 像 品 質 要 求 的 提 升 , 為 了 讓 影 像 能 夠 在 各 種 不 同 尺
寸 大 小 的 螢 幕 上 完 美 的 顯 示 圖 片 而 不 產 生 失 真 , 影 像 縮 放 技 巧 就 顯 得
非 常 重 要 , 但 傳 統 的 內 插 法 未 能 提 供 較 好 的 效 果 , 因 此 如 何 得 到 最 佳
的 影 像 縮 放 效 能 , 是 人 們 在 追 求 , 也 是 本 論 文 所 要 探 討 的 問 題 。
一 般 來 說 , 影 像 縮 小 基 本 上 是 由 多 變 少 , 等 於 是 在 很 多 點 擷 取 重
要 的 一 點 , 而 影 像 放 大 是 由 少 變 多 , 等 於 是 將 影 像 做 重 建 , 從 現 有 的
資 料 來 填 補 缺 少 的 部 份 , 影 像 處 理 在 實 際 生 活 上 應 用 很 廣 泛 , 不 論 是
現 在 的 醫 學 影 像 , 多 媒 體 技 術 , 若 縮 放 效 果 不 佳 使 得 縮 放 後 的 影 像 失
真 , 後 續 處 理 也 只 是 錯 誤 的 資 料 處 理 , 可 能 會 造 成 無 法 預 期 的 結 果 ,
因 此 , 如 何 得 到 最 好 的 影 像 縮 放 效 果 變 成 為 本 論 文 要 探 討 的 問 題 。
I

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目 錄
摘 要 …………………………………………………………………………………………Ⅰ
目 錄 …………………………………………………………………………………………Ⅱ
圖 目 錄 ……………………………………………………………………………………...Ⅲ
表 目 錄 ……………………………………………………………………………………...Ⅲ
第 一 章 緒 論 ……………………………………………………..................................1
第 二 章 理 論 基 礎 及 常 見 內 插 法 探 討 …………………………………………….3
2.1 最 鄰 近 內 插 法 ………………………………………………………………….…4
2.2 雙 線 性 內 插 法 …………………………………………………………………….5
2.3 立 方 內 插 法 ………………………………………….…………………………….6
第 三 章 延 展 式 線 性 內 插 法 ………………………………………………………..11
3.1 Cubic polynomial interpolation 特 性 、 特 徵 點 的 分 析 ………12
3.2 延 展 式 線 性 內 插 法 核 心 推 導 ……………………………………………...16
3.3 不 同 α 值 之 核 心 效 能 評 估 …………………………………………….…….18
第 四 章 實 驗 結 果 ……………………………………………………………………...20
4.1 縮 放 效 能 的 評 估 ………………………………………………………………..20
第 五 章 結 論 …………………………………………………………………………….26
參 考 文 獻 ………………………………………………………………………………….27
II

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圖 目 錄
Fig.2.1 (a) sinc 函 數 波 形 圖 (b) sinc 頻 率 域 波 形 圖 …………………………………..3
Fig.2.2 最 鄰 近 內 插 法 (a) 時 間 域 波 形 圖 (b) 頻 率 域 波 形 圖 ……………………..…4
Fig.2.3 最 鄰 近 內 插 法 說 明 圖 …………………………………………………………………..5
Fig.2.4 雙 線 性 內 插 法 波 形 圖 (a) 時 間 域 波 形 圖 (b) 頻 率 域 波 形 圖 ……………...6
Fig.2.5 雙 線 性 內 插 法 示 意 圖 .………………………………………………………………..6
Fig.2.6 keys(α=-0.5) 波 形 圖 ,(a) 時 間 域 波 形 圖 ,(b) 頻 率 域 波 形 圖 ……………8
Fig.2.7 bi-cubic(α=-1) 波 形 圖 ,(a) 時 間 域 波 形 圖 ,(b) 頻 率 域 波 形 圖 ………..9
Fig.2.8 立 方 內 插 法 說 明 圖 ………………………………………………………….................9
Fig.3.1 [-1,1] First–order convergence 權 重 分 配 說 明 圖 …………..…………..11
Fig.3.2 [-2,2] Third-order convergence 權 重 分 配 說 明 圖 ……………………..12
Fig.3.3 cubic polynomial interpolation……………………………………………….15
Fig.3.4 套 用 特 徵 點 後 的 新 核 心 時 間 域 波 形 圖 ……………………………..………….16
Fig.3.5 新 核 心 時 間 域 波 形 圖 ………………………………………………………………...18
