BERND PAPE Asset Allocation, Multivariate Position Based Trading ...

ACTA WASAENSIA 199A8ProofofProposition1A fundamental equilibrium requiresn˙c1 =n˙c2 =n˙f1 =n˙f2 =0 at p 1 ≡ p f1 and p 2 ≡ p f2 . (A8.1)Using the identityn j e α(U i−U j ) − n i e α(U j−U i )(A8.2)=(n i + n j ) · tanh(α(U i − U j )) − n i − n jcosh(α(U i − U j ))n i + n jthe equations of motion for the trader populations (5.14) may be rewritten in terms ofhyperbolic funcions as nBn˙c1 = v B n c1 e α B(n E −n B )/N − e −α B(n E −n B )/N(A8.3a)n E+ v (n c1 + n c2 ) tanh(α(C 1 − C 2 )) − n c1 − n c2cosh(α(C 1 − C 2 ))n c1 + nc2+(n c1 + n f1 ) tanh(α(C 1 − F 1 )) − n c1 − n f1cosh(α(C 1 − F 1 ))n c1 + n f1+(n c1 + n f2 ) tanh(α(C 1 − F 2 )) − n c1 − n f2cosh(α(C 1 − F 2 ))n c1 + n f2 nBn˙c2 = v B n c2 e α B(n E −n B )/N − e −α B(n E −n B )/N(A8.3b)n E+ v (n c2 + n c1 ) tanh(α(C 2 − C 1 )) − n c2 − n c1cosh(α(C 2 − C 1 ))n c2 + nc1+(n c2 + n f1 ) tanh(α(C 2 − F 1 )) − n c2 − n f1cosh(α(C 2 − F 1 ))n c2 + n f1+(n c2 + n f2 ) tanh(α(C 2 − F 2 )) − n c2 − n f2cosh(α(C 2 − F 2 ))n c2 + n f2 nBn˙f1 = v B n f1 e α B(n E −n B )/N − e −α B(n E −n B )/N(A8.3c)n E+ v (n f1 + n c1 ) tanh(α(F 1 − C 1 )) − n f1 − n c1cosh(α(F 1 − C 1 ))n f1 + n c1+(n f1 + n c2 ) tanh(α(F 1 − C 2 )) − n f1 − n c2cosh(α(F 1 − C 2 ))n f1 + n c2+(n f1 + n f2 ) tanh(α(F 1 − F 2 )) − n f1 − n f2cosh(α(F 1 − F 2 ))n f1 + n f2