Fig.3.6 標 準 差 分 布 圖 …………………………………………………………………………...19
Fig.4.1 (a)~(h) 分 別 為 Airplane、Boat、Bridge、Goldhill、Lake、Lena、
Peppers 及 Tank……………………………………………………………………………….…22
Fig.4. 2 bi-cubic 與 proposed method 對 Lena 以 3/4 比 例 縮 放 後 的 結 果
圖 ,(a) 原 始 影 像 ,(b) keys,(c) bi-cubic,(d) proposed method………………….24
Fig.4. 3 bi-cubic 與 proposed method 對 Lena 以 4/3 比 例 縮 放 後 的 結 果
圖 ,(a) 原 始 影 像 , (b) keys,(c) bi-cubic,(d) proposed method………………...25
表 目 錄
表 4.1 各 方 法 先 3/4 比 例 縮 小 再 4/3 比 例 放 大 回 原 始 大 小 後 , 與 原 始 影 像 之
psnr 表 ………………………………………………………………………………………..………..23
表 4.2 各 方 法 先 3/4 比 例 縮 小 再 4/3 比 例 放 大 回 原 始 大 小 後 , 與 原 始 影 像 之
psnr 表 ………………………………………………..………………………………………………..23
III

第 一 章 序 論
顯 示 器 製 造 技 術 越 來 越 發 達 , 螢 幕 的 尺 寸 大 小 也 日 與 劇 增 , 使 得
畫 面 上 呈 現 之 影 像 解 析 度 逐 漸 提 升 , 為 了 讓 影 像 能 在 不 同 尺 寸 大 小 的
螢 幕 上 顯 示 圖 片 而 不 失 真 , 影 像 縮 放 技 術 就 顯 得 重 要 , 一 般 而 言 , 目
前 許 多 的 內 插 法 是 針 對 空 間 域 (Spatial Domain) 的 資 料 來 進 行 取 樣
及 縮 放 處 理 , 主 要 的 原 理 是 將 取 樣 樣 本 與 重 建 濾 波 器 函 數 做 迴 旋 積
(convolution), 將 取 樣 信 號 重 建 回 到 取 樣 前 的 類 比 信 號 , 在 重 新 取
樣 , 因 而 伴 隨 著 不 同 的 重 建 濾 波 器 函 數 的 使 用 , 所 重 建 回 來 的 類 比 信
號 品 質 也 會 有 所 不 同 , 將 取 樣 處 理 影 像 縮 放 時 大 多 採 用 內 插 法 目 前 普
遍 使 用 中 的 處 理 影 像 插 補 大 多 採 用 (1) 最 鄰 近 內 插 法
(Nearest-neighborhood interpolation)、(2) 雙 線 性 內 插 法 (Bilinear
interpolation),(3) 雙 立 方 內 插 法 (Bi-cubic interpolation)。
但 本 論 文 採 用 以 雙 立 方 內 插 法 (bi-cubic interpolation) 演 算 法
為 基 礎 , 延 伸 出 來 的 線 性 延 展 內 插 法 , 來 時 做 影 像 縮 放 的 處 理 , 將 他
和 原 圖 互 相 比 較 , 使 用 PSNR 將 數 據 呈 現 , 可 以 發 現 數 據 中 線 性 延 展
內 插 法 的 數 值 較 最 鄰 近 內 插 法 數 值 低 , 表 示 線 性 延 展 內 插 法 失 真 小 於
最 鄰 近 內 插 法 。
本 論 文 架 構 中 , 第 二 章 會 介 紹 各 種 常 見 的 內 插 法 , 主 要 包 括 (1)
最 鄰 近 內 插 法 (Nearest-neighborhood interpolation)、(2) 雙 線 性 內
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插 法 (Bilinear interpolation), 針 對 他 們 的 計 算 目 的 像 素 質 的 方 法 加
以 討 論 (3) 立 方 內 插 法 (cubic interpolation) 在 第 三 張 主 要 介 紹 本 論
文 的 核 心 , 線 性 延 展 內 插 法 , 如 何 利 用 這 種 內 插 法 , 來 進 行 影 像 的 縮
放 。
第 四 章 是 我 們 系 統 實 做 方 法 與 結 果 , 利 用 PSNR 與 運 算 量 來 比 較
利 用 線 性 延 展 內 插 法 縮 放 後 的 圖 和 原 圖 數 值 差 距 。
第 五 章 將 根 據 實 驗 的 結 果 做 一 個 總 結 , 並 提 出 本 論 文 的 結 論 。
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第 二 章 理 論 基 礎 及 常 見 內 插 法 探 討
從 數 位 影 像 放 大 技 術 觀 點 來 看 , 如 何 以 低 解 析 度 的 影 像 進 而 擴 展
成 高 解 析 度 的 影 像 , 同 時 對 於 放 大 後 的 影 像 品 質 能 得 到 不 錯 的 效 果 ,
一 直 以 來 是 許 多 研 究 學 者 們 極 力 探 討 的 。
內 插 法 的 作 用 相 當 於 一 低 通 濾 波 器 , 所 以 在 頻 率 域 上 可 以 看 到 低
通 頻 帶 附 近 才 有 一 個 定 值 , 其 餘 頻 帶 均 為 零 , 這 樣 的 濾 波 器 在 時 間 軸
的 表 示 式 為 sinc 函 式 ,sinc 函 式 是 一 個 在 時 間 趨 近 無 窮 大 時 , 仍 然 可
以 有 非 零 之 值 , 但 是 在 實 作 上 是 無 法 實 現 時 間 無 窮 大 的 信 號 , 必 須 以
各 種 不 同 的 函 式 來 趨 近 sinc 函 式 , 而 函 式 的 選 擇 不 同 , 就 會 導 致 內 插
後 信 號 的 品 質 有 所 不 同 , 以 下 是 sinc 函 式 的 表 示 法 :
sin c(x) = sin(πx)
πx
其 函 式 波 形 圖 如 Fig.2.1 所 示 。
(2.1)
Fig.2.1 (a) sinc 函 數 波 形 圖 (b) sinc 頻 率 域 波 形 圖
為 了 近 似 完 美 的 低 通 濾 波 器 , 以 求 得 最 少 的 失 真 , 大 部 分 的 內 插
法 都 是 採 用 分 段 (piecewise) 函 式 來 近 似 , 所 謂 分 段 函 式 是 指 在 不 同
的 時 間 區 間 中 , 以 不 同 的 函 式 來 代 表 其 信 號 ; 而 sinc 函 式 是 在 時 間 零
點 時 圖 形 左 右 兩 邊 對 稱 , 故 插 值 函 數 也 通 常 有 這 樣 的 圖 形 特 微 。 選 用
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不 同 複 雜 度 的 內 插 法 就 成 了 每 個 系 統 的 考 量 , 一 般 而 言 若 要 從 低 解 析
度 影 像 得 到 較 高 解 析 度 影 像 時 , 普 遍 採 用 二 維 多 項 式 內 插 補 點 的 方 式
來 得 到 放 大 的 影 像 。 影 像 上 許 多 常 用 的 內 插 法 包 括 , 最 鄰 近 內 插 法
(nearest neighbor interpolation) 、 雙 線 性 內 插 法 (bilinear
interpolation) 與 雙 立 方 內 插 法 (bi-cubic interpolation)。
2.1 最 鄰 近 內 插 法 (nearest neighbor
interpolation)
最 鄰 近 內 插 函 數 是 內 插 演 算 法 中 最 簡 單 , 也 是 最 有 效 率 的 一 種 方
法 , 其 運 算 複 雜 度 很 低 , 所 以 影 像 品 質 也 就 比 較 不 好 , 通 常 在 做 影 像
放 大 時 , 往 往 會 有 鋸 齒 狀 (Jagged) 及 格 子 狀 (Blocking) 的 現 象 發
生 。 其 核 心 如 下 式 ; 其 核 心 波 形 圖 如 Fig.2.2 所 示 :
h (x) = 1, 0 < |x| < (2.2)
0, elsewhere
(a)
(b)
Fig.2.2 最 鄰 近 內 插 法 (a) 時 間 域 波 形 圖 (b) 頻 率 域 波 形 圖
這 種 演 算 法 是 藉 由 判 斷 新 的 影 像 像 素 跟 原 來 的 影 像 像 素 哪 一 點
比 較 接 近 , 再 將 最 近 的 點 直 接 複 製 過 去 , 所 以 影 像 內 容 非 常 銳 利 化 。
Fig. 2.3 來 解 釋 最 鄰 近 內 插 法 的 演 算 過 程 。
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Fig.2.3 最 鄰 近 內 插 法 說 明 圖
由 Fig. 2.3 中 可 知 ,P 為 影 像 放 大 後 欲 補 插 點 的 影 像 像 素 , 在 影
像 來 源 像 素 S1, S2, S3, S4 中 , 假 設 S4 與 P 的 距 離 為 最 接 近 , 在 新 的
影 像 中 就 以 S4 的 灰 階 值 , 直 接 複 製 給 P 這 個 像 素 。
2.2 雙 線 性 內 插 法
雙 線 性 內 插 函 數 在 應 用 上 算 是 蠻 受 歡 迎 的 , 它 的 運 算 複 雜 度 雖 然
比 最 鄰 近 內 插 函 數 來 的 複 雜 , 可 是 所 增 加 的 複 雜 度 換 來 的 影 像 品 質 卻
比 最 鄰 近 內 插 函 數 好 很 多 , 由 於 新 增 像 素 的 灰 階 值 需 要 經 過 計 算 , 所
以 計 算 時 間 也 會 比 最 鄰 近 內 插 函 數 要 來 的 長 。 其 主 要 的 缺 點 是 比 較 容
易 產 生 模 糊 狀 (Blurring) 的 情 況 。
雙 線 性 內 插 法 的 核 心 為 線 性 多 項 式 且 在 [-1,1] 趨 近 sinc 函 數 , 核
心 形 式 如 下 :
a|x| + b, 0 ≤ |x| < 1
h (x) = (2.3)
0, 1 ≤ |x|
其 中 a、b 必 須 滿 足 下 列 條 件 :
(1) h (0) = 1
(2) h (x)must be continuous at |x|= 0,1
所 以 可 得 到 a=-1,b=1, 便 可 得 到 雙 線 性 內 插 法 的 核 心 :
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1 − |x|, 0 ≤ |x| < 1
h (x) = (2.4)
0, 1 ≤ |x|
下 Fig.2.4 為 雙 線 性 內 插 法 的 核 心 波 形 圖 , 時 間 域 波 形 圖 只 有 [-1,1]
有 值 , 其 餘 皆 為 0。
(a)
(b)
Fig.2.4 linear interpolation 波 形 圖 ,(a) 時 間 域 波 形 圖 ,(b) 頻 率 域 波 形 圖
它 跟 最 鄰 近 內 插 法 同 樣 都 是 利 用 鄰 近 的 四 個 整 數 像 素 值 , 來 計 算
出 新 的 值 , 我 們 以 Fig. 2.5 來 說 明 雙 線 性 的 內 插 公 式 :
Fig. 2.5 雙 線 性 的 內 插 示 意 圖
內 插 公 式 如 下 :
f(x, y) = (1 − d )1 − d p + d 1 − d p + (1 − d )d p +
d d p (2.5)
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在 Fig. 2.5 中 ,f(x,y) 為 影 像 放 大 後 欲 補 插 點 的 影 像 像 素 ,P1、
P2、P3 與 P4 為 內 插 像 素 P 所 在 的 四 個 頂 點 , 其 距 離 f(x,y) 點 越 近 ,
即 表 示 像 素 值 對 f(x,y) 點 的 貢 獻 度 越 大 , 反 之 則 越 小 。
使 用 雙 線 性 內 插 法 縮 放 大 的 影 像 , 相 鄰 像 素 之 間 會 比 直 接 取 整 數
點 更 有 連 續 性 , 也 就 是 更 加 平 滑 。
2.3 立 方 內 插 法 (cubic interpolation)
雙 立 方 內 插 法 (Bi-cubic Interpolation) 也 是 最 常 見 的 內 插 法 之
ㄧ。 由 於 此 演 算 法 於 低 通 濾 波 表 現 較 前 述 各 插 補 法 更 趨 近 於 Sinc 函
數 , 因 此 其 影 像 插 補 品 質 相 當 優 秀 , 也 因 為 如 此 其 插 補 運 算 複 雜 度 也
相 對 的 提 高 許 多 , 但 是 缺 點 是 帶 來 的 運 算 複 雜 度 較 雙 線 性 內 插 法 來 的
多 很 多 ,(2.6) 為 原 始 的 立 方 多 項 式 (Cubic Polynomial)。
立 方 內 插 法 的 核 心 為 三 次 多 項 式 且 在 [-2,2] 趨 近 sinc 函 數 , 核 心
的 形 式 如 下 :
a |x| + b |x| + c |x| + d , 0 ≤ |x| < 1
h (x) = a |x| + b |x| + c |x| + d , 1 ≤ |x| < 2 (2.6)
0, 2 ≤ |x|
其 中 係 數 必 須 滿 足 下 列 條 件 :
(1)h (0) = 1 and h (x) = 1 for |x| = 1
(2) h () (x) must be continuous at |x| = 0,1,for i=0,1
我 們 利 用 上 述 條 件 , 我 們 可 以 推 得 cubic 的 核 心 為 :
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(α + 2)|x| + (α + 3)|x| + 1, 0 ≤ |x| < 1
h (x) = α|x| − 5α|x| + 8α|x| − 4, 1 ≤ |x| < 2 (2.7)
0, 2 ≤ |x|
不 同 方 法 可 求 得 不 同 的 α 值 , 其 中 Keys 利 用 了 Taylor 展 開 式 求 得 (α
=-0.5), 而 當 (α=-1) 時 , 則 為 現 今 運 用 很 廣 的 雙 立 方 內 插 法 (Bi-cubic
polynomial Interpolation)。
Keys’s kernel:
1.5|x| − 2.5|x| + 1, 0 ≤ |x| < 1
h (x) = −0.5|x| + 2.5|x| + 4|x| + 2, 1 ≤ |x| < 2 (2.8)
0, 2 ≤ |x|
Bi-cubic’s kernel:
|x| − 2|x| + 1, 0 ≤ |x| < 1
h (x) = −|x| + 5|x| − 8|x| + 4, 1 ≤ |x| < 2 (2.9)
0, 2 ≤ |x|
(a)
(b)
Fig.2.6 keys(α=-0.5) 波 形 圖 ,(a) 時 間 域 波 形 圖 ,(b) 頻 率 域 波 形 圖
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(a)
(b)
Fig.2.7 bi-cubic(α=-1) 波 形 圖 ,(a) 時 間 域 波 形 圖 ,(b) 頻 率 域 波 形 圖
Fig.2.6 為 立 方 內 插 法 key’s 在 α=-0.5 時 的 核 心 波 形 圖 ;
Fig.2.7 為 bi-cubic interpolation 的 核 心 波 形 圖 ; 其 中 bi-cubic 因
α=-1, 因 此 其 核 心 係 數 皆 為 整 數 , 在 縮 放 品 質 以 及 運 算 量 的 平 衡 下
為 cubic polynomial interpolation 中 最 常 被 使 用 的 方 法 。
雙 立 方 內 插 法 與 雙 線 性 內 插 法 類 似 , 原 本 的 雙 線 性 內 插 法 是 以 鄰
近 的 4 個 像 素 點 來 計 算 , 而 雙 立 方 內 插 法 則 是 計 算 鄰 近 周 圍 16 個 像
素 , 根 據 目 標 點 與 鄰 近 16 點 的 距 離 不 同 而 有 不 同 的 貢 獻 程 度 。
以 Fig.2.8 來 說 明 雙 立 內 插 法 的 演 算 過 程 :
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(a) 原 始 影 像
(b) 目 的 影 像
Fig.2.8 立 方 內 插 法 說 明 圖
由 Fig.2.8 所 示 , 若 Y , 為 一 個 內 插 的 像 素 點 , 根 據 周 圍 16 個 鄰 近 的 像
素 點 作 迴 旋 積 (convolution) 的 結 果 :
Y , = ∑
∑
X , h (n − ∆y)h (∆x − m)
(2.10)
其 中 :Y , 為 欲 內 插 的 目 的 像 素 值 ,X , or m=-1,0,1,2 and
n=-1,0,1,2 為 周 圍 16 個 鄰 近 像 素 點 ,∆x、∆y 別 表 示 16 點 中 某 一 點 與 Y ,
的 x 方 向 與 y 方 向 的 相 對 距 離 。
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第 三 章 延 展 式 線 性 內 插 法
目 前 常 見 的 interpolation 中 , 最 常 用 的 為 cubic polynomial
interpolation, 而 cubic 雖 然 為 效 果 很 好 , 但 是 其 運 算 量 龐 大 ; 而 傳
統 的 雙 線 性 內 插 法 的 好 處 是 運 算 量 少 , 但 是 其 縮 放 效 果 較 差 , 因 此 我
們 針 對 這 個 部 分 提 出 了 一 種 extended linear interpolation, 其 核 心
為 線 性 多 項 式 且 在 [-2,2] 趨 近 sinc 函 數 , 利 用 分 析 cubic 的 一 些 重 要
特 性 以 及 特 徵 點 , 套 用 到 我 們 的 線 性 多 項 式 核 心 之 中 , 進 而 改 善 傳 統
雙 線 性 內 插 法 的 效 能 , 使 得 縮 放 效 能 能 更 接 近 cubic polynomial
interpolation, 且 由 於 是 線 性 多 項 式 核 心 , 因 此 運 算 量 較 cubic 的 三
次 曲 線 多 項 式 核 心 來 的 精 簡 許 多 。
首 先 First–order convergence 核 心 介 於 [-1,1], 如 Fig.3.1 所 示 ,
其 權 重 分 配 如 下 圖 所 示 :
Fig.3.1 [-1,1] First–order convergence 權 重 分 配 說 明 圖
p 點 為 欲 插 補 的 像 素 ,a、b 為 原 始 影 像 的 像 素 ,a 像 素 所 佔 權 重
值 為 1-x,b 像 素 所 佔 權 重 值 為 x; 而 經 過 延 伸 的 線 性 內 插 法 , 其 核
心 介 於 [-2,2], 其 權 重 分 配 如 下 圖 所 示 :
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Fig.3.2
[-2,2] Third-order convergence 權 重 分 配 說 明 圖
其 中 a 與 c 所 佔 權 重 係 數 和 為 1-x,b 與 d 權 重 係 數 和 為 x, 如 圖 Fig.3.2
所 示 :h (x) + h (1 + x) = 1 − x, 因 此 我 們 的 線 性 多 項 式 核 心 必 須
具 有 此 線 性 特 性 。
3.1 Cubic polynomial interpolation 特 性 、 特
徵 點 的 分 析
Cubic polynomial interpolation 為 一 種 受 歡 迎 的 內 插 法 , 這 是
因 為 它 有 著 不 錯 的 影 像 縮 放 效 果 , 但 是 其 缺 點 為 帶 來 的 龐 大 運 算 量 ,
因 此 我 們 希 望 能 夠 有 效 的 分 析 cubic 的 特 性 以 及 特 徵 點 , 在 從 中 擷 取
一 些 較 為 重 要 的 特 性 及 特 徵 點 , 套 用 到 我 們 的 線 性 多 項 式 核 心 中 , 期
望 能 利 用 這 些 重 要 的 特 性 以 及 特 徵 點 , 來 得 到 與 cubic 接 近 的 影 像 縮
放 效 果 。
首 先 , 下 式 為 cubic polynomial interpolation 的 核 心 通 式 :
(α + 2)|x| − (α + 3)|x| + 1, 0 ≤ |x| < 1
h (x) = α|x| − 5α|x| + 8α|x| − 4α, 1 ≤ |x| < 2 (3.1)
0, 2 ≤ |x|
分 析 cubic 各 段 的 一 些 特 性 以 及 特 徵 點 , 由 於 核 心 為 對 稱 的 , 因
此 我 們 取 原 點 的 一 邊 [0,2] 來 作 分 析 即 可 , 首 先 我 們 來 分 析 [0,1] 的 部 分 ,
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我 們 取 其 一 次 微 分 以 及 二 次 微 分 來 作 分 析 。
[0,1] 原 式 :
h (x) = (α + 2)x + (α + 3)x + 1,
0 ≤ x < 1 (3.2)
[0,1] 一 次 微 分 :
h (x) = 3(α + 2)x − 2(α + 3)x, 0 ≤ x < 1 (3.3)
[0,1] 二 次 微 分 :
h (x) = 6(α + 2)x − 2(α + 3), 0 ≤ x < 1 (3.4)
一 次 微 分 為 零 可 求 極 值 , 二 次 微 分 為 零 可 求 反 曲 點 , 因 此 令 h (x) = 0
可 得 x=0 or (α3)
3(α2) , 令 h (x) = 0 可 得 x = (α3)
3(α2) 。
接 下 來 分 析 [1,2] 的 部 分 , 我 們 一 樣 取 其 一 次 微 分 以 及 二 次 微 分 來 作 分
析 :
[1,2] 原 式 :
h (x) = α|x| − 5α|x| + 8α|x| − 4α, 1 ≤ |x| < 2 (3.5)
[1,2] 一 次 微 分 :
h (x) = 3α|x| − 10α|x| + 8α, 1 ≤ |x| < 2 (3.6)
[1,2] 二 次 微 分 :
h (x) = 6α|x| − 10α, 1 ≤ |x| < 2 (3.7)
令 h (x) = 0 可 得 x = or 2, 令 h (x) = 0 可 得 x = 。
我 們 得 到 各 段 的 極 值 與 反 曲 點 的 x 軸 位 置 , 但 是 有 些 值 會 因 為 α
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值 的 不 同 而 有 所 變 動 , 因 此 這 些 特 徵 點 我 們 不 考 慮 使 用 , 我 們 希 望 我
們 所 使 用 的 特 徵 點 以 及 特 性 不 會 因 為 α 值 的 不 同 而 有 所 變 動 , 為
cubic 的 所 有 情 況 的 共 同 特 性 以 及 特 徵 點 , 因 此 我 們 取
x = 0 , , , 2 分 別 帶 回 cubic 的 通 式 得 (0,1)、( , α
)、( , α
)、(2,0)
四 特 徵 點 , 而 我 們 產 生 的 延 展 式 線 性 多 項 式 核 心 將 經 過 這 些 特 徵 點 。
除 了 以 上 特 徵 點 以 外 , 我 們 還 必 須 分 析 cubic 的 核 心 具 有 哪 些 重
要 特 性 , 並 將 這 些 特 性 套 用 到 延 展 式 線 性 多 項 式 核 心 上 。 由 於 所 有 趨
近 sinc 函 數 的 內 插 法 , 其 核 心 時 間 域 波 形 圖 所 佔 面 積 和 必 為 一 , 即
所 有 權 重 和 為 一 , 因 為 核 心 為 對 稱 的 , 我 們 分 別 將 [0,1]、[1,2] 兩 段 取
積 分 , 兩 段 的 面 積 和 必 為 1 2
。
[0,1] 原 式 :
h (x) = (α + 2)x + (α + 3)x + 1, 0 ≤ x < 1 (3.8)
[0,1] 積 分 :
∫ h (x) = αx − αx + 4αx − 4αx = α, 1 ≤ |x| < 2
(3.9)
[1,2] 原 式 :
h (x) = αx − 5αx + 8αx − 4α, 1 ≤ |x| < 2 (3.10)
[1,2] 積 分 :
∫ h (x)
= αx − αx + 4αx − 4α
x = α, 1 ≤ |x| < 2 (3.11)
∫ h (x) + ∫ h (x)
= − α + α =
(3.12)
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所 以 cubic 也 符 合 面 積 和 為 一 的 特 性 。 除 了 這 個 特 性 之 外 , 我 們
去 分 析 不 同 的 α 值 的 情 況 下 h (x) + h (1 + x) 的 結 果 , 我 們 可 以 得 到
下 圖 的 結 果 :
Fig.3.3 cubic polynomial interpolation 在 不 同 α 值 的 情 況 下
h (x) + h (1 + x) 的 結 果
我 們 從 上 圖 得 到 一 個 現 象 , 不 同 的 α 值 的 情 況 下 ,
h + h 1 + =
依 然 成 立 , 因 此 這 個 特 性 將 被 我 們 的 延 展 式
線 性 多 項 式 核 心 所 使 用 。 在 經 過 我 們 的 分 析 過 後 , 我 們 整 理 出 上 列 的
特 性 以 及 特 徵 點 , 我 們 的 延 展 式 線 性 多 項 式 核 心 必 須 包 含 此 三 特 性 :
( 一 ) 延 展 式 線 性 多 項 式 核 心 將 經 過 (0,1)、( , α
)、( , α
)、(2,0)
( 二 ) 核 心 時 間 域 波 形 圖 所 佔 面 積 和 必 為 一 。
( 三 ) h + h 1 + =
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此 外 延 展 式 線 性 內 插 法 也 必 須 包 含 linear interpolation 之 權 重 比 例
特 性 :
( 四 )h (x) + h (1 + x) = 1 − x
3.2 延 展 式 線 性 內 插 法 核 心 推 導
在 分 析 完 cubic 並 擷 取 了 重 要 的 特 性 以 及 特 徵 點 之 後 , 我 們 接 下
來 推 導 我 們 的 延 展 式 線 性 多 項 式 核 心 , 首 先 由 於 新 核 心 也 是 屬 於 趨 近
sinc 函 數 的 核 心 , 因 此 新 核 心 必 須 滿 足 下 列 條 件 :
(1) h (0) = 1 and h (x) = 0 for |x| = 1
(2) h () (x) must be continuous at |x|= 0,1, for i=0,1
再 依 特 性 ( 一 ): 延 展 式 線 性 多 項 式 核 心 將 經 過
(0,1)、( , α
)、( , α
)、(2,0) 這 四 個 特 徵 點 。
因 此 新 核 心 將 滿 足 下 列 的 條 件 得 到 新 核 心 波 形 圖 :
Fig.3. 4 套 用 特 徵 點 後 的 新 核 心 時 間 域 波 形 圖
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套 用 完 特 徵 點 後 , 我 們 暫 時 可 以 得 到 一 個 新 的 核 心 , 接 下 來 我 們
也 將 cubic 的 特 性 套 用 到 新 核 心 上 。
依 特 性 ( 二 ): 核 心 時 間 域 波 形 圖 所 佔 面 積 和 必 為 一 , 因 此 新 的 核 心
所 佔 面 積 和 也 必 須 為 1, 且 因 為 核 心 為 對 稱 的 , 因 此 如 圖 所 示 , 所 佔
面 積 和 要 為 1/2。
1 ∗ 1 ∗ + 1 ∗
α ∗ ≠
但 是 面 積 和 不 為 1/2, 所 以 此 核 心 不 具 有 此 特 性 , 因 此 將 調 整 [0,1] 的
波 形 圖 來 符 合 此 特 性 , 波 形 圖 必 須 滿 足 面 積 和 為 1/2。
加 上 [1,2] 的 核 心 多 項 式 , 即 可 得 到 我 們 的 延 展 式 線 性 內 插 法 的 核
心 ,[1,2] 的 部 分 利 用 (0,1)、( , α
)、( , α
)、(2,0) 四 點 可 推 導 出 [1,2]
的 線 性 核 心 多 項 式 :
h (x) = −
+ x, 1 ≤ |x| < −
x,
≤ |x| < 2 (3.11)
利 用 cubic 的 特 徵 點 及 特 性 , 我 們 可 以 得 到 上 述 的 兩 個 新 核 心 , 但 上
述 兩 核 心 還 必 須 具 備 特 性 ( 四 ):
h (x) + h (1 + x) = 1 − x
利 用 已 知 的 四 個 點 (0,1)、( , α
)、( , α
)、(2,0), 加 上 須 具 備 特 性 ( 四 )
條 件 , 可 推 導 出 :
h + h = h + α
=
(3.12)
所 以 h = − α
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因 此 我 們 可 以 得 到 新 核 心 :
h (x) =
Fig.3.5 新 核 心 時 間 域 波 形 圖
⎧
1 − (1 + )x, 0 ≤ |x| <
⎪
1 − − 1 − x,
≤ |x| < 1
⎨
− + x, 1 ≤ |x| < (3.13)
⎪
⎩
− x,
≤ |x| < 2
3.3 不 同 α 值 之 核 心 效 能 評 估
接 下 來 我 們 將 分 析 不 同 α 值 的 情 況 下 , 新 核 心 所 產 生 的 效 能 高 低
分 布 , 以 求 找 出 本 方 法 的 最 佳 效 能 。
我 們 採 用 的 方 式 為 比 較 不 同 α 值 的 新 核 心 與 sinc 函 數 的 頻 率 域 波
形 圖 的 差 異 , 而 理 論 上 頻 率 域 波 形 圖 越 接 近 sinc 函 數 , 所 產 生 的 效 能
越 佳 。 我 們 利 用 的 計 算 方 式 為 標 準 差 (standard deviation), 如 下 式 :
S = ∑ {{[ω (i) − (ω (i) + ω (i))/2] + [ω (i) − (ω (i) +
ω (i))/2] }/2} . (3.14)
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將 不 同 α 值 的 新 核 心 與 sinc 的 頻 率 域 波 形 圖 取 對 數 , 利 用 標 準 差
去 計 算 兩 者 之 間 的 差 異 , 理 論 上 越 接 近 sinc 函 數 , 縮 放 效 果 越 佳 , 因
此 可 得 出 不 同 α 值 的 情 況 下 , 與 sinc 的 差 異 曲 線 如 下 圖 ,ω 為
proposed method 與 sinc 函 數 各 自 的 頻 率 域 波 形 圖 取 log 後 兩 者 之
標 準 差 , 所 得 之 標 準 差 越 低 , 表 示 兩 者 越 接 近 , 因 此 Fig.3.6 我 們 可 以
得 知 約 在 -0.853 時 會 產 生 最 佳 的 效 能 。
Fig. 3. 6 標 準 差 分 布 圖
帶 入 新 的 核 心 函 式 得 到 :
⎧ 1 − 0.6209|x|, 0 ≤ |x| < 1 3
⎪
⎪
⎪ 1.1896 − 1.1896|x|,
⎪
h .
(x) =
⎨
⎪
⎪−0.3791 + 0.1896|x|,
⎪
⎪
⎩
19
1
3 ≤ |x| < 1
0.3791 − 0.3791|x|, 1 ≤ |x| < 4 (3.15)
3
4
3 ≤ |x| < 2

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MSE = (
) ∑
∑ (α
− β )
(4.2)
其 中 m, n 代 表 兩 張 影 像 的 長 和 寬 , α 與 β
代 表 原 始 影 像 與 經 過
插 補 後 的 影 像 第 (x, y) 位 置 上 的 像 素 值 。PSNR 值 越 大 代 表 插 補 後 的 影
像 失 真 率 就 越 低 , 插 補 效 果 與 原 圖 相 似 度 越 高 ; 反 之 , 則 代 表 插 補 後
的 影 像 與 原 始 影 像 差 距 越 大 , 失 真 嚴 重 。
接 下 來 為 了 評 估 雙 立 方 內 插 法 於 各 種 不 同 影 像 縮 放 的 效 果 , 我 們
取 八 張 測 試 影 像 :Airplane, Boat, Bridge, Goldhill ,Lake , Lean,
Peppers 及 Tank (Fig.4.1), 利 用 不 同 α 值 之 延 展 式 線 性 內 插 法 , 再
以 各 種 不 同 的 縮 放 比 例 來 做 影 像 縮 放 , 分 別 以 3/4、4/3 比 例 分 別 先
縮 小 再 放 大 和 放 大 後 縮 小 回 原 本 的 大 小 , 然 後 比 較 原 圖 與 縮 放 影 像 的
PSNR 值 , 表 4.1 表 4.2 分 別 為 Keys(α=-0.5) 、 Bi-cubic(α=-1) 、
Proposed(α=-0.853) 在 不 同 的 縮 放 比 例 下 針 對 八 張 測 試 影 像 所 產 生
的 實 驗 結 果 。
(a)
(b)
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(b)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Fig.4.1 (a)~(h) 分 別 為 Airplane、Boat、Bridge、Goldhill、Lake、
Lena、Peppers 及 Tank
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Test images Keys(α=-0.5) Bi-cubic(α=-1) Proposed(α
=-0.853)
Airplane 39.27 38.67 39.63
Boat 36.27 36.66 36.84
Bridge 30.45 30.56 30.67
Goldhill 35.47 35.57 35.59
Lake 34.70 34.30 34.77
Lena 39.15 38.97 39.54
Pepper 37.23 36.70 37.14
Tank 36.44 36.45 36.57
表 4.1 各 方 法 先 3/4 比 例 縮 小 再 4/3 比 例 放 大 回 原 始 大 小 後 , 在 與 原
始 影 像 之 psnr 表
Test images Keys(α=-0.5) Bi-cubic(α=-1) Proposed(α
=-0.853)
Airplane 49.30 46.38 49.52
Boat 46.55 46.07 47.82
Bridge 40.55 42.00 41.91
Goldhill 45.61 46.65 46.85
Lake 44.15 44.34 44.93
Lena 48.75 47.42 49.44
Pepper 46.58 46.98 47.18
Tank 46.26 48.01 47.50
表 4.2 各 方 法 先 4/3 比 例 縮 小 再 3/4 比 例 放 大 回 原 始 大 小 後 , 在 與 原
始 影 像 之 psnr 表
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(a)
(b)
(b)
(d)
Fig.4. 2 bi-cubic 與 proposed method 對 Lena 以 3/4 比 例 縮 放 後
的 結 果 圖 ,(a) 原 始 影 像 ,(b) keys,(c) bi-cubic,(d) proposed method
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(a)
(b)
(b)
(d)
Fig.4. 3 bi-cubic 與 proposed method 對 Lena 以 4/3 比 例 縮 放 後
的 結 果 圖 ,(a) 原 始 影 像 , (b) keys,(c) bi-cubic,(d) proposed method
經 由 前 面 的 數 據 顯 示 , 我 們 可 以 得 到 不 同 的 α 值 時 , 我 們 所 提 出
的 方 法 的 效 能 在 α=-0.853 時 都 能 有 較 佳 的 效 能 。 而 在 前 面 的 實 驗 數
據 中 我 們 也 可 得 知 ,proposed method 可 以 提 供 比 keys、bicubic
佳 的 縮 放 效 能 , 其 中 bicubic 因 為 的 核 心 係 數 皆 為 整 數 , 因 此 為 cubic
中 最 常 被 應 用 的 情 況 , 而 我 們 所 提 出 的 方 法 能 提 供 較 bicubic 來 的 好
的 效 能 , 且 我 們 的 運 算 量 又 較 bicubic 精 簡 許 多 。
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第 五 章 結 論
影 像 在 高 倍 率 放 大 時 , 由 於 高 頻 訊 號 的 損 失 , 會 導 致 影 像 模 糊 ,
在 影 像 中 為 了 提 高 影 像 放 大 後 的 影 像 品 質 及 解 析 度 , 一 開 始 我 們 討 論
了 各 種 不 同 的 內 插 法 , 了 解 其 運 作 方 式 , 雖 然 影 像 縮 放 的 演 算 法 很 多 ,
但 都 各 自 有 優 缺 點 及 特 色 。 在 本 篇 論 文 中 我 們 提 出 一 個 利 用 線 性 方 式
趨 近 sinc 函 數 的 插 補 技 術 。 在 傳 統 內 插 法 中 cubic 是 非 常 趨 近 sinc
函 數 的 方 法 之 一 , 因 此 我 們 利 用 cubic 的 一 些 重 要 特 性 及 特 徵 點 , 套
用 到 我 們 的 延 展 式 線 性 多 項 式 核 心 當 中 , 進 而 產 生 不 錯 的 影 像 縮 放 效
果 。 實 驗 結 果 顯 示 我 們 提 出 的 方 法 在 影 像 品 質 方 面 能 提 供 接 近 於
cubic 的 影 像 縮 放 效 果 , 有 較 優 秀 的 縮 放 品 質 , 比 cubic 來 的 精 簡 運
算 量 , 而 在 cubic 當 中 最 常 被 應 用 的 情 形 為 bi-cubic, 我 們 所 提 出 的
方 法 能 提 供 比 bi-cubic 更 好 的 縮 放 品 質 , 且 運 算 量 皆 比 bi-cubic 來
的 少 。
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東 海 大 學 資 訊 工 程 系 大 學 部 專 題 報 告 書
參 考 文 獻
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